Геометрические места

Из начала координат проведены хорды окружности $x^{2}+y^{2}=2ax$. Найти геометрическое место середин этих хорд.

Найти уравнение геометрического места точек, расстояния которых до прямых $Ax+By+C=0$ и $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ имеют отношение $m:n$.

Отрезок длиной $a+b$ скользит концами по осям координат. Найти кривую, описанную точкой $M$, делящей его на части $a$ и $b$. (Эллипсограф Леонардо да Винчи.)

Проведены две окружности радиусов $b$ и $a$ с центром в начале координат. Переменный радиус пересекает внутреннюю из них в точке $A$, внешнюю — в $B$. Из $A$ проводим прямую параллельно оси $Ox$, из $B$ — параллельно оси $Oy$ до взаимного пересечения этих прямых в точке $M$. Найти геометрическое место точки $M$.

Из начала координат проводится прямая, составляющая угол $\frac{\pi \theta }{2}$ с осью $Oy$. Эта прямая в точке $M$ пересекается прямой $x=a\theta$. Найти уравнение геометрического места точки $M$. (Квадратриса Динострата.)

Из начала координат проводятся хорды окружности $x^{2}+y^{2}=2ax$ и продолжаются до пересечения с прямой $x=2a$. Эти продолжения откладываются на тех же хордах из начала координат. Найти геометрическое место концов передвинутых продолжений. (Циссоида Диоклеса.)

Из начала координат проведена произвольная прямая, пересекающая окружность $x^{2}+y^{2}=ay$ и прямую $y=a$ в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ проводится прямая параллельно оси $Ox$, а из точки $B$ — параллельно оси $Oy$. Найти геометрическое место точки пересечения этих прямых. (Верзьера Марии Аньези.)

Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых до двух данных точек $(a,0)$ и $(-a,0)$ есть величина постоянная, равная $b^{2}$. (Овалы Кассини.)

Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых до двух данных точек равно квадрату половины расстояния между ними. (Лемниската Бернулли.)

Найти геометрическое место точек, между расстояниями которых до двух данных точек существует линейная зависимость $r_{1}-ar_{2}=b$. (Овалы Декарта.)

Через точку $(0,-a)$ проводятся прямые, пересекающие ось $Ox$. На каждой из них, по обе стороны от точки пересечения с $Ox$, откладываются отрезки длиною $h$. Найти геометрическое место концов этих отрезков. (Конхоида Никомеда.)

Из точки $A$ на окружности диаметра $a$ проводятся секущие. На каждой из них по обе стороны от другой точки пересечения с окружностью откладываются отрезки длиною $b$. Найти геометрическое место их концов. (Улитка Паскаля.)

Нить, намотанная на окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, разматывается, оставаясь туго натянутой. Найти геометрическое место, описываемое ее концом, если начальное положение конца нити было в точке $(a,0)$. (Эвольвента круга.)

Круг радиуса $a$ катится без скольжения по оси $Ox$. Найти уравнение кривой, описанной той точкой круга, которая в начальный момент касалась оси $Ox$ в начале координат. (Циклоида.)

Найти уравнение кривой, описанной точкой круга радиуса $a$, катящегося без скольжения по оси $Ox$, если в тот момент, когда круг касался оси $Ox$ в начале координат, эта точка занимала положение $(0,a-b)$. (Трохоида.)

Круг радиуса $a$ катится без скольжения снаружи по кругу $x^{2}+y^{2}=a^{2}n^{2}$. Найти геометрическое место, описываемое той точкой катящегося круга, которая в начальный момент касалась неподвижного круга на оси $Ox$. (Эпициклоида.)

Круг радиуса $a$ катится по кругу $x^{2}+y^{2}=a^{2}n^{2}$ внутри его без скольжения. Найти геометрическое место, описываемое той точкой катящегося круга, которая в начальный момент касалась неподвижного круга на оси $Ox$. (Гипоциклоида.)

Показать, что при $n=4$ гипоциклоида обращается в астроиду $x^{2/3}+y^{2/3}=(4a)^{2/3}$.

При $n=1$ эпициклоида обращается в кривую, называемую кардиоидой. Показать, что уравнение кардиоиды в соответственно выбранных полярных координатах имеет вид $r = a(1+\cos \varphi )$.

Показать, что кардиоида (см. предыдущую задачу) есть частный случай улитки Паскаля (см. задачу 141).

Показать, что при $n=2$ гипоциклоида обращается в прямую. (Теорема Кардано.)

Прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ скользит концами их по осям координат. Найти геометрическое место вершины прямого угла.

Найти геометрическое место центров прямоугольников, вписанных в данный треугольник так, что одна из их сторон лежит на основании треугольника.

Найти геометрическое место центров параллелограммов, вписанных в данный четырехугольник, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника.

Концы основания треугольника — в точках $(\pm a,0)$. Один из углов при основании вдвое больше другого. Найти геометрическое место вершины треугольника.

Концы основания треугольника — в точках $(\pm a,0)$. Разность углов при основании равна $\varphi$. Найти геометрическое место вершины.

Найти геометрическое место центров тяжести треугольников, образуемых прямыми $x=0$, $y=0$, $\frac{x}{k}+\frac{y}{3-k}=1$.

Три вершины параллелограмма, направления сторон которого даны, скользят по трем данным прямым. Каково геометрическое место четвертой вершины?

Четыре стороны изменяющегося параллелограмма все время проходят через четыре данные точки на прямой. Показать, что диагонали параллелограмма тоже проходят через некоторые неподвижные точки.

Стороны прямого угла, положение которого меняется, проходят все время через две данные точки. Доказать, что также биссектриса его проходит через постоянную точку.

Сторона переменного квадрата проходит через начало координат, а концы ее скользят по прямым, параллельным оси $Ox$. Каково геометрическое место двух других вершин?

Найти геометрическое место середин хорд круга $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, проходящих через точку $P(c,0)$ внутри круга.

Прямые $a$, $b$ и $c$ вращаются около точек $A$, $B$, $C$, лежащих на одной прямой. При этом точка пересечения прямых $a$ и $b$ скользит по прямой $P$, а точка пересечения прямых $a$ и $c$ скользит по прямой $Q$. Доказать, что геометрическое место точек пересечения прямых $b$ и $c$ скользит по прямой $R$, проходящей через точку пересечения прямых $P$ и $Q$.

Доказать теорему Дезарга: если вершины двух треугольников лежат на трех прямых, исходящих из одной точки, то три точки пересечения соответствующих пар сторон треугольников лежат на одной прямой.