Разные задачи

Доказать, что площадь, заключенная между касательной к гиперболе и ее асимптотами, имеет постоянную величину.

Доказать, что произведение отрезков секущей между асимптотами и точкой на гиперболе равно квадрату полудиаметра, параллельного секущей.

Доказать, что у гиперболы точка касания делит пополам отрезок касательной между асимптотами.

Найти уравнение кривой второго порядка по ее фокусу $(0,0)$ и трем касательным: $x-y-1=0$, $2x-y-1=0$, $x+y-1=0$.

Найти параболу по точке на ней $(5,0)$, фокусу $(3,2)$ и касательной $x-3y-7=0$.

Найти гиперболу по ее центру $(1,1)$, фокусу $(3,3)$ и касательной $x+2y-7=0$.

Найти геометрическое место точек касания касательных, проведенных из начала координат к параболе

где $m$ — переменный параметр.

Найти геометрическое место проекций фокуса на касательные к кривой $\frac{x^{2}}{a^{2}}\pm \frac{y^{2}}{b^{2}}=1$.

Найти точку пересечения поляр точек, расположенных на директрисе.

Если $a$ и $b$ — длины двух взаимно перпендикулярных касательных к параболе $y^{2}=4x$, то $a^{4}b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{3}$. Доказать.

Найти геометрическое место точек касания для касательных данного направления к софокусным кривым $\frac{x^{2}}{a^{2}+h}+\frac{y^{2}}{b^{2}+h}=1$, $h$ — переменный параметр.

Равнобочная гипербола проходит через начало координат и имеет асимптоту $x+y+1=0$. Найти геометрическое место точек пересечения второй асимптоты с касательной в начале координат.

Равнобочные гиперболы проходят через точку $(1,0)$ и касаются оси $Oy$ в точке $(0,1)$. Найти геометрическое место центров.

Каково геометрическое место вершин равнобочных гипербол, проходящих через данную точку и имеющих данную асимптоту?

Каково геометрическое место точек, из которых можно провести к данной параболе две нормали, составляющие между собой прямой угол?

Даны параболы $y^{2}=2px$ и $y^{2}=2p(x-a)$. Доказать, что хорды первой, касающиеся второй, делятся пополам точкой касания.

Две параболы имеют общую ось симметрии. Две прямые параллельны оси симметрии. Через точки их пересечения с параболами проводятся хорды. Доказать, что точки пересечения этих хорд лежат на одной прямой, какие бы пары параллельных прямых ни были взяты.

Каково геометрическое место вершин парабол с данными фокусом и касательной?

Доказать, что круг, описанный около треугольника, составленного из трех касательных к параболе, проходит через фокус.

Доказать, что равнобочная гипербола, описанная около треугольника, проходит через точку пересечения его высот.

Каково геометрическое место фокусов парабол с данными вершиной и касательной?

Из точки вне параболы можно провести три нормали к ней. Доказать, что вершина параболы и три основания нормалей лежат на одной окружности.

Даны кривая $Ax^{2}+By^{2}+C=0$ и точка $M(a,b)$. Около точки $M$, как центра, описываются окружности. Найти геометрическое место середин хорд, общих этим окружностям и данной кривой.

Дан четырехугольник $ABCD$. Каково геометрическое место таких точек $M$, что сумма площадей треугольников $AMB$ и $CMD$ равна сумме площадей треугольников $BMC$ и $DMA$?

С помощью результата предыдущей задачи доказать теорему Ньютона: в описанном около круга четырехугольнике середины диагоналей и центр этого круга лежат на одной прямой.

Прямой угол, вершина которого $M$ находится на кривой второго порядка, вращается около вершины, а $A$ и $B$ — точки пересечения его сторон с кривой, отличные от $M$. Доказать, что прямая $AB$ вращается около точки, расположенной на нормали к кривой в точке $M$.

Около точки $A$ внутри данного круга вращается прямой угол. В точках пересечения его сторон с окружностью проводятся касательные к кругу. Найти геометрическое место точек пересечения этих касательных.

Переменный круг касается эллипса в данной точке. Каково геометрическое место точек пересечения общих касательных?

Фокусы эллипса соединяются радиус-векторами с переменной точкой эллипса. Каково геометрическое место центров кругов, вписанных в треугольники, составленные из фокальной прямой и радиус-векторов?

Инверсия, или преобразование обратными радиус-векторами, состоит в том, что переменную точку $M$ заменяют другой точкой $M_{1}$, лежащей на прямой $OM$ так, что $OM \cdot OM_{1} = a^{2}$. Здесь $O$ — данная точка, $a$ — данная величина. Доказать, что при инверсии линия $A(x^{2}+y^{2})+Bx+Cy+D=0$ переходит в линию $A_{1}(x^{2}+y^{2})+B_{1}x+C_{1}y+D_{1}=0$, т.е. круги или прямые переходят в круги или прямые (не обязательно соответственно).

Доказать, что инверсией относительно начала координат гипербола $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ переводится в лемнискату Бернулли:

Доказать, что инверсия эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ относительно начала координат с радиусом инверсии, равным $\sqrt{ab}$, дает кривую $(x^{2}+y^{2})^{2}=b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}$.

Гипербола, конгруэнтная гиперболе $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, где $a>b$, вписана в угол между осями координат и скользит по ним. Доказать, что ее центр движется по окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$.

Эллипс с полуосями $a$ и $b$ касается осей координат и скользит по ним. Доказать, что его центр движется по окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$.