Аналитическая геометрия на плоскости

Даны точки $A(2,5)$ и $B(-3,2)$. Найти проекции вектора $\overrightarrow {AB}$ на оси координат.

Даны точки $A(1,2)$ и $B(5,-1)$. Найти углы вектора $\overrightarrow {AB}$ с осями $Ox$ и $Oy$, а также длину этого вектора.

Даны точки $A(2,-1)$, $B(5,3)$, $C(3,5)$, $D(-5,11)$. Найти угол между векторами $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {CD}$.

Даны точки $A(2,-1)$, $B(-1,3)$, $C(4,7)$, $D(-1,-5)$. Найти проекцию вектора $\overrightarrow {AB}$ на направление вектора $\overrightarrow {CD}$.

Даны точки $A(3,5)$, $B(6,-2)$. Найти проекцию вектора $\overrightarrow {AB}$ на ось, направленную из начала координат по биссектрисе первого координатного угла.

Из начала координат проведены векторы в точки $A(1,2)$, $B(-2,3)$, $C(6,-10)$. Найти их геометрическую сумму по величине и направлению.

Противоположные вершины прямоугольника суть $A(3,7)$, $B(11,-1)$. Найти центр прямоугольника.

Из точки $A(2,3)$ проведен отрезок до точки $B(7,-2)$ и продолжен еще на столько же. Найти координаты конца продолжения.

Отрезок $\overrightarrow {AB}$ разделен на три равные части точками $M_{1}(1,2)$ и $M_{2}(2,4)$. Найти точки $A$ и $B$.

Точки $M_{1}(1,1)$, $M_{2}(2,2)$, $M_{3}(3,-1)$ — три последовательные вершины параллелограмма. Найти четвертую вершину.

Середины сторон треугольника — в точках $M_{1}(-2,1)$, $M_{2}(2,3)$, $M_{3}(4,-1)$. Найти координаты вершин.

Две последовательные вершины квадрата — в точках $A(2,3)$ и $B(6,6)$. Где остальные вершины?

Две последовательные вершины правильного шестиугольника — в точках $M_{1}(0,0)$ и $M_{2}(4,0)$. Где следующая вершина?

В точках $(3,5)$ и $(9,-7)$ помещены массы $2$ и $1$. Где центр тяжести этих масс?

В точках $M_{1}(x_{1},y_{1})$, $M_{2}(x_{2},y_{2})$, $M_{3}(x_{3},y_{3})$ помещены массы $m_{1}$, $m_{2}$ и $m_{3}$ соответственно. Доказать, что координаты центра тяжести этих масс выражаются формулами

Массы равной величины помещены в вершинах многоугольника. Доказать, что координаты их центра тяжести равны арифметическим средним координат вершин.

Центр правильного многоугольника — в начале координат. Доказать, что сумма координат вершин равна нулю.

К сторонам многоугольника восставлены перпендикуляры, пропорциональные сторонам и направленные в наружную сторону. Доказать, что их геометрическая сумма равна нулю.

Даны координаты середин сторон многоугольника с нечетным числом сторон $M_{1}(x_{1},y_{1})$, $M_{2}(x_{2},y_{2})$, , $M_{2n-1}(x_{2n-1},y_{2n-1})$. Найти координаты вершин.

На оси $Ox$ найти точку, расстояние которой до точки $(5,12)$ равно 13.

$M_{1}(2,1)$, $M_{2}(-3,2)$, $M_{3}(-1,1)$ — вершины треугольника. Найти центр и радиус описанного круга.

Вершины треугольника — в точках $O(0,0)$, $M_{1}(3,5)$, $M_{2}(-2,3)$. Найти его площадь.

Вершины треугольника — в точках $A(1,2)$, $B(3,-1)$, $C(-2,-5)$. Найти его площадь.

Две вершины треугольника — в точках $(5,1)$, $(-2,2)$, третья вершина — на оси $Ox$. Найти ее, зная, что площадь равна 10.

Найти площадь четырехугольника по координатам его вершин: $M_{1}(5,6)$, $M_{2}(5,-6)$, $M_{3}(-2,-1)$, $M_{4}(-2,1)$.

