Прямая и окружность

Найти уравнение прямой, параллельной оси $Ox$ и удаленной от нее на $h$.

Найти уравнение прямой, параллельной оси $Oy$ и удаленной от нее на $h$.

Вершины квадрата — в точках $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$. Найти уравнения его диагоналей.

На прямой $y = 2x-3$ найти точку, ордината которой равна 7.

Считая, что ось $Ox$ расположена горизонтально, определить, какие из точек $M_{1}(-1,2)$, $M_{2}(-3,-10)$, $M_{3}(2,1)$, $M_{4}(5,4)$ расположены выше, ниже и на прямой $y = 2x-3$.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку $(2,1)$ и составляющей с $Ox$ угол $45^{\circ }$.

Провести прямую через точки $M_{1}(-1,2)$ и $M_{2}(2,1)$.

Найти уравнение прямой, проходящей через точки $(3,7)$ и $(3,-2)$.

Найти уравнения сторон треугольника, вершины которого — в точках $M_{1}(1,-1)$, $M_{2}(3,5)$, $M_{3}(-7,11)$.

Через точку $(2,-1)$ провести прямую, параллельную прямой $2x+3y=0$.

Через точку $(2,-3)$ провести прямую, перпендикулярную к прямой $y = 2x+1$.

Через точку $(3,5)$ провести прямые под углом $45^{\circ }$ к прямой $3x-2y+7=0$.

Найти углы треугольника с вершинами в точках $M_{1}(0,2)$, $M_{2}(2,2)$, $M_{3}(3+\sqrt{3},3+\sqrt{3})$.

Через точку $(4,-3)$ провести прямую так, чтобы площадь, ограниченная ею и осями координат, равнялась 3 кв. единицам.

Найти вершины треугольника по уравнениям его сторон: $x-y=0$, $2x+3y+5=0$, $x+2y+6=0$.

Найти площадь треугольника по уравнениям его сторон: $y = 3x-9$, $y = -2x+1$, $y = -x+3$.

Через точку $(1,2)$ провести прямую, образующую угол $30^{\circ }$ с прямой $x-2y=0$, и найти точку пересечения данной прямой и искомой.

Дана вершина квадрата $(2,-2)$ и его диагональ $x+2y=0$. Найти уравнения сторон квадрата.

Дана прямая $3x-2y+2=0$ и точка $M(-4,8)$. Найти проекцию $M'$ точки $M$ на заданную прямую и определить отношение $\left|OM'\right| : \left|OM\right|$.

Через точку $(1,2)$ провести прямую, расстояния от которой до точек $(2,3)$ и $(4,-5)$ были бы одинаковы.

Уравнения двух сторон параллелограмма: $x+2y+1=0$ и $2x+y-3=0$. Центр его — в точке $(1,2)$. Найти уравнения двух других сторон.

Через точку $(-1,2)$ провести прямую, расстояние от которой до точки $(6,1)$ равно 5.

Через точку $(2,-2)$ провести прямые, расстояния от которых до точки $(5,2)$ равны 3.

Дана точка $M(-1,2)$ и прямая $y=3x$. Провести прямую, параллельную данной, расстояние от которой до точки $M$ втрое больше, чем расстояние до данной.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку $(-4,3)$ и удаленной от начала координат на расстояние, равное 5.

Дана прямая $4x+3y+1=0$. Найти прямую, параллельную данной и удаленную от нее на расстояние, равное 3.

Найти расстояние между прямыми $2x+3y=7$ и $4x+6y=11$.

Найти прямую, параллельную прямым $x+2y=1$ и $x+2y=3$, расположенную между ними и делящую расстояние между ними в отношении $1:3$.

Найти уравнение прямой, лежащей посередине между прямыми $3x+2y=5$ и $6x+4y+3=0$.

Найти уравнение прямой, параллельной прямой $2x+3y+6=0$ и отсекающей от координатного угла треугольник с площадью 3.

Даны прямая $2x+y-3=0$ и точка $M(1,1)$ на ней. На той же прямой найти точки, удаленные от $M$ на $\sqrt{5}$.

Найти уравнения сторон треугольника, у которого $2x+3y+1=0$ и $x+y=0$ — высоты, а $M(1,2)$ — одна из вершин.

$M_{1}(2,1)$ и $M_{2}(4,9)$ — вершины треугольника, $N(3,4)$ — точка пересечения высот. Найти уравнения сторон.

Середины сторон треугольника — в точках $(1,2)$, $(7,4)$, $(3,-4)$. Найти уравнения сторон.

Даны две стороны параллелограмма $2y-x=0$, $x-3=0$ и вершина $(7,5)$. Найти угол между диагоналями.

