Интегралы, зависящие от производных высших порядков или от нескольких функций

Для задачи о минимуме интеграла

найти уравнение Эйлера и граничные условия, считая заданными только координаты конечных точек.

Показать, что уравнение Эйлера для условий задачи 6033 имеет первый интеграл:

если $f$ не содержит $y$. В случае же, если $f$ не содержит $x$, то первый интеграл можно написать в таком виде:

Если, наконец, $f$ не содержит ни $x$, ни $y$, то уравнение Эйлера имеет второй интеграл:

Среди линий, проходящих через точки $A(0,0)$ и $B(1,0)$, найти ту, которая обращает в минимум интеграл $\int_{0}^{1} y''^{2} \, dx$ в двух случаях:

Найти экстремали интеграла $\int (y'')^{n} \, dx$.

Ищется минимум интеграла

причем для переменного верхнего предела дано условие: $\varphi (x,y,y')=0$. Найти условие на этом конце, обобщающее условие трансверсальности.

Та же задача, но на верхнем пределе даны значение $y'(x_{2})$ и кривая $h(x,y)=0$, на которой должна лежать точка $(x_{2},y_{2})$.

Найти такую плоскую кривую, чтобы площадь ограниченная дугой $M_{1}M_{2}$, нормалями $M_{1}C_{1}$ и $M_{2}C_{2}$ в точках $M_{1}$ и $M_{2}$ и дугой эволюты $C_{1}C_{2}$, обратилась в минимум. При этом даны величины $x_{1}$, $y_{1}$, $y'_{1}$ и $x_{2}$, $y_{2}$, $y'_{2}$, т.е. положения и направления концов $M_{1}M_{2}$.

Пример. $x_{1}=y_{1}=0$, $y'_{1}=1$; $x_{2}=1$, $y_{2}=0$; $y'_{2}=-1$.

Прежняя задача, только не даны направления в точках $M_{1}$ и $M_{2}$. При этом $M_{1}(0,0)$ и $M_{2}(2\pi ,0)$.

Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы функция $f(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})$ при любом выборе функции $y$ была полной производной по $x$ от некоторой функции

Является ли функция

полной производной от функции $u(x,y,y',y'')$, и если это так, то найти функцию $u$.

Вертикальный стержень зажат на своих концах $O$ и $A$. Нижний конец $O$ неподвижен, верхний может перемещаться по горизонтали. На верхний конец $A$ действует сила $P$, направленная вниз. Определить критическую нагрузку $P_{0}$, при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой. Модуль упругости $E$. Момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения перпендикулярно к плоскости изгиба, равен $I$.

Тот же вопрос, но при условии, что нижний конец зажат, верхний свободен, т.е. на нижнем конце $\theta = 0$, на верхнем не задано.

Та же задача при условии опертых концов.

Та же задача, но при условии, что оба конца зажаты, т.е. на них $v=0$, $v'=0$.

Та же задача, но нижний конец зажат, а верхний оперт, т.е. на верхнем конце $v=0$, а $v'$ не задано.

Горизонтальный стержень $AB$ длиной $l$ одним концом свободно оперт, а другим лежит на упругой опоре и сжимается двумя горизонтальными силами $P$. Определить критическую нагрузку $P_{0}$, считая, что при вертикальном смещении $v$ упругая опора дает сопротивление, равное $-kv$.

Если интеграл $I = \int f(x,y,y',y'') \, dx$ преобразовать по Вейерштрассу в $I = \int F(x,x',x'',y,y',y'') \, dt$, то функция $F$ будет тождественно удовлетворять равенствам:

Показать, что уравнения Эйлера для интеграла

допускают следующие первые интегралы:

Показать, что уравнения Эйлера для интеграла

могут быть представлены так:

Найти условие трансверсальности для интеграла

если конечная точка лежит на поверхности $S(x,y,z)=0$.

Та же задача, но конечная точка лежит на кривой

Показать, что для интегралов $\int f(x,y,z) \, ds$ и только для них условия трансверсальности на поверхности или кривой совпадают с условиями ортогональности.

Ищется минимум интеграла

где $\mu (x,y,z)$ — положительная функция, непрерывная вместе со своими производными. Показать, что:

Гибкая нить находится под действием силы $F$, имеющей потенциал $U$, так что

При этом сила $F$ отнесена к единице длины нити. Уравнения равновесия нити имеют вид:

Здесь $T$ — натяжение нити, $ds^{2} = dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$. Из этих уравнений следует, что $T = U+h$, где $h$ — постоянная.

Доказать, что условия равновесия нити являются необходимыми условиями минимума интеграла $\int \varphi (x,y,z) \, ds$, где $\varphi = U+h$.

Найти дифференциальные уравнения геодезических линий в $n$-мерном пространстве Римана, т.е. экстремали интеграла, определяющего длину кривой между двумя точками:

При этом квадратичная форма $dS^{2} = \sum g_{ik} \, dx_{i} \, dx_{k}$ симметрична (т.е. $g_{ik}=g_{ki}$) и положительна.

Найти кривую между точками $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ так, чтобы ее линейный момент относительно оси $OX$, т.е. интеграл

был минимумом.

Найти минимум интеграла $\int \sqrt{h-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \, ds$, дающего «действие» в случае, если материальная точка притягивается к неподвижному центру силою, пропорциональною расстоянию.

Найти кратчайшее расстояние между кругом

и гиперболой