Операторы в гильбертовом пространстве

Докажите предложение 1.1: пусть $\mathcal{H}$ и $\mathcal{K}$ — гильбертовы пространства и $A: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ — линейное отображение. Следующие утверждения эквивалентны.

1. $A$ непрерывно.

2. $A$ непрерывно в $0$.

3. $A$ непрерывно в некоторой точке.

4. Существует постоянная $c > 0$ такая, что $\left\| Ah\right\| \leq c \left\| h\right\|$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$.

Докажите предложение 1.2: (a) Если $A$ и $B \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, то $A+B \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, и $\left\| A+B\right\| \leq \left\| A\right\| +\left\| B\right\|$.

(b) Если $\alpha \in \mathbb {F}$ и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, то $\alpha A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$ и $\left\| \alpha A\right\| = \left|\alpha \right| \left\| A\right\|$.

(c) Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$ и $B \in \mathcal{B}(\mathcal{K}, \mathcal{L})$, то $BA \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{L})$ и $\left\| BA\right\| \leq \left\| B\right\| \left\| A\right\|$.

Предположим, что $\left\{ e_{1}, e_{2}, \ldots \right\}$ — ортонормированный базис $\mathcal{H}$ и для каждого $n$ существует вектор $Ae_{n}$ в $\mathcal{H}$ такой, что $\sum \left\| Ae_{n}\right\| < \infty$. Покажите, что $A$ имеет единственное продолжение до ограниченного оператора на $\mathcal{H}$.

Предложение 1.2 утверждает, что $d(A,B) = \left\| A-B\right\|$ — метрика на $\mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$. Покажите, что $\mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$ полно относительно этой метрики.

Покажите, что оператор умножения $M_{\phi }$ удовлетворяет $M_{\phi }^{2} = M_{\phi }$ тогда и только тогда, когда $\phi$ — характеристическая функция.

Теорема 1.5 (контекст для $M_\phi$): пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, и положим $\mathcal{H} = L^{2}(X, \Omega , \mu ) \equiv L^{2}(\mu )$. Если $\phi \in L^{\infty }(\mu )$, определим $M_{\phi }: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )$ формулой $M_{\phi } f = \phi f$. Тогда $M_{\phi } \in \mathcal{B}(L^{2}(\mu ))$ и $\left\| M_{\phi }\right\| = \left\| \phi \right\|_{\infty }$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, и пусть $k_{1}, k_{2}$ — два ядра, удовлетворяющие предположению из (1.6):

Теорема 1.6 (контекст): пусть $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой, и предположим, что $k: X \times X \rightarrow \mathbb {F}$ — $\Omega \times \Omega$-измеримая функция, для которой существуют постоянные $c_{1}$ и $c_{2}$ такие, что

Если $K: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )$ определено формулой

то $K$ — ограниченный линейный оператор и $\left\| K\right\| \leq (c_{1} c_{2})^{1/2}$.

Определим

Если $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой и $k \in L^{2}(\mu \times \mu )$, покажите, что $k$ определяет ограниченный интегральный оператор.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — обычный базис в $l^{2}$, и пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ — последовательность скаляров. Покажите, что существует ограниченный оператор $A$ на $l^{2}$ такой, что $Ae_{n} = \alpha_{n} e_{n}$ для всех $n$, тогда и только тогда, когда $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ равномерно ограничена, и в этом случае $\left\| A\right\| = \sup \left\{ \left|\alpha_{n}\right|: n \geq 1\right\}$. Оператор такого типа называется диагональным оператором, а также говорят, что он диагонализуем.

Пусть $\left\{ \alpha_{ij}\right\}_{i,j=1}^{\infty }$ — бесконечная матрица такая, что $\alpha_{ij} \geq 0$ для всех $i,j$, и такая, что существуют скаляры $p_{i} > 0$ и $\beta , \gamma > 0$, для которых

для всех $i, j \geq 1$. Покажите, что существует оператор $A$ на $l^{2}(\mathbb {N})$ такой, что $\left\langle Ae_{j}, e_{i} \right\rangle = \alpha_{ij}$ и $\left\| A\right\|^{2} \leq \beta \gamma$.

Покажите, что $\left\langle Ae_{j}, e_{i} \right\rangle = (i+j+1)^{-1}$ при $0 \leq i,j < \infty$ определяет ограниченный оператор на $l^{2}(\mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\} )$ с $\left\| A\right\| \leq \pi$. (См. также Choi [1983] и Redheffer and Volkmann [1983].)

