Кривые второго порядка в простейшем виде

Найти уравнение параболы, проходящей через точку $(6,9)$, с вершиной в начале координат и симметричной относительно оси $Oy$.

Ось $Ox$ — ось симметрии параболы с вершиной в начале. Найти уравнение этой параболы, зная, что она проходит через точку $(2,2)$.

Параболическое зеркало рефлектора телескопа в Симеизе имело фокусное расстояние $5{,}4$ м и $1{,}02$ м в диаметре. Найти глубину параболической вогнутости зеркала.

Зеркало автомобильного фонаря имеет в разрезе форму параболы. Диаметр зеркала $20$ см, глубина $10$ см. Найти положение фокуса зеркала.

Доказать, что все параболы $y^{2}=2px$ геометрически подобны.

На параболе $y^{2}=24x$ взята точка на расстоянии 14 ед. от фокуса. Определить ее расстояние от вершины.

Доказать, что произведение ординат концов любой хорды, проходящей через фокус параболы $y^{2}=2px$, есть величина постоянная.

На параболе $y^{2}=2px$ найти точку, такую, что ее расстояния от фокуса и от вершины находятся в отношении $7:8$.

Дана парабола $y^{2}=4-4x$ и прямая $x+y=1$. Через одну из точек их пересечения провести другую параболу с той же осью и фокусом.

Составить уравнение параболы с осью симметрии $Ox$, проходящей через точки $(a,0)$, $(0,b)$. При каком соотношении между $a$ и $b$ фокус параболы будет в начале координат?

Даны параболы $y^{2}=4x+8$ и $4x+y^{2}-4y-8=0$. Найти уравнение их общей хорды и точку ее пересечения с прямой, соединяющей фокусы.

Даны три точки $(-5,2)$, $(1,-4)$ и $(5,12)$, лежащие на параболе с осью, параллельной оси $Oy$. Найти вершину, фокус и директрису этой параболы.

Через три точки $(-2,1)$, $(-1,0)$ и $(6,1)$ провести окружность и параболу с осью, параллельной оси $Oy$. Определить расстояние центра окружности от вершины параболы.

Доказать, что уравнение $yy_{1}=p(x+x_{1})$ изображает касательную к параболе $y^{2}=2px$ в точке $(x_{1},y_{1})$.

Даны параболы $y^{2}+4x=0$ и $y^{2}=16x+80$. Проверить, что они софокусны и что касательные в точках пересечения взаимно перпендикулярны.

Даны три точки $(-3,2)$, $(-1,1)$ и $(3,5)$, провести через них параболу с осью, параллельной оси $Oy$, и окружность и найти углы, под которыми они пересекаются.

Доказать, что касательная к параболе $y^{2}=2px$, имеющая угловой коэффициент $m$, изображается уравнением $y = mx+\frac{p}{2m}$.

Найти касательную к параболе $4y=x^{2}$ в точке $(2,1)$.

Через точку $(0,-4)$ провести касательную к параболе $4y=x^{2}$.

Через точку $(-4,-1)$ провести касательную к параболе $y^{2}=2x$.

Доказать, что касательные, проведенные в концах хорды параболы, проходящей через фокус, взаимно перпендикулярны.

Дана парабола $y^{2}=2px$. Найти угол между касательными к ней, проведенными из точки $(-p,p)$.

Найти расстояние от фокуса параболы $y^{2}=2px$ до касательной к ней, угол которой с осью равен $\alpha$.

Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на касательные к ней.

Дана парабола $4y+x^{2}-4x-12=0$ и прямая $y-2x=0$. Провести касательную, параллельную данной прямой.

Найти общие касательные к параболе $y^{2}=8x$ и окружности $x^{2}+y^{2}=2$.

Даны две параболы: $y^{2}=2px$ и $y^{2}=2p(x+a)$. Доказать, что отрезки касательной к первой параболе, лежащие внутри второй, делятся точкой касания пополам.

Найти геометрическое место точек, из которых парабола видна под прямым углом.

Ординаты окружности $x^{2}+y^{2}=36$ уменьшены в два раза. Найти уравнение полученной кривой.