Найти площадь четырехугольника по координатам его вершин: $M_{1}(5,6)$, $M_{2}(5,-6)$, $M_{3}(-2,1)$, $M_{4}(-2,-1)$.

Найти площадь пятиугольника по его вершинам: $M_{1}(0,0)$, $M_{2}(3,-2)$, $M_{3}(5,-1)$, $M_{4}(8,4)$, $M_{5}(4,5)$.

После переноса начала координат без поворота осей точка $(2,4)$ получила координаты $(-3,0)$. Найти прежние координаты нового начала.

Новые оси делят на равные части углы между прежними. Ось $Ox_{1}$ составляет положительный острый угол с $Oy$. Составить формулы преобразования координат.

Новое начало — в точке $(2,3)$. Точка $(6,0)$ — на положительном направлении новой оси ординат. Каковы новые координаты точки $(7,8)$?

Вершины квадрата — в точках $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,2)$, $(0,2)$. Составить формулы преобразования координат, если за новые оси приняты диагонали квадрата, а точка $(2,0)$ находится на положительном направлении оси $O_{1}x_{1}$.

Новое начало — в точке $(1,-2)$. Новая ось ординат составляет с прежней осью абсцисс острый угол, тангенс которого равен $3/4$. Найти точку, у которой прежние координаты равны новым.

При каком повороте осей величина $x^{2}-y^{2}$ переходит в $2x_{1}y_{1}$.

Доказать, что при общем преобразовании координат (с переносом и поворотом осей) прежние оси могут быть совмещены с новыми путем поворота всей плоскости вокруг некоторой точки.

Даны полярные координаты точки: $r = 10$, $\varphi = 30^{\circ }$. Найти ее прямоугольные координаты, если полюс — в точке $(2,3)$, а полярная ось параллельна оси $Ox$.

Найти расстояние между точками, зная их полярные координаты: $r_{1}=3$, $\varphi_{1}=10^{\circ }$, $r_{2}=5$, $\varphi_{2}=130^{\circ }$.

Полюс — в точке $(3,5)$. Полярная ось параллельна положительному направлению оси $Oy$. Найти полярные координаты точек $M_{1}(9,-1)$ и $M_{2}(5,5+2\sqrt{3})$.

Рассматривая проекции некоторой ломаной линии, доказать формулы:

Найти уравнение прямой, параллельной оси $Ox$ и удаленной от нее на $h$.

Найти уравнение прямой, параллельной оси $Oy$ и удаленной от нее на $h$.

Вершины квадрата — в точках $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$. Найти уравнения его диагоналей.

На прямой $y = 2x-3$ найти точку, ордината которой равна 7.

Считая, что ось $Ox$ расположена горизонтально, определить, какие из точек $M_{1}(-1,2)$, $M_{2}(-3,-10)$, $M_{3}(2,1)$, $M_{4}(5,4)$ расположены выше, ниже и на прямой $y = 2x-3$.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку $(2,1)$ и составляющей с $Ox$ угол $45^{\circ }$.

Провести прямую через точки $M_{1}(-1,2)$ и $M_{2}(2,1)$.

Найти уравнение прямой, проходящей через точки $(3,7)$ и $(3,-2)$.

Найти уравнения сторон треугольника, вершины которого — в точках $M_{1}(1,-1)$, $M_{2}(3,5)$, $M_{3}(-7,11)$.

Через точку $(2,-1)$ провести прямую, параллельную прямой $2x+3y=0$.

Через точку $(2,-3)$ провести прямую, перпендикулярную к прямой $y = 2x+1$.

Через точку $(3,5)$ провести прямые под углом $45^{\circ }$ к прямой $3x-2y+7=0$.

Найти углы треугольника с вершинами в точках $M_{1}(0,2)$, $M_{2}(2,2)$, $M_{3}(3+\sqrt{3},3+\sqrt{3})$.

Через точку $(4,-3)$ провести прямую так, чтобы площадь, ограниченная ею и осями координат, равнялась 3 кв. единицам.