Если $A = \left[\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right]$, положим $\alpha = [\left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}+\left|c\right|^{2}+\left|d\right|^{2}]^{1/2}$ и покажите, что $\left\| A\right\| = \frac{1}{2}(\alpha^{2}+\sqrt{\alpha^{4}-4\delta^{2}})$, где $\delta^{2} = \operatorname {det}\left(A^{*}A\right)$.

Пусть $\left\{ \mathcal{H}_{i}\right\}$ — набор гильбертовых пространств, и пусть $\mathcal{H} = \oplus_{i} \mathcal{H}_{i}$. Предположим, что $A_{i} \in \mathcal{B}(\mathcal{H}_{i})$ для всех $i$. Покажите, что существует ограниченный оператор $A$ на $\mathcal{H}$ такой, что $A|\mathcal{H}_{i} = A_{i}$ для всех $i$, тогда и только тогда, когда $\sup_{i} \left\| A_{i}\right\| < \infty$. В этом случае $\left\| A\right\| = \sup_{i} \left\| A_{i}\right\|$. Оператор $A$ называется прямой суммой операторов $\left\{ A_{i}\right\}$ и обозначается $A = \oplus_{i} A_{i}$.

Назовём последовательность векторов $\left\{ f_{n}\right\}$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ последовательностью Бесселя, если $\sum \left| \left\langle f, f_{n} \right\rangle \right|^{2} < \infty$ для каждого $f$ из $\mathcal{H}$. Покажите, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ векторов в $\mathcal{H}$ является последовательностью Бесселя тогда и только тогда, когда бесконечная матрица $( \left\langle f_{m}, f_{n} \right\rangle )$ определяет ограниченный оператор на $l^{2}$. (См. также Shapiro and Shields [1961], p.524.)

Докажите Предложение 2.5: если $U \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, то $U$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $U$ обратим и $U^{-1} = U^{*}$.

Докажите Предложение 2.6: если $A, B \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\alpha \in \mathbb {F}$, то:

1. $(\alpha A + B)^{*} = \overline{\alpha } A^{*} + B^{*}$.

2. $(AB)^{*} = B^{*} A^{*}$.

3. $A^{**} \equiv (A^{*})^{*} = A$.

4. Если $A$ обратим в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $A^{-1}$ — его обратный оператор, то $A^{*}$ обратим и $(A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}$.

Проверьте утверждение из Примера 2.8: пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное измеримое пространство, и пусть $M_{\phi }$ — оператор умножения с символом $\phi$ (1.5). Тогда $M_{\phi }^{*}$ есть $M_{\overline{\phi }}$ — оператор умножения с символом $\overline{\phi }$.

Проверьте утверждение из Примера 2.9: если $K$ — интегральный оператор с ядром $k$, как в (1.6), то $K^{*}$ — интегральный оператор с ядром $k^{*}(x,y) \equiv \overline{k(y,x)}$.

Найдите сопряжённый оператор для диагонального оператора (Упражнение 1.8).

Упражнение 1.8 (контекст): Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — обычный базис в $l^{2}$, и пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ — последовательность скаляров. Покажите, что существует ограниченный оператор $A$ на $l^{2}$ такой, что $Ae_{n} = \alpha_{n} e_{n}$ для всех $n$, тогда и только тогда, когда $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ равномерно ограничена, и в этом случае $\left\| A\right\| = \sup \left\{ \left|\alpha_{n}\right|: n \geq 1\right\}$. Оператор такого типа называется диагональным оператором, а также говорят, что он диагонализуем.

Пусть $S$ — односторонний сдвиг; вычислите $SS^{*}$ и $S^{*}S$. Также вычислите $S^{n} S^{*n}$ и $S^{*n} S^{n}$.

Вычислите сопряжённый оператор для оператора Вольтерры $V$ (1.7) и $V+V^{*}$. Чему равен $\operatorname {ran}(V+V^{*})$?

Пример 1.7 (контекст, определяющий $V$): пусть $k: [0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — характеристическая функция множества $\left\{ (x,y): y<x\right\}$. Соответствующий оператор $V: L^{2}(0,1) \rightarrow L^{2}(0,1)$, определённый как $Vf(x) = \int_{0}^{1} k(x,y) f(y) \, dy$, называется оператором Вольтерры. Заметим, что

Где в доказательстве Предложения 2.12 использовалось предположение, что $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство над $\mathbb {C}$?

