Уравнение Гамильтона--Якоби

Найти функцию поля $p(x,y)$ и само поле экстремалей, проходящих через начало координат, интеграла

Дано, что семейство экстремалей проходит через точку $(x_{0},y_{0})$. Обозначая через $(x_{1},y_{1})$ точку пересечения этих экстремалей с некоторой трансверсалью, показать, что взятый по экстремали интеграл

имеет постоянную величину.

Семейство экстремалей, зависящих от одного параметра, пересечено двумя трансверсалями. Доказать, что интеграл $\int f(x,y,y') \, dx$, взятый по любой экстремали между точками пересечения с трансверсалями, имеет постоянное значение.

Среди линий, соединяющих прямую $x=0$ с точкой $A(x_{1},y_{1})$, где $x_{1} > 0$, $y_{1} > 0$, найти ту, которая дает минимум интегралу

Составить также уравнение Гамильтона--Якоби и найти эквидистантные кривые для экстремалей, трансверсально пересекающих прямую $x=0$.

Найти уравнение Гамильтона--Якоби и трансверсали для поля экстремалей $y=ax$ интеграла $\int y'^{2} \, dx$.

Найти трансверсали для поля экстремалей $y=ax$ интеграла

Найти трансверсали для поля экстремалей $y=x+a$ интеграла

Найти трансверсали для поля экстремалей $y = x - \frac{x^{2}}{a}$ интеграла

Найти экстремали интеграла

путем решения уравнения Гамильтона--Якоби и обратно — найти решение уравнения Гамильтона--Якоби, исходя из первого интеграла уравнения Эйлера.

Найти экстремали интеграла

при помощи решения уравнения Гамильтона--Якоби.

Зная, что путями лучей света являются такие кривые, по которым свет распространяется в наикратчайшее время, и зная, что скорость света обратно пропорциональна коэффициенту преломления среды $n$, показать, что брахистохрона (задача 5989) есть путь света в среде, в которой коэффициент преломления $n$ выражается формулой

В связи с этим найти пути лучей света в такой среде и уравнение волновых поверхностей. Для брахистохрон найти синхроны, т.е. кривые, куда точки, двигающиеся из точки $(0,0)$ по разным брахистохронам, приходят одновременно.

Найти траекторию материальной точки, движущейся под влиянием силы тяжести, исходя из принципа наименьшего действия, согласно которому для траектории точки первая вариация интеграла «действие» обращается в нуль:

Здесь $U$ — потенциал; в данном случае $U = -gy$, если ось $OY$ направлена вверх.

Составить уравнение Гамильтона--Якоби и, решив его, найти экстремали, в частности те, которые проходят через начало координат. Исследовать характер минимума интеграла.

Найти траекторию для движения точки в плоскости под действием силы отталкивания от оси $OX$, пропорциональной расстоянию точки до этой прямой и направленной параллельно оси $OY$ при условии, что интеграл энергии имеет вид $\frac{v^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 0$, исходя из интеграла «действие»

Материальная точка описывает окружность $r = 2R\cos \theta$ (в полярных координатах $r$ и $\theta$) радиуса $R$ под действием центральной силы $\frac{k}{r^{5}}$, обратно пропорциональной пятой степени расстояния от центра силы, лежащего в начале координат. Показать, что интеграл «действие», взятый по любой дуге этой окружности: $-\frac{\pi }{2} < \theta_{1} \leq \theta \leq \theta_{2} < \frac{\pi }{2}$, является сильным минимумом.

Изучить движение материальной точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию от центра $O$ силы, исходя из принципа наименьшего действия и применяя метод Якоби--Гамильтона.

Показать, что в сопряженных критических точках какой-либо траектории точки, рассматриваемой как экстремаль интеграла «действия», касательные взаимно перпендикулярны.

Решая уравнение Гамильтона--Якоби, найти геодезические линии на поверхности Лиувилля, для которой элемент дуги имеет вид

Доказать, что для поверхностей, у которых элемент дуги определяется равенством

уравнение Якоби--Гамильтона для задачи о геодезической линии имеет вид

Найти кратчайшее расстояние между заданной точкой и параболой $y^{2} = 2px$.

Найти минимум интеграла

если значения на концах интервала не даны.

Найти кратчайшее расстояние между двумя окружностями $C_{1}$ и $C_{2}$, лежащими в одной плоскости.

Для задачи о нахождении минимума интеграла

дано уравнение Гамильтона--Якоби: $w_{x} = H(x,y,w_{y})$. Найти функцию $f(x,y,y')$.

Пример. $\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^{2} = 1$.

Уравнение Гамильтона--Якоби для задачи о минимуме интеграла $\int f(x,y,y') \, dx$ имеет вид

Найти функцию $f(x,y,y')$.