Приложение: системы Штурма–Лиувилля

Рассмотрим оператор Штурма--Лиувилля $Lh = -h''$ с $a=0$, $b=1$, и для каждого из следующих граничных условий найдите собственные значения $\left\{ \lambda_{n}\right\}$, собственные векторы $\left\{ e_{n}\right\}$ и функцию Грина $g(x,y)$:

В условиях Теоремы 6.12 покажите, что $\sum_{n=1}^{\infty } \lambda_{n}^{-2} < \infty$ (см. Упражнение 5.3).

Теорема 6.12 (контекст): предположим (6.4): если $h \in \mathcal{D}$ и $Lh=0$, то $h=0$. Тогда существует последовательность $\left\{ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \right\}$ вещественных чисел и базис $\left\{ e_{1}, e_{2}, \ldots \right\}$ для $L^{2}[a,b]$ такие, что

1. $0 < \left|\lambda_{1}\right| < \left|\lambda_{2}\right| < \cdots$ и $\left|\lambda_{n}\right| \rightarrow \infty$.

2. $e_{n} \in \mathcal{D}$ и $Le_{n} = \lambda_{n} e_{n}$ для всех $n$.

3. Если $\lambda \neq \lambda_{n}$ ни для какого $\lambda_{n}$ и $f \in L^{2}[a,b]$, то существует единственный $h$ из $\mathcal{D}$ такой, что $Lh - \lambda h = f$.

4. Если $\lambda = \lambda_{n}$ для некоторого $n$ и $f \in L^{2}[a,b]$, то существует $h$ из $\mathcal{D}$ такой, что $Lh - \lambda h = f$, тогда и только тогда, когда $\left\langle f, e_{n} \right\rangle = 0$. Если $\left\langle f, e_{n} \right\rangle = 0$, то любые два решения уравнения $Lh - \lambda h = f$ отличаются на кратное $e_{n}$.

В условиях Теоремы 6.12 покажите, что $h \in \mathcal{D}$ тогда и только тогда, когда $h \in L^{2}[a,b]$ и $\sum_{n=1}^{\infty } \lambda_{n}^{2} \left| \left\langle h, e_{n} \right\rangle \right|^{2} < \infty$. Если $h \in \mathcal{D}$, покажите, что $h(x) = \sum_{n=1}^{\infty } \left\langle h, e_{n} \right\rangle e_{n}(x)$, где этот ряд сходится равномерно и абсолютно на $[a,b]$.

Теорема 6.12 (контекст): предположим (6.4): если $h \in \mathcal{D}$ и $Lh=0$, то $h=0$. Тогда существует последовательность $\left\{ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \right\}$ вещественных чисел и базис $\left\{ e_{1}, e_{2}, \ldots \right\}$ для $L^{2}[a,b]$ такие, что

1. $0 < \left|\lambda_{1}\right| < \left|\lambda_{2}\right| < \cdots$ и $\left|\lambda_{n}\right| \rightarrow \infty$.

2. $e_{n} \in \mathcal{D}$ и $Le_{n} = \lambda_{n} e_{n}$ для всех $n$.

3. Если $\lambda \neq \lambda_{n}$ ни для какого $\lambda_{n}$ и $f \in L^{2}[a,b]$, то существует единственный $h$ из $\mathcal{D}$ такой, что $Lh - \lambda h = f$.

4. Если $\lambda = \lambda_{n}$ для некоторого $n$ и $f \in L^{2}[a,b]$, то существует $h$ из $\mathcal{D}$ такой, что $Lh - \lambda h = f$, тогда и только тогда, когда $\left\langle f, e_{n} \right\rangle = 0$. Если $\left\langle f, e_{n} \right\rangle = 0$, то любые два решения уравнения $Lh - \lambda h = f$ отличаются на кратное $e_{n}$.

В условиях Теоремы 6.12(c) покажите, что $h(x) = \sum_{n=1}^{\infty } (\lambda_{n} - \lambda )^{-1} \left\langle f, e_{n} \right\rangle e_{n}(x)$ и этот ряд сходится равномерно и абсолютно на $[a,b]$.

Теорема 6.12(c) (контекст): предположим (6.4). Если $\lambda \neq \lambda_{n}$ ни для какого $\lambda_{n}$ и $f \in L^{2}[a,b]$, то существует единственный $h$ из $\mathcal{D}$ такой, что $Lh - \lambda h = f$, где $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ и $\left\{ e_{n}\right\}$ те же, что и в Теореме 6.12.

В условиях Теоремы 6.12(d) покажите, что если $f \perp e_{n}$ и $Lh - \lambda_{n} h = f$, то $h(x) = \sum_{j \neq n} (\lambda_{j} - \lambda_{n})^{-1} \left\langle f, e_{j} \right\rangle e_{j}(x) + \alpha e_{n}(x)$ для некоторого $\alpha$, где ряд сходится равномерно и абсолютно на $[a,b]$.

Теорема 6.12(d) (контекст): предположим (6.4). Если $\lambda = \lambda_{n}$ для некоторого $n$ и $f \in L^{2}[a,b]$, то существует $h$ из $\mathcal{D}$ такой, что $Lh - \lambda h = f$, тогда и только тогда, когда $\left\langle f, e_{n} \right\rangle = 0$. Если $\left\langle f, e_{n} \right\rangle = 0$, то любые два решения уравнения $Lh - \lambda h = f$ отличаются на кратное $e_{n}$, где $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ и $\left\{ e_{n}\right\}$ те же, что и в Теореме 6.12.

Это упражнение показывает, как обращаться со случаем, когда $\ker L \neq (0)$.