Сопряженные диаметры. Оси симметрии. Асимптоты

Найти уравнение гиперболы, проходящей через точки $(1,1)$, $(2,1)$, $(-1,-2)$ и имеющей асимптоту $x+y-1=0$.

Найти равнобочную гиперболу, зная ее асимптоту $x-y+1=0$ и точки гиперболы $(1,1)$, $(2,1)$.

Составить общее уравнение равнобочных гипербол с центром в точке $(a,b)$.

Парабола проходит через точки $(0,0)$ и $(0,1)$, а прямая $x+y+1=0$ — ее ось. Найти параболу.

Точки $(0,1)$, $(0,-1)$, $(1,1)$ — на параболе. Ее ось параллельна прямой $y=x$. Найти параболу.

Парабола касается оси $Oy$ в начале координат. Прямая $x+y+1=0$ — касательная к вершине. Найти параболу.

Прямая $x+y+1=0$ — ось кривой второго порядка, а точки $(0,0)$, $(1,-1)$, $(2,1)$ лежат на кривой. Найти уравнение кривой.

Доказать, что у кривой

прямые $ax+by+c=0$ и $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ — сопряженные диаметры, если $\alpha \beta \neq ab$.

Доказать, что у параболы

прямая $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ — касательная, а прямая $ax+by+c=0$ — диаметр, сопряженный с ее направлением. При этом подразумевается, что $\alpha \beta \neq ab$.

Найти линию второго порядка, у которой прямые $x-2y-1=0$ и $2x-y+1=0$ — сопряженные диаметры и на которой лежат точки $(1,0)$ и $(0,1)$.

Парабола проходит через точку $(0,0)$, прямая $x+y-1=0$ — диаметр параболы, а $x+2y-1=0$ — касательная, сопряженная с ним. Найти параболу.

Прямая $x+y+1=0$ — касательная, а $x-y+1=0$ — сопряженный с ней диаметр параболы с параметром $\sqrt{2}$. Найти параболу.

Прямые $x+y-1=0$ и $x-y+1=0$ — сопряженные диаметры эллипса с полуосями 2 и 1. Найти эллипс.

Прямые $x+2y-4=0$ и $x-3y+2=0$ — сопряженные диаметры эллипса с полуосями $\sqrt{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Найти уравнение эллипса.

Доказать, что отрезки любой прямой, заключенные между гиперболой и ее асимптотами, равны между собой.