Кривые второго порядка, заданные уравнением в общем виде

Определить вид линий, заданных уравнениями второго порядка:

Определить вид линий, заданных уравнениями второго порядка:

Определить $k$ так, чтобы уравнение $x^{2}+6xy+y^{2}+6x+2y+k=0$ изображало пару пересекающихся прямых.

Определить $k$ так, чтобы уравнение $3x^{2}-2xy+3y^{2}-2x+2y+k=0$ изображало точку.

Подобрать $\lambda$ так, чтобы уравнение $x^{2}-2\lambda xy+4y^{2}+2x+\lambda y=0$ изображало пару прямых, и найти их.

В уравнении $2x^{2}+\lambda xy+2y^{2}-7x+\mu y+3=0$ подобрать коэффициенты $\lambda$ и $\mu$ так, чтобы уравнение изображало пару параллельных прямых.

Найти уравнения асимптот кривой $2x^{2}-xy+3x+y-1=0$.

Показать, что уравнение $(ax+by+c)(a_{1}x+b_{1}y+c_{1})+\lambda =0$, где $\lambda \neq 0$ и $ab_{1}-a_{1}b \neq 0$, изображает гиперболу с асимптотами $ax+by+c=0$, $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$.

Найти уравнение гиперболы, имеющей асимптотами прямые $x-1=0$ и $y-1=0$ и проходящей через точку $(2,2)$.

Доказать, что при любом значении коэффициентов $\lambda$ и $\mu$ кривая $\lambda f_{1}+\mu f_{2}=0$ проходит через точки пересечения кривых $f_{1}=0$ и $f_{2}=0$. Здесь $f_{1}$ и $f_{2}$ — полиномы относительно $x$ и $y$.

Пусть $s_{kl}=0$ — уравнение прямой $A_{kl}x+B_{kl}y+C_{kl}=0$, проходящей через точки $k$ и $l$. Доказать, что при любых $\lambda$ и $\mu$ уравнение $\lambda s_{12}s_{34}+\mu s_{13}s_{24}=0$ изображает линию второго порядка, проходящую через четыре данные точки.

Найти уравнение линии второго порядка, проходящей через точки $(1,1)$, $(2,-1)$, $(1,-2)$, $(-1,1)$, $(3,0)$.

Найти линию второго порядка по пяти ее точкам: $(3,1)$, $(2,1)$, $(-7,1)$, $(-2,0)$, $(0,1)$.

Найти параболу, проходящую через четыре точки: $(0,-1)$, $(0,3)$, $(-1,0)$, $(3,0)$.

Найти линию второго порядка, проходящую через точку $(1,1)$ и точки пересечения кривой $x^{2}-2xy+2x-2y-17=0$ с прямыми $y=0$ и $x+2y+3=0$.

Через начало координат проведены хорды $AB$ и $CD$ окружности $x^{2}+(y-h)^{2}=a^{2}$. Рассматривая пучок кривых второго порядка, проходящих через концы хорд, доказать, что прямые $AD$ и $CB$, а также $BD$ и $AC$ пересекают ось $Ox$ на одинаковых расстояниях от начала.

На кривой второго порядка взяты шесть точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Уравнения сторон полученного шестиугольника соответственно обозначены следующим образом:

При этих условиях и при любом выборе коэффициентов $\lambda$ и $\mu$ кривая третьего порядка $\lambda s_{12}s_{34}s_{56}+\mu s_{23}s_{45}s_{61}=0$ проходит через 6 данных точек и через 3 точки пересечения пар противоположных сторон.

Исходя отсюда, доказать теорему Паскаля: в шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, три точки пересечения пар противоположных сторон лежат на одной прямой.