Предложение 2.12: если $\mathcal{H}$ — $\mathbb {C}$-гильбертово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, то $A$ эрмитов тогда и только тогда, когда $\left\langle Ah, h \right\rangle \in \mathbb {R}$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$.

Предположим, что $A = B+iC$, где $B$ и $C$ эрмитовы, и докажите, что $B=(A+A^{*})/2$, $C=(A-A^{*})/2i$.

Докажите Предложение 2.15: если $\mathcal{H}$ — $\mathbb {C}$-гильбертово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ такой, что $\left\langle Ah, h \right\rangle = 0$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$, то $A=0$.

Если $A$ и $B$ самосопряжены, покажите, что $AB$ самосопряжён тогда и только тогда, когда $AB=BA$.

Пусть $\sum_{n=0}^{\infty } \alpha_{n} z^{n}$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$, $0<R \leq \infty$. Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\left\| A\right\| < R$, покажите, что существует оператор $T$ в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ такой, что для любых $h,g$ из $\mathcal{H}$ выполняется $\left\langle Th, g \right\rangle = \sum_{n=0}^{\infty } \alpha_{n} \left\langle A^{n} h, g \right\rangle$.

Пусть $A$ и $T$ те же, что и в Упражнении 12; покажите, что $\left\| T-\sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} A^{k}\right\| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Если $BA=AB$, покажите, что $BT=TB$.

Если $f(z) = \exp z = \sum_{n=0}^{\infty } z^{n}/n!$ и $A$ эрмитов, покажите, что $f(iA)$ унитарен.

Если $A$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$, покажите, что $A$ инъективен тогда и только тогда, когда область значений $A$ плотна. Приведите пример оператора $B$ такого, что $\ker B = (0)$, но $\operatorname {ran} B$ не плотна. Приведите пример оператора $C$ такого, что $C$ сюръективен, но $\ker C \neq (0)$.

Пусть $M_{\phi }$ — оператор умножения (1.5); покажите, что $\ker M_{\phi } = 0$ тогда и только тогда, когда $\mu (\left\{ x: \phi (x)=0\right\} ) = 0$. Приведите необходимые и достаточные условия на $\phi$, при которых $\operatorname {ran} M_{\phi }$ замкнута.

Пусть $\mathcal{H}$ — двумерное вещественное гильбертово пространство $\mathbb {R}^{2}$, пусть $\mathcal{M} \equiv \left\{ (x,0) \in \mathbb {R}^{2}: x \in \mathbb {R}\right\}$ и пусть $\mathcal{N} \equiv \left\{ (x, x \tan \theta ): x \in \mathbb {R}\right\}$, где $0 < \theta < \frac{1}{2}\pi$. Найдите формулу для идемпотента $E_{\theta }$ с $\operatorname {ran} E_{\theta } = \mathcal{M}$ и $\ker E_{\theta } = \mathcal{N}$. Покажите, что $\left\| E_{\theta }\right\| = (\sin \theta )^{-1}$.

Докажите Предложение 3.2 (c): если $\mathcal{M} = \operatorname {ran} E$ и $\mathcal{N} = \ker E$ (где $E$ — идемпотент), то $\mathcal{M} \cap \mathcal{N} = (0)$ и $\mathcal{M} + \mathcal{N} = \mathcal{H}$.

Пусть $\left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\}$ — набор замкнутых подпространств пространства $\mathcal{H}$; покажите, что $\cap \left\{ \mathcal{M}_{i}^{\perp }: i \in I\right\} = [\vee \left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\} ]^{\perp }$ и $[\cap \left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\} ]^{\perp } = \vee \left\{ \mathcal{M}_{i}^{\perp }: i \in I\right\}$.

Пусть $P$ и $Q$ — проекторы. Покажите:

Обобщите Упражнение 4 следующим образом. Предположим, что $\left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\}$ — набор подпространств $\mathcal{H}$ такой, что $\mathcal{M}_{i} \perp \mathcal{M}_{j}$ при $i \neq j$. Пусть $P_{i}$ — проектор $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}_{i}$; покажите, что для всех $h$ из $\mathcal{H}$ сумма $\sum \left\{ P_{i} h: i \in I\right\}$ сходится к $Ph$, где $P$ — проектор $\mathcal{H}$ на $\vee \left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\}$.

