Параметрическая форма интегралов, трансверсальность

Найти максимум интеграла

Найти геодезические линии на поверхности вращения $r^{2} = 2f(z)$ ($r$, $\varphi$, $z$ — цилиндрические координаты). Выяснить, для каких дуг $M_{1}M_{2}$ интеграл $\int_{M_{1}}^{M_{2}} ds$ действительно будет минимумом.

Найти геодезические линии круглого цилиндра $r = R$.

Найти геодезические линии конуса $r = z \operatorname {tg} \alpha$.

Исследовать геодезические линии на шаре радиуса $R$, найти экстремали, исследовать условие Якоби и выяснить характер минимума интеграла $\int ds$.

Найти геодезические линии на параболоиде вращения $2z = r^{2}$. При каком условии геодезическая линия между двумя точками на одном меридиане будет кратчайшим расстоянием?

Для сплюснутого эллипсоида вращения

экватор ($y=0$, $x^{2}+z^{2}=a^{2}$) есть геодезическая линия. Показать, что сопряженная с точкой $A$ критическая точка $A'$ этой линии отстоит от $A$ на расстоянии $\pi b$.

Имеем две окружности радиуса $r$ с центрами в точках $M_{1}(-a,b)$ и $M_{2}(a,b)$. Кривая лежит в верхней полуплоскости, кончаясь на данных окружностях, а при вращении вокруг $OX$ дает поверхность наименьшей площади. В каких точках и под каким углом она пересекает окружности?

Написать условие трансверсальности для интеграла

Для каких интегралов вида $\int F(x,y,y') \, dx$ трансверсальность приводится к ортогональности?

Найти все интегралы $\int f(x,y,y') \, dx$, у которых трансверсали пересекают экстремали под углом $45°$.

Среди линий, соединяющих точку $O(0,0)$ с кривой $y^{3} = 2-x$, найти ту, которая дает минимум интеграла

В вертикальной плоскости $XOY$ с направленной вниз осью $OY$ найти кривую, двигаясь вдоль которой, тяжелая материальная точка придет в кратчайшее время из точки $O$ на заданную прямую $y = (x-c)\operatorname {tg}\beta$; $0 < \beta < \pi$. При этом начальная скорость равна нулю.