Сопряжённый оператор

Докажите Предложение 2.5: если $U \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, то $U$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $U$ обратим и $U^{-1} = U^{*}$.

Докажите Предложение 2.6: если $A, B \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\alpha \in \mathbb {F}$, то:

1. $(\alpha A + B)^{*} = \overline{\alpha } A^{*} + B^{*}$.

2. $(AB)^{*} = B^{*} A^{*}$.

3. $A^{**} \equiv (A^{*})^{*} = A$.

4. Если $A$ обратим в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $A^{-1}$ — его обратный оператор, то $A^{*}$ обратим и $(A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}$.

Проверьте утверждение из Примера 2.8: пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное измеримое пространство, и пусть $M_{\phi }$ — оператор умножения с символом $\phi$ (1.5). Тогда $M_{\phi }^{*}$ есть $M_{\overline{\phi }}$ — оператор умножения с символом $\overline{\phi }$.

Проверьте утверждение из Примера 2.9: если $K$ — интегральный оператор с ядром $k$, как в (1.6), то $K^{*}$ — интегральный оператор с ядром $k^{*}(x,y) \equiv \overline{k(y,x)}$.

Найдите сопряжённый оператор для диагонального оператора (Упражнение 1.8).

Упражнение 1.8 (контекст): Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — обычный базис в $l^{2}$, и пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ — последовательность скаляров. Покажите, что существует ограниченный оператор $A$ на $l^{2}$ такой, что $Ae_{n} = \alpha_{n} e_{n}$ для всех $n$, тогда и только тогда, когда $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ равномерно ограничена, и в этом случае $\left\| A\right\| = \sup \left\{ \left|\alpha_{n}\right|: n \geq 1\right\}$. Оператор такого типа называется диагональным оператором, а также говорят, что он диагонализуем.

Пусть $S$ — односторонний сдвиг; вычислите $SS^{*}$ и $S^{*}S$. Также вычислите $S^{n} S^{*n}$ и $S^{*n} S^{n}$.

Вычислите сопряжённый оператор для оператора Вольтерры $V$ (1.7) и $V+V^{*}$. Чему равен $\operatorname {ran}(V+V^{*})$?

Пример 1.7 (контекст, определяющий $V$): пусть $k: [0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — характеристическая функция множества $\left\{ (x,y): y<x\right\}$. Соответствующий оператор $V: L^{2}(0,1) \rightarrow L^{2}(0,1)$, определённый как $Vf(x) = \int_{0}^{1} k(x,y) f(y) \, dy$, называется оператором Вольтерры. Заметим, что

Где в доказательстве Предложения 2.12 использовалось предположение, что $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство над $\mathbb {C}$?

Предложение 2.12: если $\mathcal{H}$ — $\mathbb {C}$-гильбертово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, то $A$ эрмитов тогда и только тогда, когда $\left\langle Ah, h \right\rangle \in \mathbb {R}$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$.

Предположим, что $A = B+iC$, где $B$ и $C$ эрмитовы, и докажите, что $B=(A+A^{*})/2$, $C=(A-A^{*})/2i$.

Докажите Предложение 2.15: если $\mathcal{H}$ — $\mathbb {C}$-гильбертово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ такой, что $\left\langle Ah, h \right\rangle = 0$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$, то $A=0$.

Если $A$ и $B$ самосопряжены, покажите, что $AB$ самосопряжён тогда и только тогда, когда $AB=BA$.

Пусть $\sum_{n=0}^{\infty } \alpha_{n} z^{n}$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$, $0<R \leq \infty$. Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\left\| A\right\| < R$, покажите, что существует оператор $T$ в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ такой, что для любых $h,g$ из $\mathcal{H}$ выполняется $\left\langle Th, g \right\rangle = \sum_{n=0}^{\infty } \alpha_{n} \left\langle A^{n} h, g \right\rangle$.

Пусть $A$ и $T$ те же, что и в Упражнении 12; покажите, что $\left\| T-\sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} A^{k}\right\| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Если $BA=AB$, покажите, что $BT=TB$.

Если $f(z) = \exp z = \sum_{n=0}^{\infty } z^{n}/n!$ и $A$ эрмитов, покажите, что $f(iA)$ унитарен.

Если $A$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$, покажите, что $A$ инъективен тогда и только тогда, когда область значений $A$ плотна. Приведите пример оператора $B$ такого, что $\ker B = (0)$, но $\operatorname {ran} B$ не плотна. Приведите пример оператора $C$ такого, что $C$ сюръективен, но $\ker C \neq (0)$.

Пусть $M_{\phi }$ — оператор умножения (1.5); покажите, что $\ker M_{\phi } = 0$ тогда и только тогда, когда $\mu (\left\{ x: \phi (x)=0\right\} ) = 0$. Приведите необходимые и достаточные условия на $\phi$, при которых $\operatorname {ran} M_{\phi }$ замкнута.