Упражнение 4 (контекст): пусть $P$ и $Q$ — проекторы. (a) $P+Q$ является проектором тогда и только тогда, когда $\operatorname {ran} P \perp \operatorname {ran} Q$. Если $P+Q$ — проектор, то $\operatorname {ran}(P+Q) = \operatorname {ran} P + \operatorname {ran} Q$ и $\ker (P+Q) = \ker P \cap \ker Q$. (b) $PQ$ является проектором тогда и только тогда, когда $PQ=QP$. Если $PQ$ — проектор, то $\operatorname {ran} PQ = \operatorname {ran} P \cap \operatorname {ran} Q$ и $\ker PQ = \ker P + \ker Q$.

Если $P$ и $Q$ — проекторы, то следующие утверждения равносильны.

1. $P-Q$ является проектором.

2. $\operatorname {ran} Q \subseteq \operatorname {ran} P$.

3. $PQ=Q$.

4. $QP=Q$. Если $P-Q$ является проектором, то $\operatorname {ran}(P-Q) = (\operatorname {ran} P) \ominus (\operatorname {ran} Q)$ и $\ker (P-Q) = \operatorname {ran} Q + \ker P$.

Пусть $P$ и $Q$ — проекторы. Покажите, что $PQ=QP$ тогда и только тогда, когда $P+Q-PQ$ является проектором. В этом случае $\operatorname {ran}(P+Q-PQ) = \operatorname {ran} P + \operatorname {ran} Q$ и $\ker (P+Q-PQ) = \ker P \cap \ker Q$.

Приведите пример двух некоммутирующих проекторов.

Пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и пусть $\mathcal{N} = \operatorname {graph} A \subseteq \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$, то есть $\mathcal{N} = \left\{ h \oplus Ah: h \in \mathcal{H}\right\}$. Поскольку $A$ непрерывен и линеен, $\mathcal{N} \leq \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$. Пусть $\mathcal{M} = \mathcal{H} \oplus (0) \leq \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$. Докажите следующие утверждения.

Найдите два замкнутых линейных подпространства $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ бесконечномерного гильбертова пространства $\mathcal{H}$ такие, что $\mathcal{M} \cap \mathcal{N} = (0)$ и $\mathcal{M}+\mathcal{N}$ плотно в $\mathcal{H}$, но $\mathcal{M}+\mathcal{N} \neq \mathcal{H}$.

Определим $A: l^{2}(\mathbb {Z}) \rightarrow l^{2}(\mathbb {Z})$ формулой $A(\ldots , \alpha_{-1}, \hat{\alpha }_{0}, \alpha_{1}, \ldots ) = (\ldots , \hat{\alpha }_{-1}, \alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots )$, где $\hat{\ }$ стоит над коэффициентом на $0$-м месте. Найдите инвариантное подпространство оператора $A$, которое не приводит $A$. Этот оператор называется двусторонним сдвигом.

Пусть $\mu$ — мера площади на $\mathbb {D} \equiv \left\{ z \in \mathbb {C}: \left|z\right|<1\right\}$, и определим $A: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )$ формулой $(Af)(z) = zf(z)$ при $\left|z\right|<1$ и $f$ из $L^{2}(\mu )$. Найдите нетривиальное приводящее подпространство для $A$ и инвариантное подпространство, которое не приводит $A$.

Докажите Предложение 4.2(c): если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $B \in \mathcal{B}(\mathcal{K})$ и $T \in \mathcal{B}_{0}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, то $TA$ и $BT \in \mathcal{B}_{0}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$.

Покажите, что всякий оператор конечного ранга компактен.

Если $T \in \mathcal{B}_{00}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, покажите, что $T^{*} \in \mathcal{B}_{00}(\mathcal{K}, \mathcal{H})$ и $\dim (\operatorname {ran} T) = \dim (\operatorname {ran} T^{*})$.

Покажите, что идемпотент компактен тогда и только тогда, когда он имеет конечный ранг.

Покажите, что ни один ненулевой оператор умножения на $L^{2}(0,1)$ не компактен.

Покажите, что если $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ — компактный оператор и $\left\{ e_{n}\right\}$ — произвольная ортонормированная последовательность в $\mathcal{H}$, то $\left\| Te_{n}\right\| \rightarrow 0$. Верно ли обратное?

Если $T$ компактен и $\mathcal{M}$ — инвариантное подпространство для $T$, покажите, что $T|\mathcal{M}$ компактен.