Найти полуоси эллипса $3x^{2}+5y^{2}-30=0$.

Найти уравнение эллипса, проходящего через точки $(1,4)$ и $(7,2)$ и симметричного относительно осей $Ox$ и $Oy$.

Доказать, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом $e$ геометрически подобны, т. е. могут быть совмещены друг с другом при соответствующем увеличении одного из них.

Меридиан земного шара — эллипс, у которого сжатие, т.е. $\frac{a-b}{a}$, равно $\frac{1}{298}$. Найти его эксцентриситет.

Орбита земного шара — эллипс с полуосью $a=150 \cdot 10^{6}$ км и эксцентриситетом $e=0{,}017$. Зная, что Солнце в фокусе этого эллипса, найти, на сколько кратчайшее расстояние Земли до Солнца (4 января) короче длиннейшего (3 июля).

Даны две точки, лежащие на эллипсе, оси которого служат осями координат, — $(3;2{,}4)$ и $(4;1{,}8)$. Найти этот эллипс и проекции фокусов на хорду, соединяющую данные точки.

Даны эллипс и парабола $y^{2}=18x-0{,}36x^{2}$, $y^{2}=18x$. Найти расстояние от фокуса параболы до ближайшего фокуса эллипса.

Найти эксцентриситет равнобочной гиперболы.

Директрисы гиперболы делят расстояние между фокусами на три равные части. Найти ее эксцентриситет.

Фокусы эллипса делят расстояние между директрисами на три равные части. Найти его эксцентриситет.

Каким станет уравнение равнобочной гиперболы $x^{2}-y^{2}=a^{2}$, если повернуть оси на угол $\alpha =-45^{\circ }$?

Расстояние между фокусами эллипса равно 2, расстояние между директрисами 10. Найти полуоси.

Эксцентриситет гиперболы равен 2. Найти угол между асимптотами.

Малая ось эллипса видна из фокуса под прямым углом. Найти эксцентриситет.

Дана гипербола $x^{2}-y^{2}=8$. Найти софокусный эллипс, проходящий через точку $(4,6)$.

Дан эллипс $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$. Написать уравнение софокусной равнобочной гиперболы.

Найти общее уравнение эллипсов и гипербол с фокусами в точках $(\pm c,0)$.

Дан эллипс $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{5}=1$. Найти уравнение гиперболы, имеющей фокусы в вершинах данного эллипса, а вершины — в фокусах.

Дан эллипс $\frac{x^{2}}{33}+\frac{y^{2}}{8}=1$. Найти софокусную с ним гиперболу, имеющую эксцентриситет, равный $1{,}25$.

Найти эллипс и гиперболу, проходящие через точку $(6,4)$ и софокусные с гиперболой

Оси координат служат осями гиперболы, проходящей через точку $(6,5)$ и имеющей эксцентриситет, равный $1{,}5$. Составить уравнение.

Найти точки, в которых гипербола $\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$ пересекается прямыми, параллельными асимптотам и проходящими через правый фокус.

Найти расстояние от фокуса гиперболы $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$ до асимптоты.

Полярное уравнение линии второго порядка есть $r(5+3\cos \varphi )=16$. Найти ее уравнение относительно осей симметрии.

То же для кривой $r(4+5\cos \varphi )=9$.

Доказать равенство

где $\rho_{1}$, $\rho_{2}$, , $\rho_{n}$ — радиус-векторы, проведенные из фокуса параболы под углами $\frac{2\pi }{n}$ друг к другу.

Доказать равенство

где $r_{1}$ и $r_{2}$ — взаимно перпендикулярные радиус-векторы, проведенные из центра эллипса.

Доказать равенство

где $r_{1}$, $r_{2}$, , $r_{n}$ — радиус-векторы из центра эллипса, составляющие между собой углы $\frac{2\pi }{n}$.

Найти уравнения диаметров эллипса $x^{2}+6y^{2}=2$, длина которых равна 2.

Доказать, что при проектировании взаимно перпендикулярные диаметры круга переходят в сопряженные диаметры эллипса.

