Кратные интегралы

Составить уравнение Эйлера для интеграла $\iint \nu \, dS$, где $\nu$ — отрезок нормали между поверхностью и плоскостью $xy$.

Уравнение Эйлера для интеграла

где $f$ принимает на контуре заданные значения, способно обращаться в тождество. Доказать, что необходимым и достаточным условием для этого является равенство:

(С другой стороны, необходимым и достаточным условием является независимость величины интеграла от вида поверхности $S$.)

Найти уравнение Эйлера для задачи о минимуме интеграла

при заданных значениях $u$ на контуре области.

Найти минимум интеграла

если даны значения функции $u$ на контуре. При этом:

Найти уравнение Эйлера для задачи об экстремуме интеграла

Получить дифференциальное уравнение минимальных поверхностей, т.е. среди всех поверхностей $z=z(x,y)$, опирающихся на заданный контур $C$ (или несколько контуров), найти ту, которая имеет наименьшую площадь. В частности, найти минимальные поверхности, уравнение которых имеет форму $z = \varphi (x)+\psi (y)$.

Показать, что если мы имеем минимальную поверхность $z=z(x,y)$, опирающуюся на заданный контур $C$, то эта поверхность дает сильный минимум интеграла

Показать, что задача о минимуме интеграла

где

приводит к уравнению Эйлера

где

(к такому уравнению приводит задача о плоском стационарном адиабатическом движении сжимаемой жидкости с потенциалом скорости $\varphi$, если положить:

$\alpha$, $\gamma$, $U$ — постоянные).

Пусть $\xi (x,y)$, $\eta (x,y)$ — криволинейные координаты и пусть:

Исходя из первой вариации интеграла

показать, что оператор Лапласа $\Delta u$ преобразуется к новым криволинейным координатам по формуле

Пример. Полярные координаты, где $ds^{2} = dr^{2} + r^{2}d\varphi^{2}$.

Значения функции $u$ даны на поверхности объема $V$.

Найти необходимое условие минимума интеграла

Тот же вопрос в применении к интегралу

Пусть $\xi_{1}$, $\xi_{2}$, $\xi_{3}$ — криволинейные ортогональные координаты, определяемые формулами:

Пусть также

Пользуясь первой вариацией интеграла

показать, что оператор Лапласа $\Delta u$ в новых координатах имеет вид

Пример. Сферические координаты, где $ds^{2} = dr^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta \, d\varphi^{2} + r^{2}d\theta^{2}$.

Показать, что для задачи о минимуме интеграла

где

уравнения Эйлера совпадают с уравнениями Максвелла распространения электромагнитных волн:

Составить дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня, исходя из принципа Гамильтона.

Стержень расположен по оси $OX$ между точками $(0,0,0)$ и $(l,0,0)$ и работает на продольное сжатие и растяжение. Обозначения: $u(x,t)$ — смещение; $\omega (x)$ — площадь поперечного сечения; $\rho (x)$ — плотность материала; $E$ — модуль упругости; $\sigma$ — коэффициент Пуассона; $I(x)$ — полярный момент поперечного сечения относительно точки $(x,0,0)$; $F(x)$ — внешняя сила на единицу массы. Выяснить, какие граничные условия можно рассматривать на концах.

Составить дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний стержня, исходя из принципа Гамильтона. Стержень длиной $l$ расположен по оси $OX$ и работает на изгиб. Колебания происходят в плоскости $XOY$. Обозначения: $v(x,t)$ — смещение; $\omega (x)$ — поперечное сечение; $\rho (x)$ — плотность материала; $E$ — модуль упругости; $I(x)$ — момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести его перпендикулярно к $XOY$; $F(x)$ — внешняя сила, отнесенная к единице массы. Найти также вид предельных условий, которые должны выполняться в разных случаях.

Исходя из принципа Гамильтона, составить дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний мембраны, расположенной в плоскости $XOY$ и работающей только на растяжение. Обозначения: $\zeta (x,y,t)$ — смещение, перпендикулярное к $XOY$; $\rho (x,y)$ — поверхностная плотность; $S_{0}$ — площадь мембраны в положении равновесия; $P$ — натяжение мембраны, постоянное и дающее силу, действующую в плоскости $XOY$ на единицу длины контура, ограничивающего какой-либо элемент площади; $F(x,y)$ — внешняя сила, перпендикулярная к $XOY$, отнесенная к единице массы; $\varphi$ — внешняя сила, перпендикулярная к $XOY$, действующая на контуре и отнесенная к единице длины контура. Найти также вид предельного условия на контуре $C$ мембраны, когда он не закреплен (если он закреплен, то предельное условие будет $\zeta = \varphi (c,t)$ — заданная функция положения точки на контуре).

Составить дифференциальное уравнение равновесия мембраны и выяснить граничные условия в том случае, когда на нее действует внешняя сила только на контуре, равная $k(s)\zeta (s)$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, а $\zeta (s)$ — поперечное смещение точки мембраны. Сила направлена противоположно смещению.

Составить точное дифференциальное уравнение равновесия мембраны, служащей дном цилиндрического сосуда, в котором налита жидкость плотностью $\rho_{0}$, глубиной $h$ (относительно первоначального положения мембраны). Обозначения: $\zeta (x,y,t)$ — смещение точки мембраны в вертикальном направлении $OZ$ (положительное направление вниз), $P$ — постоянное натяжение мембраны.

Исходя из принципа Гамильтона, составить уравнение малых поперечных колебаний тонкой пластинки. Пластинка работает на растяжение и изгиб, толщина ее $2h$. В положении равновесия срединная плоскость пластинки лежит в плоскости $XOY$ и ограничена контуром $C$. При этом: $\zeta (x,y,t)$ — смещение точки по $OZ$, $\rho$ — постоянная плотность пластинки, $E$ — модуль упругости, $\sigma$ — коэффициент Пуассона, внешних сил нет. Выяснить характер предельных условий.

Вывести уравнения равновесия упругого изотропного тела, исходя из принципа виртуальных перемещений, т.е. из условия:

где

$\lambda$ и $\mu$ — упругие постоянные, $A$ — энергия деформации, рассчитанная на единицу объема, $X$, $Y$, $Z$ — составляющие внешней силы на единицу массы, $u$, $v$, $w$ — перемещения точек упругого тела, заданные на поверхности; $u_{x}$ обозначает $\frac{\partial u}{\partial x}$ и т.д.

Вывести уравнения движения упругого изотропного тела, исходя из принципа Гамильтона:

где

а величина $\Pi$ имеет то же значение, что и в задаче 6098.