Если $h, g \in \mathcal{K}$, определим $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ формулой $Tf = \left\langle f, h \right\rangle g$. Покажите, что $T$ имеет ранг $1$ [то есть $\dim (\operatorname {ran} T) = 1$]. Более того, всякий оператор ранга $1$ может быть представлен таким образом. Покажите, что если $T$ — оператор конечного ранга, то существуют ортонормированные векторы $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и векторы $g_{1}, \ldots , g_{n}$ такие, что $Th = \sum_{j=1}^{n} \left\langle h, e_{j} \right\rangle g_{j}$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$. Покажите, что в этом случае $T$ нормален, если $g_{j} = \lambda_{j} e_{j}$ для некоторых скаляров $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$. Найдите $\sigma_{p}(T)$.

Покажите, что диагонализуемый оператор нормален.

Проверьте утверждения из Примера 4.10: пусть $A$ — диагонализуемый оператор из Предложения 4.6 (то есть $\mathcal{H}$ — сепарабельное гильбертово пространство с базисом $\left\{ e_{n}\right\}$; $\left\{ \alpha_{n}\right\} \subseteq \mathbb {F}$, причём $M = \sup \left\{ \left|\alpha_{n}\right|: n \geq 1\right\} < \infty$; $Ae_{n} = \alpha_{n} e_{n}$ для всех $n$). Тогда $\sigma_{p}(A) = \left\{ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \right\}$. Если $\alpha \in \sigma_{p}(A)$, положим $J_{\alpha } = \left\{ j \in \mathbb {N}: \alpha_{j} = \alpha \right\}$. Тогда $h$ является собственным вектором для $\alpha$ тогда и только тогда, когда $h \in \vee \left\{ e_{j}: j \in J_{\alpha }\right\}$.

Проверьте утверждение из Примера 4.11: оператор Вольтерры не имеет собственных значений.

Проверьте утверждение из Примера 4.12: пусть $h \in \mathcal{H} = L_{\mathbb {C}}^{2}(-\pi , \pi )$, и определим $K: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ формулой $(Kf)(x) = (2\pi )^{-1/2} \int_{-\pi }^{\pi } h(x-y) f(y) \, dy$. Если $\lambda_{n} = (2\pi )^{-1/2} \int_{-\pi }^{\pi } h(x) \exp (-inx) \, dx = \hat{h}(n)$ — $n$-й коэффициент Фурье функции $h$, то $Ke_{n} = \lambda_{n} e_{n}$, где $e_{n}(x) = (2\pi )^{-1/2} \exp (-inx)$. (Заметим, что оператор $K$ в этом примере диагонализуем.)

Если $T_{n} \in \mathcal{B}(\mathcal{H}_{n})$, $n \geq 1$, причём $\sup_{n} \left\| T_{n}\right\| < \infty$, и $T = \oplus_{n=1}^{\infty } T_{n}$ на $\mathcal{H} = \oplus_{n=1}^{\infty } \mathcal{H}_{n}$, покажите, что $T$ компактен тогда и только тогда, когда каждый $T_{n}$ компактен и $\left\| T_{n}\right\| \rightarrow 0$.

В условиях Леммы 4.8 покажите, что если $L^{2}(X, \Omega , \mu )$ сепарабельно, то $\left\{ \phi_{ij}\right\}$ является базисом в $L^{2}(X \times X, \Omega \times \Omega , \mu \times \mu )$. Что если $L^{2}(X, \Omega , \mu )$ не сепарабельно?

Лемма 4.8: если $\left\{ e_{i}: i \in I\right\}$ — базис в $L^{2}(X, \Omega , \mu )$ и

для $i,j$ из $I$ и $x,y$ из $X$, то $\left\{ \phi_{ij}: i,j \in I\right\}$ является ортонормированным множеством в $L^{2}(X \times X, \Omega \times \Omega , \mu \times \mu )$. Если $k$ и $K$ те же, что и в Предложении 4.7, то $\left\langle k, \phi_{ij} \right\rangle = \left\langle Ke_{j}, e_{i} \right\rangle$.

Докажите Следствие 5.4: если $T$ — компактный самосопряжённый оператор, то существует последовательность $\left\{ \mu_{n}\right\}$ вещественных чисел и ортонормированный базис $\left\{ e_{n}\right\}$ для $(\ker T)^{\perp }$ такие, что для всех $h$

Заметим, что в последовательности $\left\{ \mu_{n}\right\}$ могут быть повторения. Сколько может быть повторений?

Докажите Следствие 5.5: если $T \in \mathcal{B}_{0}(\mathcal{H})$, $T=T^{*}$ и $\ker T = (0)$, то $\mathcal{H}$ сепарабельно.