Даны две стороны параллелограмма $2x-y=0$, $x-3y=0$ и центр его $(2,3)$. Найти уравнения диагоналей.

Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину $(-4,3)$ и уравнения двух медиан: $3x-2y+3=0$, $3x-5y+6=0$.

Пересечение медиан — в точке $(-1,0)$, а $x+y-1=0$ и $y+1=0$ — уравнения двух сторон. Найти уравнение третьей стороны.

Вершины треугольника — в точках $A(1,3)$, $B(-1,0)$, $C(2,-2)$. Найти уравнения высот.

Через точку пересечения прямых $x-y-1=0$ и $x+2y-2=0$ провести прямую, проходящую через точку $(-1,1)$.

Провести прямую через начало координат и точку пересечения прямых $17x+29y=317$ и $3x+10y=634$.

Через точку пересечения прямых $x+2y-11=0$ и $2x-y-2=0$ провести прямую, расстояние от которой до начала координат равно 5.

Через точку $(-1,1)$ провести прямую так, чтобы середина ее отрезка между прямыми $x+2y-1=0$ и $x+2y-3=0$ лежала на прямой $x-y-1=0$.

Через начало координат провести прямые так, чтобы отрезки их между прямыми $x-y+1=0$ и $x-y-2=0$ были равны 3.

Найти прямую, проходящую через точку $(2,3)$, зная, что отрезок этой прямой между прямыми $3x+4y-7=0$ и $3x+4y+8=0$ равен $3\sqrt{2}$.

Найти биссектрисы углов между прямыми $3x+4y-1=0$ и $4x-3y+5=0$.

Найти биссектрису того угла между прямыми $4x+7y-3=0$ и $8x-y+3=0$, в котором лежит начало координат.

Точки $(1,2)$, $(-1,-1)$, $(2,1)$ — вершины треугольника. Найти уравнение биссектрисы внутреннего угла при точке $(-1,-1)$.

Найти радиус круга, вписанного в треугольник, если даны уравнения сторон: $3x-4y=25$, $5x+12y=65$, $8x+15y+85=0$.

Даны стороны треугольника $2x+y=0$, $x-2y=0$ и $2x+11y-20=0$. Найти центр вписанного круга.

Дана точка $P(0,1)$. Провести через нее прямую так, чтобы ее отрезок между прямыми $x-3y+10=0$ и $2x+y-8=0$ делился самой точкой $P$ пополам.

Дана одна сторона угла $y=2x$ и биссектриса $2y-x-3=0$. Найти другую сторону угла.

Даны две вершины треугольника $A(1,6)$ и $B(7,-2)$ и центр вписанной окружности $O(4,4)$. Найти третью вершину $C$.

Уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника $2x-y+8=0$ и $x-2y-12=0$. Точка $(4,0)$ на основании. Найти уравнение основания.

Луч света проходит через точку $(2,3)$, отражается в прямой $x+y+1=0$ и попадает в точку $(1,1)$. Найти уравнения луча падающего и луча отраженного.

Прямая $2x+y-1=0$ — биссектриса, а точки $(1,2)$ и $(-1,-1)$ — вершины треугольника. Найти третью вершину.

Точка $(2,5)$ — вершина треугольника, прямые $3x+4y-12=0$ и $x-y-1=0$ — биссектрисы внутренних углов. Найти уравнения сторон.

Точки $(1,1)$ и $(0,4)$ — вершины треугольника, $2x-y-1=0$ — внутренняя биссектриса. Найти уравнения сторон, зная, что площадь треугольника равна 5.

Уравнение основания равнобедренного треугольника: $x+y-1=0$, уравнение боковой стороны: $x-2y-2=0$. Точка $(-2,0)$ — на другой боковой стороне. Найти уравнение этой стороны.

Биссектрисы внутренних углов треугольника $A$ и $B$ пересекают его стороны в точках $M$ и $N$. Доказать, что для любой точки отрезка $MN$ сумма расстояний до сторон $AC$ и $BC$ равна расстоянию до стороны $AB$.

Через точку на биссектрисе угла проведены две прямые. Одна из них отсекает на сторонах угла, считая от вершины, отрезки $a$ и $b$, другая — отрезки $a_{1}$ и $b_{1}$. Доказать, что

Взять прямые $2x-y+1=0$ и $x+2y-1=0$ за новые оси $O_{1}x_{1}$ и $O_{1}y_{1}$, выбрав направления так, чтобы новые координаты прежнего начала были положительны. Найти формулы перехода от одних координат к другим.

Прямые $x-y-1=0$ и $x+y+2=0$ приняты за новые оси координат так, что новые координаты прежнего начала отрицательны. Найти новые уравнения прежних осей.

