Необходимые и достаточные условия для простейшей задачи вариационного исчисления

Среди кривых, соединяющих точки $A(1,3)$ и $B(2,5)$, найти ту, которая дает минимум интеграла

Найти среди линий, соединяющих точки $A(0,1)$ и $B(1,4)$, ту, которая дает минимум интеграла

Среди линий, соединяющих точки $A(1,0)$ и $B(2,1)$, найти ту, которая дает минимум интеграла

Найти характер минимума.

Найти минимум интеграла

и определить его характер.

Показать, что если подынтегральная функция интеграла

не содержит явно $y$, то каждая экстремаль всегда может быть окружена полем, и для сильного минимума достаточно выполнения условия $\frac{\partial^{2} F(x,y')}{\partial y'^{2}} > 0$ в каждой точке поля для любого направления.

Найти минимум интеграла

Показать, что прямая $y = 0$ дает только слабый минимум интеграла

хотя условие Лежандра $\frac{\partial^{2} F}{\partial y'^{2}} > 0$ в точках экстремали $y = 0$ выполняется для всех $y'$.

Найти критические сопряженные точки на экстремалях интеграла

при помощи дифференциального уравнения Якоби.

Найти минимум интеграла

Найти минимум интеграла

Найти экстремали, проверить условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса и найти характер минимума.

Найти минимум интеграла

Найти экстремали, проверить условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса и найти характер минимума.

Показать, что экстремали интеграла

получаются одна из другой преобразованием подобия и переноса параллельно оси $OX$. При этом касательные в сопряженных критических точках пересекаются на оси $OX$.

Среди кривых, соединяющих точки $M_{1}(-a,b)$ и $M_{2}(a,b)$, $a > 0$, $b > 0$, найти ту, которая при вращении около $OX$ дает наименьшую поверхность. При этом:

Среди кривых, лежащих в плоскости $XOY$ (ось $OY$ направлена вертикально вниз), найти ту, скользя по которой, тяжелая точка скорее всего скатится из точки $O(0,0)$ в точку $M(a,b)$. При этом начальная скорость точки равна нулю.

Найти в вертикальной плоскости $XOY$ кривую, двигаясь по которой, тяжелая материальная точка придет в кратчайшее время из точки $O(0,0)$ в точку $M(a,b)$; при этом дано, что начальная скорость в точке $O$ равна $\sqrt{2gh}$.

Найти форму, какую надо придать телу вращения, чтобы оно испытывало наименьшее сопротивление при равномерном движении вдоль оси вращения. При этом предполагается, что при скорости $v$ элемент $d\sigma$ испытывает в направлении оси $OX$ сопротивление $kv^{2}\cos^{3}\varphi \, d\sigma$. Здесь $\varphi$ — угол нормали к $d\sigma$ с $OX$. Требуется найти экстремали, рассмотреть условие Якоби, исследовать характер минимума.

Среди линий, соединяющих точки $A(-1,-1)$ и $B(1,1)$, найти ту, которая дает минимум интеграла

Исследовать полное приращение интеграла $\Delta I$.

Найти минимум интеграла

Показать, что для интеграла

$OX$ является такой экстремалью, для которой вторая вариация положительна, но интеграл все же не имеет сильного минимума.

Показать, что не существует непрерывной функции $y = \varphi (x)$, которая давала бы минимум интеграла

и удовлетворяла бы условиям: $\varphi (-1) = -1$; $\varphi (1) = 1$. (Пример Вейерштрасса.)

Найти минимум интеграла

Найти минимум интеграла