Диагонализация компактных самосопряжённых операторов

Докажите Следствие 5.4: если $T$ — компактный самосопряжённый оператор, то существует последовательность $\left\{ \mu_{n}\right\}$ вещественных чисел и ортонормированный базис $\left\{ e_{n}\right\}$ для $(\ker T)^{\perp }$ такие, что для всех $h$

Заметим, что в последовательности $\left\{ \mu_{n}\right\}$ могут быть повторения. Сколько может быть повторений?

Докажите Следствие 5.5: если $T \in \mathcal{B}_{0}(\mathcal{H})$, $T=T^{*}$ и $\ker T = (0)$, то $\mathcal{H}$ сепарабельно.

Пусть $K$ и $k$ те же, что и в Предложении 4.7, и предположим, что $k(x,y) = \overline{k(y,x)}$. Покажите, что $K$ самосопряжён, и если $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — собственные значения $K$, каждое из которых повторяется $\dim \ker (K-\mu_{n})$ раз, то $\sum_{1}^{\infty } \left|\mu_{n}\right|^{2} < \infty$.

Предложение 4.7 (контекст): если $(X, \Omega , \mu )$ — измеримое пространство и $k \in L^{2}(X \times X, \Omega \times \Omega , \mu \times \mu )$, то

— компактный оператор, и $\left\| K\right\| \leq \left\| k\right\|_{2}$.

Если $T$ — компактный самосопряжённый оператор, а $\left\{ e_{n}\right\}$ и $\left\{ \mu_{n}\right\}$ те же, что и в (5.4), и если $h$ — заданный вектор в $\mathcal{H}$, покажите, что существует вектор $f$ в $\mathcal{H}$ такой, что $Tf=h$, тогда и только тогда, когда $h \perp \ker T$ и $\sum_{n} \mu_{n}^{-2} \left| \left\langle h, e_{n} \right\rangle \right|^{2} < \infty$. Найдите вид общего вектора $f$ такого, что $Tf=h$.

(5.4) (контекст): существует последовательность $\left\{ \mu_{n}\right\}$ вещественных чисел и ортонормированный базис $\left\{ e_{n}\right\}$ для $(\ker T)^{\perp }$ такие, что для всех $h$ выполняется $Th = \sum_{n=1}^{\infty } \mu_{n} \left\langle h, e_{n} \right\rangle e_{n}$.

Пусть $T$, $\left\{ \mu_{n}\right\}$ и $\left\{ e_{n}\right\}$ те же, что и в (5.4). Если $\lambda \neq 0$ и $\lambda \neq \mu_{n}$ ни для какого $\mu_{n}$, то для каждого $h$ из $\mathcal{H}$ существует единственный $f$ из $\mathcal{H}$ такой, что $(\lambda - T)f = h$. Более того,

Дайте интерпретацию этому в случае, когда $T$ — интегральный оператор.

(5.4) (контекст): существует последовательность $\left\{ \mu_{n}\right\}$ вещественных чисел и ортонормированный базис $\left\{ e_{n}\right\}$ для $(\ker T)^{\perp }$ такие, что для всех $h$ выполняется $Th = \sum_{n=1}^{\infty } \mu_{n} \left\langle h, e_{n} \right\rangle e_{n}$.