Найти вершины треугольника по уравнениям его сторон: $x-y=0$, $2x+3y+5=0$, $x+2y+6=0$.

Найти площадь треугольника по уравнениям его сторон: $y = 3x-9$, $y = -2x+1$, $y = -x+3$.

Через точку $(1,2)$ провести прямую, образующую угол $30^{\circ }$ с прямой $x-2y=0$, и найти точку пересечения данной прямой и искомой.

Дана вершина квадрата $(2,-2)$ и его диагональ $x+2y=0$. Найти уравнения сторон квадрата.

Дана прямая $3x-2y+2=0$ и точка $M(-4,8)$. Найти проекцию $M'$ точки $M$ на заданную прямую и определить отношение $\left|OM'\right| : \left|OM\right|$.

Через точку $(1,2)$ провести прямую, расстояния от которой до точек $(2,3)$ и $(4,-5)$ были бы одинаковы.

Уравнения двух сторон параллелограмма: $x+2y+1=0$ и $2x+y-3=0$. Центр его — в точке $(1,2)$. Найти уравнения двух других сторон.

Через точку $(-1,2)$ провести прямую, расстояние от которой до точки $(6,1)$ равно 5.

Через точку $(2,-2)$ провести прямые, расстояния от которых до точки $(5,2)$ равны 3.

Дана точка $M(-1,2)$ и прямая $y=3x$. Провести прямую, параллельную данной, расстояние от которой до точки $M$ втрое больше, чем расстояние до данной.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку $(-4,3)$ и удаленной от начала координат на расстояние, равное 5.

Дана прямая $4x+3y+1=0$. Найти прямую, параллельную данной и удаленную от нее на расстояние, равное 3.

Найти расстояние между прямыми $2x+3y=7$ и $4x+6y=11$.

Найти прямую, параллельную прямым $x+2y=1$ и $x+2y=3$, расположенную между ними и делящую расстояние между ними в отношении $1:3$.

Найти уравнение прямой, лежащей посередине между прямыми $3x+2y=5$ и $6x+4y+3=0$.

Найти уравнение прямой, параллельной прямой $2x+3y+6=0$ и отсекающей от координатного угла треугольник с площадью 3.

Даны прямая $2x+y-3=0$ и точка $M(1,1)$ на ней. На той же прямой найти точки, удаленные от $M$ на $\sqrt{5}$.

Найти уравнения сторон треугольника, у которого $2x+3y+1=0$ и $x+y=0$ — высоты, а $M(1,2)$ — одна из вершин.

$M_{1}(2,1)$ и $M_{2}(4,9)$ — вершины треугольника, $N(3,4)$ — точка пересечения высот. Найти уравнения сторон.

Середины сторон треугольника — в точках $(1,2)$, $(7,4)$, $(3,-4)$. Найти уравнения сторон.

Даны две стороны параллелограмма $2y-x=0$, $x-3=0$ и вершина $(7,5)$. Найти угол между диагоналями.

Даны две стороны параллелограмма $2x-y=0$, $x-3y=0$ и центр его $(2,3)$. Найти уравнения диагоналей.

Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину $(-4,3)$ и уравнения двух медиан: $3x-2y+3=0$, $3x-5y+6=0$.

Пересечение медиан — в точке $(-1,0)$, а $x+y-1=0$ и $y+1=0$ — уравнения двух сторон. Найти уравнение третьей стороны.

Вершины треугольника — в точках $A(1,3)$, $B(-1,0)$, $C(2,-2)$. Найти уравнения высот.

Через точку пересечения прямых $x-y-1=0$ и $x+2y-2=0$ провести прямую, проходящую через точку $(-1,1)$.

Провести прямую через начало координат и точку пересечения прямых $17x+29y=317$ и $3x+10y=634$.

Через точку пересечения прямых $x+2y-11=0$ и $2x-y-2=0$ провести прямую, расстояние от которой до начала координат равно 5.

Через точку $(-1,1)$ провести прямую так, чтобы середина ее отрезка между прямыми $x+2y-1=0$ и $x+2y-3=0$ лежала на прямой $x-y-1=0$.