Прямая пересекает стороны треугольника $AB$ и $CB$ в точках $M$ и $N$, а продолжение стороны $AC$ — в точке $P$. Доказать равенство

(теорема Менелая).

Точки $M$, $N$, $P$ — на сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника. Прямые $AM$, $BN$ и $CP$ пересекаются в одной точке. Доказать равенство

Доказать, что уравнения биссектрис треугольника можно написать в виде $s_{1}\pm s_{2}=0$, $s_{1}\pm s_{3}=0$, $s_{2}\pm s_{3}=0$, где через $s_{1}$, $s_{2}$ и $s_{3}$ обозначены левые части уравнений сторон треугольника, взятых в нормальной форме.

Гомографическое или проективное преобразование плоскости состоит в том, что каждая точка $(x,y)$ переходит в точку $(x_{1},y_{1})$, где $x_{1} = \frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{0}x+b_{0}y+c_{0}}$; $y_{1} = \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{0}x+b_{0}y+c_{0}}$; $a_{0}^{2}+b_{0}^{2}+c_{0}^{2} > 0$.

Доказать, что при любом выборе коэффициентов $a_{k}$, $b_{k}$, $c_{k}$ ($k=0,1,2$) проективное преобразование представляет коллинеацию, т. е. переводит прямые в прямые.

Ангармоническим отношением четырех точек $A$, $B$, $C$, $D$, лежащих на прямой, называется отношение $\frac{AC}{BC} : \frac{AD}{BD}$. Доказать, что при проективном преобразовании величина ангармонического отношения не меняется.

Найти общий вид уравнений окружностей, касающихся оси $Ox$ в начале координат.

Найти уравнение окружностей предыдущей задачи в полярных координатах, если полярная ось совпадает с положительной частью оси $Ox$.

Найти центр и радиус окружности $x^{2}+y^{2}-6x+8y=0$.

Составить уравнение окружности радиуса $r=2$, касающейся прямых $3x+4y-8=0$ и $12x-5y+17=0$.

Найти длину отрезка прямой $x+5y=9$, лежащего внутри окружности $x^{2}+y^{2}-4x-8y+7=0$.

Найти уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $M_{1}(0,0)$, $M_{2}(10,0)$, $M_{3}(6,8)$.

На окружности $x^{2}+y^{2}=1$ найти точку, одинаково удаленную от точек $(1,3)$ и $(-2,2)$.

Найти уравнение круга, вписанного в треугольник, стороны которого даны уравнениями:

Через точку $(1,2)$ провести касательную к окружности $x^{2}+y^{2}=5$.

Через точку $(-1,3)$ провести касательные к окружности $x^{2}+y^{2}=5$.

Найти общую хорду окружностей $x^{2}+y^{2}=2ax$ и $x^{2}+y^{2}=2by$.

Найти общие касательные к окружностям $x^{2}+y^{2}=6x$ и $x^{2}+y^{2}=6y$.

Точка $(x_{1},y_{1})$ — вне окружности $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Найти длину $l$ касательной из точки к окружности.

Точка $(x_{1},y_{1})$ — внутри окружности $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Доказать, что хорда окружности, проходящая через $(x_{1},y_{1})$, делится этой точкой на части, произведение которых равно $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C$.

Окружность касается осей координат и проходит через точку $(4,8)$. Найти ее уравнение.

Окружность касается оси $Oy$ и проходит через начало координат и точку $(3,6)$. Найти ее уравнение.

На оси $Ox$ найти такую точку, касательные из которой к окружностям $x^{2}+y^{2}=6y-6$ и $x^{2}+y^{2}=2x$ были бы одинаковой длины.

Найти общий вид окружностей, касающихся обеих биссектрис координатных углов.

Показать, что геометрическое место точек, расстояния от которых до двух данных точек находятся в данном отношении, не равном единице, есть окружность. (Окружность Аполлония.)

Показать, что геометрическое место точек, касательные из которых к двум данным окружностям имеют одинаковую длину, есть прямая. (Радикальная ось двух кругов.)

Доказать, что при любых $a$ и $b$ окружности $x^{2}+y^{2}=ax$ и $x^{2}+y^{2}=by$ пересекаются под прямым углом. Здесь под углом между кривыми понимается, как обычно, угол между их касательными в точке пересечения.

Показать, что каждая из окружностей $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}+h^{2}$ пересекается под прямым углом с каждой из окружностей $x^{2}+\left(y\pm \sqrt{r^{2}+h^{2}}\right)^{2}=r^{2}$.

Доказать, что каждая из окружностей $x^{2}+y^{2}-2ax+b^{2}=0$ пересекается с каждой из окружностей $x^{2}+y^{2}-2cy+b^{2}=0$ под прямым углом.