Касательные к кривым второго порядка. Полюсы и поляры

Найти уравнение касательной в начале координат к кривой

Найти касательную к кривой $x^{2}-xy-y^{2}-2x+2y+1=0$, параллельную прямой $2x+2y-1=0$.

Найти уравнения касательных к эллипсу $x^{2}+xy+y^{2}=3$, параллельных осям координат.

Найти уравнение касательной к кривой $3x^{2}+4xy+5y^{2}-7x-8y-3=0$, проходящей через точку $(2,1)$.

Через точку $(4,-2)$ провести касательную к кривой $x^{2}-xy-y^{2}-2x+2y+1=0$.

Доказать теорему: если полюс движется по прямой, то поляра вращается вокруг некоторой точки.

Доказать теорему: если поляра точки $M$ проходит через точку $N$, то поляра точки $N$ проходит через точку $M$.

Доказать теорему Брианшона: диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке.

Доказать, что кривая второго порядка определяется своими пятью касательными.

Доказать, что полюсы касательных к некоторой кривой второго порядка, взятые относительно данной кривой второго порядка, лежат на кривой второго порядка.

Найти геометрическое место полюсов касательных к окружности радиуса $R$ относительно концентрической окружности радиуса $r$.

Если одна из сторон обращается в нуль или две стороны служат продолжением одна другой, то шестиугольник обращается в пятиугольник. Во что переходят при этом теоремы Паскаля (задача 270) и Брианшона (задача 344)?

Такой же вопрос — для дальнейших случаев вырождения, когда шестиугольник переходит в четырехугольник или треугольник.