Через начало координат провести прямые так, чтобы отрезки их между прямыми $x-y+1=0$ и $x-y-2=0$ были равны 3.

Найти прямую, проходящую через точку $(2,3)$, зная, что отрезок этой прямой между прямыми $3x+4y-7=0$ и $3x+4y+8=0$ равен $3\sqrt{2}$.

Найти биссектрисы углов между прямыми $3x+4y-1=0$ и $4x-3y+5=0$.

Найти биссектрису того угла между прямыми $4x+7y-3=0$ и $8x-y+3=0$, в котором лежит начало координат.

Точки $(1,2)$, $(-1,-1)$, $(2,1)$ — вершины треугольника. Найти уравнение биссектрисы внутреннего угла при точке $(-1,-1)$.

Найти радиус круга, вписанного в треугольник, если даны уравнения сторон: $3x-4y=25$, $5x+12y=65$, $8x+15y+85=0$.

Даны стороны треугольника $2x+y=0$, $x-2y=0$ и $2x+11y-20=0$. Найти центр вписанного круга.

Дана точка $P(0,1)$. Провести через нее прямую так, чтобы ее отрезок между прямыми $x-3y+10=0$ и $2x+y-8=0$ делился самой точкой $P$ пополам.

Дана одна сторона угла $y=2x$ и биссектриса $2y-x-3=0$. Найти другую сторону угла.

Даны две вершины треугольника $A(1,6)$ и $B(7,-2)$ и центр вписанной окружности $O(4,4)$. Найти третью вершину $C$.

Уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника $2x-y+8=0$ и $x-2y-12=0$. Точка $(4,0)$ на основании. Найти уравнение основания.

Луч света проходит через точку $(2,3)$, отражается в прямой $x+y+1=0$ и попадает в точку $(1,1)$. Найти уравнения луча падающего и луча отраженного.

Прямая $2x+y-1=0$ — биссектриса, а точки $(1,2)$ и $(-1,-1)$ — вершины треугольника. Найти третью вершину.

Точка $(2,5)$ — вершина треугольника, прямые $3x+4y-12=0$ и $x-y-1=0$ — биссектрисы внутренних углов. Найти уравнения сторон.

Точки $(1,1)$ и $(0,4)$ — вершины треугольника, $2x-y-1=0$ — внутренняя биссектриса. Найти уравнения сторон, зная, что площадь треугольника равна 5.

Уравнение основания равнобедренного треугольника: $x+y-1=0$, уравнение боковой стороны: $x-2y-2=0$. Точка $(-2,0)$ — на другой боковой стороне. Найти уравнение этой стороны.

Биссектрисы внутренних углов треугольника $A$ и $B$ пересекают его стороны в точках $M$ и $N$. Доказать, что для любой точки отрезка $MN$ сумма расстояний до сторон $AC$ и $BC$ равна расстоянию до стороны $AB$.

Через точку на биссектрисе угла проведены две прямые. Одна из них отсекает на сторонах угла, считая от вершины, отрезки $a$ и $b$, другая — отрезки $a_{1}$ и $b_{1}$. Доказать, что

Взять прямые $2x-y+1=0$ и $x+2y-1=0$ за новые оси $O_{1}x_{1}$ и $O_{1}y_{1}$, выбрав направления так, чтобы новые координаты прежнего начала были положительны. Найти формулы перехода от одних координат к другим.

Прямые $x-y-1=0$ и $x+y+2=0$ приняты за новые оси координат так, что новые координаты прежнего начала отрицательны. Найти новые уравнения прежних осей.

Прямая пересекает стороны треугольника $AB$ и $CB$ в точках $M$ и $N$, а продолжение стороны $AC$ — в точке $P$. Доказать равенство

(теорема Менелая).

Точки $M$, $N$, $P$ — на сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника. Прямые $AM$, $BN$ и $CP$ пересекаются в одной точке. Доказать равенство

Доказать, что уравнения биссектрис треугольника можно написать в виде $s_{1}\pm s_{2}=0$, $s_{1}\pm s_{3}=0$, $s_{2}\pm s_{3}=0$, где через $s_{1}$, $s_{2}$ и $s_{3}$ обозначены левые части уравнений сторон треугольника, взятых в нормальной форме.

