16.1

Уравнения Эйлера--Лагранжа

[15/93%]
Показать
LaTeX
Задача 5961

Найти достаточные условия сильного минимума интеграла

I=∫x1x2f(x,y) dx I = \int _{x_{1}}^{x_{2}} f(x, y) \, dx

при условии, что конечные точки минимальной кривой лежат соответственно на прямых x=x1x = x_{1} и x=x2x = x_{2}.

Примеры:

  1. I=∫−1+1(y3−3x4y) dxI = \int_{-1}^{+1} (y^{3} - 3x^{4}y) \, dx;

  2. I=∫01y(y+x) dxI = \int_{0}^{1} y(y+x) \, dx;

  3. I=∫−a+a(x2y+13y3−a2y) dx; a>0I = \int_{-a}^{+a} \left(x^{2}y + \frac{1}{3}y^{3} - a^{2}y\right) \, dx; \ a > 0;

  4. I=∫0x1(6ax−y2)y dx; a>0, x1>0I = \int_{0}^{x_{1}} (6ax - y^{2})y \, dx; \ a > 0, \ x_{1} > 0.

?
Задача 5962

Найти минимум интеграла

I=∫(x1,y1)(x2,y2)(y2+2xyy′) dx. I = \int _{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})} (y^{2} + 2xyy') \, dx.
?
Задача 5963

Найти экстремум интеграла

I=∫(x1,y1)(x2,y2)(xy+y2−2y2−2y2y′) dx. I = \int _{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})} (xy + y^{2} - 2y^{2} - 2y^{2}y') \, dx.
?
Задача 5964

Найти экстремум интеграла

I=∫(x1,y1)(x2,y2)(x2+y2+yy′) dx. I = \int _{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})} (x^{2} + y^{2} + yy') \, dx.
?
Задача 5965

Найти экстремаль интеграла

I=∫AB1+y′2y dx, I = \int _{A}^{B} \frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{y} \, dx,

проходящую через заданные точки AA и BB, лежащие в верхней полуплоскости y>0y > 0.

?
Задача 5966

Найти экстремали интеграла

I=∫(x1,y1)(x2,y2)y(1+y′2) dx,y1>0,y2>0. I = \int _{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})} \sqrt{y(1+y'^{2})} \, dx, \quad y_{1} > 0, \quad y_{2} > 0.
?
Задача 5967

Найти в квадратурах экстремали интеграла

I=∫M1M2yn1+y′2 dx. I = \int _{M_{1}}^{M_{2}} y^{n} \sqrt{1+y'^{2}} \, dx.
?
Задача 5968

Найти экстремали интеграла

I=∫M1M2rn ds I = \int _{M_{1}}^{M_{2}} r^{n} \, ds

(в полярных координатах rr, θ\theta), выражающего момент nn-й степени дуги M1M2M_{1}M_{2} относительно начала координат.

?
Задача 5969

Материальная точка движется в плоскости так, что ее скорость vv обратно пропорциональна расстоянию до начала координат, причем ∫v ds\int v \, ds, взятый вдоль траектории между двумя любыми точками последней, является экстремумом. Найти направление силы, действующей на точку, и орбиту точки.

?
Задача 5970

Плоская кривая является орбитой для свободного движения материальной точки под действием центральной силы и в то же время брахистохроной (см. задачу 5989) для другого движения уже при другой центральной силе. Показать, что если vv и v′v' суть скорости точки в этих двух движениях в некоторой точке траектории, то для всех точек траектории произведение vv′vv' остается постоянным.

?
Задача 5971

Среди всех кривых, соединяющих начало координат с прямой x=ax = a, определить ту, которая, заключая вместе с осью OxOx и указанной прямой площадь заданной величины SS, имеет наименьшую длину.

?
Задача 5972

На сторонах OAOA и OBOB угла с вершиной OO даны точки AA и BB; требуется соединить их кратчайшей линией ACBACB, при условии, что площадь OACBOOACBO имеет заданную величину SS.

?
Задача 5973

Найти поверхность вращения около оси OXOX, имеющую заданную площадь и заключающую наибольший объем при условии, что поверхность пересекает ось вращения ровно два раза.

?
Задача 5974

Найти все интегралы

I=∫(x1,y1)(x2,y2)F(x,y,y′) dx, I = \int _{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})} F(x, y, y') \, dx,

для которых экстремалями служат прямые линии.

?
Задача 5975

Найти все интегралы

I=∫x1x2F(x,y,y′) dx, I = \int _{x_{1}}^{x_{2}} F(x, y, y') \, dx,

для которых экстремалями являются параболы y=ax+bx2y = ax + bx^{2}.

?