Пользуясь теоремой о том, что площадь проекции равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции, доказать теорему Аполлония: $a_{1}b_{1}\sin \omega = ab$, где $a_{1}$ и $b_{1}$ — длины сопряженных полудиаметров эллипса, а $\omega$ — угол между ними.

Исходя из результата задачи 222, доказать другую теорему Аполлония, в силу которой $a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}$.

Найти угол между равными сопряженными диаметрами эллипса $x^{2}+3y^{2}=6$.

Найти длины сопряженных диаметров гиперболы $x^{2}-y^{2}=1$, угол между которыми равен $45^{\circ }$.

Найти длины сопряженных диаметров эллипса $x^{2}+15y^{2}=5$, угол между которыми равен $150^{\circ }$.

Угол между сопряженными диаметрами эллипса равен $120^{\circ }$. Один из них вдвое больше другого. Найти эксцентриситет.

Найти длины сопряженных диаметров эллипса $\frac{x^{2}}{5}+3y^{2}=1$, составляющих угол $150^{\circ }$.

Длины сопряженных диаметров эллипса $8x^{2}+17y^{2}=136$ относятся как $4:3$. Найти уравнения этих диаметров.

Сумма длин сопряженных диаметров 6, угол между ними 150, а эксцентриситет $e=\frac{3}{5}$. Найти оси эллипса.

Найти длины сопряженных диаметров эллипса $3x^{2}+5y^{2}=15$, составляющих наибольший угол.

Найти угол между сопряженными диаметрами гиперболы, зная отношение их длин $m$ и эксцентриситет $e$.

Найти угол между асимптотами гиперболы, зная, что сопряженные диаметры ее образуют угол $45^{\circ }$ и относятся как 2 к 3.

Найти длины сопряженных диаметров гиперболы $9x^{2}-16y^{2}=144$, сумма которых относится к сумме осей как 5 к 2.

Доказать, что уравнение $Axx_{1}+Byy_{1}+C=0$ изображает касательную к кривой $Ax^{2}+By^{2}+C=0$ в точке $(x_{1},y_{1})$.

Дан эллипс $4x^{2}+y^{2}=8$ и прямая $y-2x=0$. Провести к эллипсу касательные, параллельные этой прямой, и найти расстояние между касательными.

Через точку $(2,-1)$ провести касательную к эллипсу $x^{2}+9y^{2}=9$.

Через точку $(3,-6)$ провести касательную к гиперболе $4x^{2}-9y^{2}=36$.

Через точку $(1,-2)$ провести касательную к гиперболе $x^{2}-y^{2}=1$.

Провести параллельно прямой $2x-3y=0$ касательные к эллипсу $x^{2}+4y^{2}=4$.

Параллельно прямой $10x+3y=0$ провести касательные к гиперболе $4x^{2}-y^{2}=4$.

Найти касательные к гиперболе $\frac{4x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{6}=1$ в точках ее пересечения с прямою $3x=5y$ и расстояние между этими касательными.

Даны: эллипс $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{36}=1$ и гипербола $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$. Проверить, что касательные к ним в точках пересечения взаимно перпендикулярны.

Даны два эллипса: $\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{9}=1$ и $\frac{x^{2}}{19}+\frac{y^{2}}{3}=1$. Найти касательные к первому эллипсу, проходящие через фокусы второго.

Найти касательные к гиперболе $\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{21}=1$ проходящие через фокус сопряженной гиперболы.

Найти угол между касательными к гиперболе $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$, проведенными из точки $(1,2)$.

Доказать, что касательная к эллипсу $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, имеющая угловой коэффициент $m$, изображается уравнением

Доказать, что касательная к гиперболе $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sigma$, имеющая угловой коэффициент $m$, изображается уравнением

Доказать, что хорды, соединяющие точки пересечения окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$ с осями координат, касаются эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$.

Показать, что эллипсы $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ касаются прямых $\pm x \pm y = c$, если $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Доказать, что геометрическое место точек, из которых эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ виден под прямым углом, есть окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$.

Показать, что у гиперболы $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ произведение расстояний фокусов от касательной равно $b$.