Центр, диаметры. Упрощение уравнений кривых второго порядка

Пусть $(x,y)$ — середина хорды кривой $f(x,y,1)=0$, а $(x+\xi t, y+\eta t)$ и $(x-\xi t, y-\eta t)$ — концы хорды. Доказать, что

Доказать, что середины хорд кривой $f(x,y,1)=0$, параллельных прямой $\frac{x}{\xi } = \frac{y}{\eta }$, лежат на прямой $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{1}\xi + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{1}\eta = 0$ или, в полном виде:

(Диаметр, сопряженный с данным направлением.)

Показать, что при переносе начала координат в точку $(\xi ,\eta )$ уравнение $f(x,y,1)=0$ переходит в уравнение

При $4AC-B^{2} \neq 0$ все диаметры проходят через точку $(\xi ,\eta )$, где пересекаются прямые $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{1}=0$, $\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{1}=0$. Показать, что при переносе начала в точку, выбранную таким образом, уравнение $f(x,y,1)=0$ переходит в такое:

Здесь $D\xi +E\eta +2F$ есть значение $\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{1}$ при $x=\xi$, $y=\eta$.

Перенести начало координат в центр кривой $x^{2}+3xy-2y^{2}-7x-2y+16=0$ и составить новое уравнение кривой.

Упростить уравнение кривой

перенеся начало координат в центр.

Упростить уравнение линии

перенеся начало координат в тот ее центр, абсцисса которого равна единице.

Показать, что прямая $7x+y+6=0$ проходит через центры кривых

и

Найти оси симметрии эллипса

Найти фокусы (относительно старых осей координат) гиперболы $x^{2}-6xy+y^{2}-2x-2y+5=0$.

Определить эксцентриситет линии

Упростить уравнение кривой

перенеся начало в центр, а затем повернув оси на соответствующий угол.

То же для кривой $x^{2}+6xy+y^{2}+8x+24y+39=0$.

Упростить уравнение параболы

повернув оси так, чтобы новое уравнение не содержало $x_{1}y_{1}$, и перенеся затем начало так, чтобы в окончательном уравнении осталось лишь два члена.

Доказать, что при $4AC-B^{2}=0$, $A>0$ (так что можно положить $A=a^{2}$) имеет место тождество

где $\alpha = D-2ah$, $\beta = E-2bh$, $\gamma = F-h^{2}$.

Доказать, что в тождестве предыдущей задачи число $h$ можно выбрать так, чтобы прямые $ax+by+h=0$ и $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ были взаимно перпендикулярны, если только числа $D$ и $E$ не пропорциональны числам $a$ и $b$.

Упростить уравнение кривой

с помощью тождества:

подобрав $h$ так, чтобы прямые $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ и $x+y+h=0$ были взаимно перпендикулярны. При этом формулы преобразования координат имеют вид:

Тем же способом упростить уравнение параболы

Упростить уравнение параболы

При данных $A$, $B$ и $C$ и соответственно подобранном значении $\lambda$ справедливо тождество

где $\alpha$ и $\beta$ — вещественные или мнимые коэффициенты. Доказать, что такими значениями $\lambda$ являются корни уравнения

Уравнение

изображает пару прямых, вещественных или мнимых, тогда и только тогда, если дискриминант $\Delta$ равен нулю. Пользуясь этим, доказать, что при любых преобразованиях координат величина $\Delta$ не изменяется.

Пользуясь инвариантностью величин $A+C$, $4AC-B^{2}$ и дискриминанта $\Delta$, доказать, что при $4AC-B^{2} \neq 0$ уравнение

после упрощения приводится к виду

Здесь $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ — корни уравнения $\lambda^{2}-2(A+C)\lambda +4AC-B^{2}=0$.

Доказать, что уравнение $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ при $AC-D^{2}=0$ и $\Delta \neq 0$ можно привести к виду

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $5x^{2}+4xy+8y^{2}-32x-56y+80=0$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $5x^{2}+8xy+5y^{2}-18x-18y+9=0$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $5x^{2}+6xy+5y^{2}-16x-16y+16=0$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $5x^{2}-4xy+5y^{2}+4x-10y=319$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $6xy+8y^{2}-12x-26y+11=0$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $7x^{2}+16xy-23y^{2}-14x-16y-218=0$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $7x^{2}+24xy+38x+24y+175=0$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $x^{2}-8xy+7y^{2}+6x-6y+9=0$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $9x^{2}+24xy+16y^{2}-40x+30y=0$.

Привести к простейшему виду уравнение следующей линии: $2x^{2}-72xy+23y^{2}+68x+26y+28=0$.