Гомографическое или проективное преобразование плоскости состоит в том, что каждая точка $(x,y)$ переходит в точку $(x_{1},y_{1})$, где $x_{1} = \frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{0}x+b_{0}y+c_{0}}$; $y_{1} = \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{0}x+b_{0}y+c_{0}}$; $a_{0}^{2}+b_{0}^{2}+c_{0}^{2} > 0$.

Доказать, что при любом выборе коэффициентов $a_{k}$, $b_{k}$, $c_{k}$ ($k=0,1,2$) проективное преобразование представляет коллинеацию, т. е. переводит прямые в прямые.

Ангармоническим отношением четырех точек $A$, $B$, $C$, $D$, лежащих на прямой, называется отношение $\frac{AC}{BC} : \frac{AD}{BD}$. Доказать, что при проективном преобразовании величина ангармонического отношения не меняется.

Найти общий вид уравнений окружностей, касающихся оси $Ox$ в начале координат.

Найти уравнение окружностей предыдущей задачи в полярных координатах, если полярная ось совпадает с положительной частью оси $Ox$.

Найти центр и радиус окружности $x^{2}+y^{2}-6x+8y=0$.

Составить уравнение окружности радиуса $r=2$, касающейся прямых $3x+4y-8=0$ и $12x-5y+17=0$.

Найти длину отрезка прямой $x+5y=9$, лежащего внутри окружности $x^{2}+y^{2}-4x-8y+7=0$.

Найти уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $M_{1}(0,0)$, $M_{2}(10,0)$, $M_{3}(6,8)$.

На окружности $x^{2}+y^{2}=1$ найти точку, одинаково удаленную от точек $(1,3)$ и $(-2,2)$.

Найти уравнение круга, вписанного в треугольник, стороны которого даны уравнениями:

Через точку $(1,2)$ провести касательную к окружности $x^{2}+y^{2}=5$.

Через точку $(-1,3)$ провести касательные к окружности $x^{2}+y^{2}=5$.

Найти общую хорду окружностей $x^{2}+y^{2}=2ax$ и $x^{2}+y^{2}=2by$.

Найти общие касательные к окружностям $x^{2}+y^{2}=6x$ и $x^{2}+y^{2}=6y$.

Точка $(x_{1},y_{1})$ — вне окружности $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Найти длину $l$ касательной из точки к окружности.

Точка $(x_{1},y_{1})$ — внутри окружности $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Доказать, что хорда окружности, проходящая через $(x_{1},y_{1})$, делится этой точкой на части, произведение которых равно $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C$.

Окружность касается осей координат и проходит через точку $(4,8)$. Найти ее уравнение.

Окружность касается оси $Oy$ и проходит через начало координат и точку $(3,6)$. Найти ее уравнение.

На оси $Ox$ найти такую точку, касательные из которой к окружностям $x^{2}+y^{2}=6y-6$ и $x^{2}+y^{2}=2x$ были бы одинаковой длины.

Найти общий вид окружностей, касающихся обеих биссектрис координатных углов.

Показать, что геометрическое место точек, расстояния от которых до двух данных точек находятся в данном отношении, не равном единице, есть окружность. (Окружность Аполлония.)

Показать, что геометрическое место точек, касательные из которых к двум данным окружностям имеют одинаковую длину, есть прямая. (Радикальная ось двух кругов.)

Доказать, что при любых $a$ и $b$ окружности $x^{2}+y^{2}=ax$ и $x^{2}+y^{2}=by$ пересекаются под прямым углом. Здесь под углом между кривыми понимается, как обычно, угол между их касательными в точке пересечения.

Показать, что каждая из окружностей $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}+h^{2}$ пересекается под прямым углом с каждой из окружностей $x^{2}+\left(y\pm \sqrt{r^{2}+h^{2}}\right)^{2}=r^{2}$.

