Изопериметрические задачи

Найти форму тела вращения относительно оси $OX$, однородного, имеющего данный объем $V$ и оказывающего наибольшее притяжение по закону Ньютона на точку, лежащую на пересечении тела с $OX$.

Найти однородное тело вращения около оси $OX$ с заданным объемом $V$ и с наименьшим моментом инерции относительно оси $OZ$.

Стоимость земли зависит от ее положения и может быть характеризована заданием положительной функции $\rho (x,y)$. Среди кривых длиной $l$, соединяющих точки $M_{1}$ и $M_{2}$, найти ту, которая вместе с хордой $M_{1}M_{2}$ ограничивала бы площадь наибольшей стоимости.

Из кривых длиной $l$, соединяющих точки $M_{1}(-a,0)$, $M_{2}(a,0)$, определить ту, которая вместе с $OX$ ограничивает наибольшую площадь. При этом $l > 2a$.

Соединить две неизвестные точки $M_{1}$ и $M_{2}$ на оси $OX$ кривой наименьшей длины, заключающей вместе с $OX$ площадь данной величины $S$.

Найти замкнутую кривую данной длины $l$, ограничивающую площадь наибольшей величины.

На двух данных ординатах $AA_{1}$ ($x=a$) и $BB_{1}$ ($x=b$) найти такие точки $M$ и $N$ и такую соединяющую их кривую, чтобы площадь $AMNB$ была максимальная. При этом дана сумма длин дуги $MN$ и ординат $AM$ и $BN$.

Среди всех кривых, проведенных между ординатами $x=x_{0}$ и $x=x_{1}$ и образующих вместе с ними и $OX$ заданной величины площадь, найти ту, у которой центр тяжести этой площади занимает наинизшее положение.

Данную точку $(0,b)$ оси $OY$ соединить с $OX$ кривой, заключающей вместе с осями $OX$ и $OY$ данную площадь $S$ и образующей при вращении около $OX$ наименьшую поверхность.

Из начала координат плоскости $XOY$ провести кривую $OA$ длиной $l$, кончающуюся на прямой $y=h$ и образующую вместе с ординатой точки $A$ и осью $OX$ наибольшую площадь.

Дан угол с вершиной в начале координат. Соединить данную точку $M_{1}$ на одной стороне угла с неизвестной точкой другой стороны $M_{2}$ кривой длины $l$ так, чтобы площадь между кривой и сторонами угла была наибольшая.

Среди кривых длиной $l$, соединяющих точки $M_{1}(x_{1},y_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2})$, найти ту, у которой центр тяжести лежит наиболее низко.

Найти форму тяжелой однородной нити, один конец которой закреплен в точке $B(x_{1},y_{1})$, а другой конец находится на оси $OY$. Длина нити $l$.

Среди кривых, проведенных от периферии круга $x^{2}+y^{2} = R^{2}$ в точку $M(a,0)$ и для которых площади сектора с вершиной в центре круга имеют данное значение, найти такую, для которой потенциал дуги в точке $O$ имеет наименьшее значение. Плотность постоянна, притяжение — по закону Ньютона.

Среди кривых длиной $l$, проходящих через точки $M_{1}(x_{1},y_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2})$ и имеющих в этих точках данные углы наклона $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$, определить ту, которая вместе с нормалями $M_{1}N_{1}$ и $M_{2}N_{2}$ и дугой эволюты $N_{1}N_{2}$ заключает наименьшую площадь.

Найти положение равновесия упругого стержня, зажатого на концах.

Самолет имеет собственную скорость $u$. Ветер дует параллельно оси $OX$ со скоростью $v < u$. Самолет имеет запас горючего на определенное время полета. Определить максимальную площадь кривой, какую может описать самолет при полете с возвратом в точку отлета.

Найти минимум интеграла $\int_{0}^{\pi } y'^{2} \, dx$, если $\int_{0}^{\pi } y^{2} \, dx = 1$, $y(0)=y(\pi )=0$. Найти экстремали и проверить условие Якоби.

Найти минимум интеграла $\int_{0}^{\pi } y''^{2} \, dx$ при условиях:

Найти минимум $\int_{0}^{\pi } y''^{2} \, dx$, если $\int_{0}^{\pi } y^{2} \, dx = 1$, $y(0)=y(\pi )=0$.

Среди линий, идущих из $A(0,0)$ в $B\left(1,\frac{1}{4}\right)$, найти ту, которая дает экстремум интегралу $\int_{0}^{1} y'^{2} \, dx$ при условии:

Из линий от точки $A(0,0,0)$ до $B(1,1,1)$, у которых

найти ту, у которой

— минимум. Рассмотреть такую же задачу при условии, что про точку $A$ известно лишь, что она лежит в плоскости $YOZ$.

Среди всех поверхностей $z=z(x,y)$, опирающихся на заданный контур $L$ и ограничивающих вместе с цилиндром, проектирующим $L$ на $XOY$, и основанием этого цилиндра данный объем $v$, найти ту, которая имеет наименьшую площадь. При этом составить уравнение Эйлера и выяснить его геометрическое значение.

Среди поверхностей с заданной площадью $S$, опирающихся на плоскость $XOY$ и ограничивающих данный объем $V$, найти ту, у которой центр тяжести этого объема имел бы наинизшее положение. При этом выяснить геометрическое значение уравнения Эйлера и найти, какие граничные условия должны выполняться на линии пересечения поверхности с плоскостью $XOY$.

Среди всех поверхностей $z=z(x,y)$ заданной площади и опирающихся на данный контур найти ту, у которой центр тяжести лежит наиболее низко. Составить уравнение Эйлера и выяснить его геометрическое значение.

Среди замкнутых поверхностей данной площади найти ограничивающую наибольший объем. Составить уравнение Эйлера, выяснить его геометрическое значение и показать, что сферическая поверхность удовлетворяет уравнению Эйлера.

Дана система материальных точек $M_{1}, M_{2}, \ldots , M_{n}$. Масса точки $M_{\nu }$ равна $m_{\nu }$, координаты ее — $x_{\nu }, y_{\nu }, z_{\nu }$, действующая на нее сила имеет составляющие $X_{\nu }, Y_{\nu }, Z_{\nu }$. Пусть существует функция $V(x_{\nu },y_{\nu },z_{\nu },t)$ — потенциальная энергия, такая, что

Обозначим через $T$ кинетическую энергию:

при этом точка означает дифференцирование по $t$. Пусть дано $m$ условий вида $\varphi_{a}(x_{\nu },y_{\nu },z_{\nu },t)=0$, $a=1,2,\ldots ,m$.

Показать, что отыскание экстремума интеграла Гамильтона

при заданных $x_{\nu }, y_{\nu }, z_{\nu }$ для $t=t_{1}$ и $t=t_{2}$ приводит к дифференциальным уравнениям Лагранжа первого рода:

Если же выразить координаты через $r=3n-m$ независимых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots , q_{r}$ и $t$, то придем к дифференциальным уравнениям Лагранжа второго рода:

При обозначениях предыдущей задачи допустим, что функции $\varphi_{a}$ и $V=-U$ не содержит $t$. Назовем траекторией кривую в $3n$-мерном пространстве:

удовлетворяющую всем условиям $\varphi_{a}(x_{\nu },y_{\nu },z_{\nu })=0$.

Каждому движению точек под действием заданных сил отвечает своя траектория. Показать, что эта траектория является экстремалью для задачи о минимуме интеграла «действия»

Здесь $h$ — величина полной энергии $T=U+h$, а дифференцирование совершается по $\tau$; значения переменных на концах заданы.