Пусть $K$ и $k$ те же, что и в Предложении 4.7, и предположим, что $k(x,y) = \overline{k(y,x)}$. Покажите, что $K$ самосопряжён, и если $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — собственные значения $K$, каждое из которых повторяется $\dim \ker (K-\mu_{n})$ раз, то $\sum_{1}^{\infty } \left|\mu_{n}\right|^{2} < \infty$.

Предложение 4.7 (контекст): если $(X, \Omega , \mu )$ — измеримое пространство и $k \in L^{2}(X \times X, \Omega \times \Omega , \mu \times \mu )$, то

— компактный оператор, и $\left\| K\right\| \leq \left\| k\right\|_{2}$.

Если $T$ — компактный самосопряжённый оператор, а $\left\{ e_{n}\right\}$ и $\left\{ \mu_{n}\right\}$ те же, что и в (5.4), и если $h$ — заданный вектор в $\mathcal{H}$, покажите, что существует вектор $f$ в $\mathcal{H}$ такой, что $Tf=h$, тогда и только тогда, когда $h \perp \ker T$ и $\sum_{n} \mu_{n}^{-2} \left| \left\langle h, e_{n} \right\rangle \right|^{2} < \infty$. Найдите вид общего вектора $f$ такого, что $Tf=h$.

(5.4) (контекст): существует последовательность $\left\{ \mu_{n}\right\}$ вещественных чисел и ортонормированный базис $\left\{ e_{n}\right\}$ для $(\ker T)^{\perp }$ такие, что для всех $h$ выполняется $Th = \sum_{n=1}^{\infty } \mu_{n} \left\langle h, e_{n} \right\rangle e_{n}$.

Пусть $T$, $\left\{ \mu_{n}\right\}$ и $\left\{ e_{n}\right\}$ те же, что и в (5.4). Если $\lambda \neq 0$ и $\lambda \neq \mu_{n}$ ни для какого $\mu_{n}$, то для каждого $h$ из $\mathcal{H}$ существует единственный $f$ из $\mathcal{H}$ такой, что $(\lambda - T)f = h$. Более того,

Дайте интерпретацию этому в случае, когда $T$ — интегральный оператор.

(5.4) (контекст): существует последовательность $\left\{ \mu_{n}\right\}$ вещественных чисел и ортонормированный базис $\left\{ e_{n}\right\}$ для $(\ker T)^{\perp }$ такие, что для всех $h$ выполняется $Th = \sum_{n=1}^{\infty } \mu_{n} \left\langle h, e_{n} \right\rangle e_{n}$.

Рассмотрим оператор Штурма--Лиувилля $Lh = -h''$ с $a=0$, $b=1$, и для каждого из следующих граничных условий найдите собственные значения $\left\{ \lambda_{n}\right\}$, собственные векторы $\left\{ e_{n}\right\}$ и функцию Грина $g(x,y)$:

В условиях Теоремы 6.12 покажите, что $\sum_{n=1}^{\infty } \lambda_{n}^{-2} < \infty$ (см. Упражнение 5.3).

Теорема 6.12 (контекст): предположим (6.4): если $h \in \mathcal{D}$ и $Lh=0$, то $h=0$. Тогда существует последовательность $\left\{ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \right\}$ вещественных чисел и базис $\left\{ e_{1}, e_{2}, \ldots \right\}$ для $L^{2}[a,b]$ такие, что

1. $0 < \left|\lambda_{1}\right| < \left|\lambda_{2}\right| < \cdots$ и $\left|\lambda_{n}\right| \rightarrow \infty$.

2. $e_{n} \in \mathcal{D}$ и $Le_{n} = \lambda_{n} e_{n}$ для всех $n$.

3. Если $\lambda \neq \lambda_{n}$ ни для какого $\lambda_{n}$ и $f \in L^{2}[a,b]$, то существует единственный $h$ из $\mathcal{D}$ такой, что $Lh - \lambda h = f$.

4. Если $\lambda = \lambda_{n}$ для некоторого $n$ и $f \in L^{2}[a,b]$, то существует $h$ из $\mathcal{D}$ такой, что $Lh - \lambda h = f$, тогда и только тогда, когда $\left\langle f, e_{n} \right\rangle = 0$. Если $\left\langle f, e_{n} \right\rangle = 0$, то любые два решения уравнения $Lh - \lambda h = f$ отличаются на кратное $e_{n}$.