Разные задачи

Функции $y(x)$ и $z(x)$ удовлетворяют уравнению

Кроме того, дано, что

Найти $y$ и $z$ из условия, что $z(n)$ — максимум.

Задачу о кратчайшем расстоянии между двумя точками $M_{1}$ и $M_{2}$ в пространстве рассмотреть как задачу Майера.

Среди всех кривых, соединяющих данные точки $M_{1}(x_{1},y_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2})$, лежащие в вертикальной плоскости $XOY$ ($OY$ — вниз), найти ту, двигаясь по которой, тяжелая точка придет из $M_{1}$ в $M_{2}$ в кратчайший срок. Начальная скорость $v_{1}$, на точку действует, кроме тяжести, сопротивление $R=kv^{n}$.

Среди кривых, соединяющих данные точки $M_{1}(x_{1},y_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2})$, лежащие в плоскости $XOY$ ($OY$ — вниз), найти ту, двигаясь вдоль которой точка придет в $M_{2}$ с наибольшей скоростью. При этом скорость точки в $M_{1}$ равна $v_{1}$, на точку действует сила тяжести и сила сопротивления $R=kv^{n}$. Сравнить нормальную реакцию кривой с центробежной силой.

Соединить точки $M_{1}(0,0,0)$ и $M_{2}(a,0,0)$ кривой, имеющей данную кривизну $\frac{1}{\rho }$ и наибольшую длину.

Самолет вылетает из точки $A(x_{1},y_{1})$ в момент $t=0$, имея в виду в кратчайшее время попасть в точку $B(x_{2},y_{2})$. Найти, как нужно для этого направлять самолет, если известно распределение ветра в пространстве и времени, т.е. известны проекции скорости ветра $w$ на оси $OX$ и $OY$; $w_{x}=u(x,y,t)$, $w_{y}=v(x,y,t)$. Собственная скорость самолета $V$, причем $w^{2}=u^{2}+v^{2} < V^{2}$.

Крыло самолета длиной $l$ расположено по оси $OX$ и движется параллельно оси $OY$ со скоростью $v_{0}$ (плоскость $XOY$ горизонтальна). Обозначим через $f(x) \, dx$ подъемную силу элемента крыла длиной $dx$. В аэродинамике показывается при некоторых допущениях, что при таких условиях от элемента крыла отходит вихрь интенсивности $d\Gamma = \frac{1}{\rho v_{0}}f'(x) \, dx$. Здесь $\rho$ — плотность воздуха, считаемая постоянной. (Эта формула есть следствие основной формулы Н.Е.Жуковского.) Эти вихри вызывают в каждой точке $\xi$ крыла направленную вниз скорость воздуха

При этом ось $OZ$ направлена вниз, а у интеграла берется здесь и дальше главное значение. Индуктивное сопротивление крыла определяется по формуле

Требуется определить при заданной полной подъемной силе крыла

такое распределение подъемной силы, т.е. такую функцию $f(x)$, чтобы индуктивное сопротивление было наименьшим. При этом следует учесть, что благодаря отсутствию вихрей вне промежутка $-\frac{l}{2} \leq x \leq \frac{l}{2}$ должно быть выполнено условие: $f\left(\pm \frac{l}{2}\right) = 0$.

Даны два уравнения

Найти $y$ как функцию от $x$ при условии, что значения $x$, $y$, $z$ и $u$ даны при $x=x_{0}$, дано также $y$ при $x=x_{1}$ и $u(x_{1})$ должно быть экстремумом. Пример:

Составить дифференциальные уравнения Эйлера.

Найти экстремум функции $W = f(u,v)$, где

при заданных значениях $x$ и $y$ на концах промежутка $(t_{1},t_{2})$.

Найти вид экстремалей для задачи о минимуме интеграла

где $A(x_{1},y_{1})$ и $B(x_{2},y_{2})$ — заданные точки.