Доказать, что каждая из окружностей $x^{2}+y^{2}-2ax+b^{2}=0$ пересекается с каждой из окружностей $x^{2}+y^{2}-2cy+b^{2}=0$ под прямым углом.

Из начала координат проведены хорды окружности $x^{2}+y^{2}=2ax$. Найти геометрическое место середин этих хорд.

Найти уравнение геометрического места точек, расстояния которых до прямых $Ax+By+C=0$ и $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ имеют отношение $m:n$.

Отрезок длиной $a+b$ скользит концами по осям координат. Найти кривую, описанную точкой $M$, делящей его на части $a$ и $b$. (Эллипсограф Леонардо да Винчи.)

Проведены две окружности радиусов $b$ и $a$ с центром в начале координат. Переменный радиус пересекает внутреннюю из них в точке $A$, внешнюю — в $B$. Из $A$ проводим прямую параллельно оси $Ox$, из $B$ — параллельно оси $Oy$ до взаимного пересечения этих прямых в точке $M$. Найти геометрическое место точки $M$.

Из начала координат проводится прямая, составляющая угол $\frac{\pi \theta }{2}$ с осью $Oy$. Эта прямая в точке $M$ пересекается прямой $x=a\theta$. Найти уравнение геометрического места точки $M$. (Квадратриса Динострата.)

Из начала координат проводятся хорды окружности $x^{2}+y^{2}=2ax$ и продолжаются до пересечения с прямой $x=2a$. Эти продолжения откладываются на тех же хордах из начала координат. Найти геометрическое место концов передвинутых продолжений. (Циссоида Диоклеса.)

Из начала координат проведена произвольная прямая, пересекающая окружность $x^{2}+y^{2}=ay$ и прямую $y=a$ в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ проводится прямая параллельно оси $Ox$, а из точки $B$ — параллельно оси $Oy$. Найти геометрическое место точки пересечения этих прямых. (Верзьера Марии Аньези.)

Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых до двух данных точек $(a,0)$ и $(-a,0)$ есть величина постоянная, равная $b^{2}$. (Овалы Кассини.)

Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых до двух данных точек равно квадрату половины расстояния между ними. (Лемниската Бернулли.)

Найти геометрическое место точек, между расстояниями которых до двух данных точек существует линейная зависимость $r_{1}-ar_{2}=b$. (Овалы Декарта.)

Через точку $(0,-a)$ проводятся прямые, пересекающие ось $Ox$. На каждой из них, по обе стороны от точки пересечения с $Ox$, откладываются отрезки длиною $h$. Найти геометрическое место концов этих отрезков. (Конхоида Никомеда.)

Из точки $A$ на окружности диаметра $a$ проводятся секущие. На каждой из них по обе стороны от другой точки пересечения с окружностью откладываются отрезки длиною $b$. Найти геометрическое место их концов. (Улитка Паскаля.)

Нить, намотанная на окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, разматывается, оставаясь туго натянутой. Найти геометрическое место, описываемое ее концом, если начальное положение конца нити было в точке $(a,0)$. (Эвольвента круга.)

Круг радиуса $a$ катится без скольжения по оси $Ox$. Найти уравнение кривой, описанной той точкой круга, которая в начальный момент касалась оси $Ox$ в начале координат. (Циклоида.)

Найти уравнение кривой, описанной точкой круга радиуса $a$, катящегося без скольжения по оси $Ox$, если в тот момент, когда круг касался оси $Ox$ в начале координат, эта точка занимала положение $(0,a-b)$. (Трохоида.)

Круг радиуса $a$ катится без скольжения снаружи по кругу $x^{2}+y^{2}=a^{2}n^{2}$. Найти геометрическое место, описываемое той точкой катящегося круга, которая в начальный момент касалась неподвижного круга на оси $Ox$. (Эпициклоида.)

Круг радиуса $a$ катится по кругу $x^{2}+y^{2}=a^{2}n^{2}$ внутри его без скольжения. Найти геометрическое место, описываемое той точкой катящегося круга, которая в начальный момент касалась неподвижного круга на оси $Ox$. (Гипоциклоида.)