Элементарные свойства и примеры

Докажите предложение 1.1: пусть $\mathcal{H}$ и $\mathcal{K}$ — гильбертовы пространства и $A: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ — линейное отображение. Следующие утверждения эквивалентны.

1. $A$ непрерывно.

2. $A$ непрерывно в $0$.

3. $A$ непрерывно в некоторой точке.

4. Существует постоянная $c > 0$ такая, что $\left\| Ah\right\| \leq c \left\| h\right\|$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$.

Докажите предложение 1.2: (a) Если $A$ и $B \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, то $A+B \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, и $\left\| A+B\right\| \leq \left\| A\right\| +\left\| B\right\|$.

(b) Если $\alpha \in \mathbb {F}$ и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, то $\alpha A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$ и $\left\| \alpha A\right\| = \left|\alpha \right| \left\| A\right\|$.

(c) Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$ и $B \in \mathcal{B}(\mathcal{K}, \mathcal{L})$, то $BA \in \mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{L})$ и $\left\| BA\right\| \leq \left\| B\right\| \left\| A\right\|$.

Предположим, что $\left\{ e_{1}, e_{2}, \ldots \right\}$ — ортонормированный базис $\mathcal{H}$ и для каждого $n$ существует вектор $Ae_{n}$ в $\mathcal{H}$ такой, что $\sum \left\| Ae_{n}\right\| < \infty$. Покажите, что $A$ имеет единственное продолжение до ограниченного оператора на $\mathcal{H}$.

Предложение 1.2 утверждает, что $d(A,B) = \left\| A-B\right\|$ — метрика на $\mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$. Покажите, что $\mathcal{B}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$ полно относительно этой метрики.

Покажите, что оператор умножения $M_{\phi }$ удовлетворяет $M_{\phi }^{2} = M_{\phi }$ тогда и только тогда, когда $\phi$ — характеристическая функция.

Теорема 1.5 (контекст для $M_\phi$): пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, и положим $\mathcal{H} = L^{2}(X, \Omega , \mu ) \equiv L^{2}(\mu )$. Если $\phi \in L^{\infty }(\mu )$, определим $M_{\phi }: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )$ формулой $M_{\phi } f = \phi f$. Тогда $M_{\phi } \in \mathcal{B}(L^{2}(\mu ))$ и $\left\| M_{\phi }\right\| = \left\| \phi \right\|_{\infty }$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, и пусть $k_{1}, k_{2}$ — два ядра, удовлетворяющие предположению из (1.6):

Теорема 1.6 (контекст): пусть $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой, и предположим, что $k: X \times X \rightarrow \mathbb {F}$ — $\Omega \times \Omega$-измеримая функция, для которой существуют постоянные $c_{1}$ и $c_{2}$ такие, что

Если $K: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )$ определено формулой

то $K$ — ограниченный линейный оператор и $\left\| K\right\| \leq (c_{1} c_{2})^{1/2}$.

Определим

Если $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой и $k \in L^{2}(\mu \times \mu )$, покажите, что $k$ определяет ограниченный интегральный оператор.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — обычный базис в $l^{2}$, и пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ — последовательность скаляров. Покажите, что существует ограниченный оператор $A$ на $l^{2}$ такой, что $Ae_{n} = \alpha_{n} e_{n}$ для всех $n$, тогда и только тогда, когда $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ равномерно ограничена, и в этом случае $\left\| A\right\| = \sup \left\{ \left|\alpha_{n}\right|: n \geq 1\right\}$. Оператор такого типа называется диагональным оператором, а также говорят, что он диагонализуем.

Пусть $\left\{ \alpha_{ij}\right\}_{i,j=1}^{\infty }$ — бесконечная матрица такая, что $\alpha_{ij} \geq 0$ для всех $i,j$, и такая, что существуют скаляры $p_{i} > 0$ и $\beta , \gamma > 0$, для которых

для всех $i, j \geq 1$. Покажите, что существует оператор $A$ на $l^{2}(\mathbb {N})$ такой, что $\left\langle Ae_{j}, e_{i} \right\rangle = \alpha_{ij}$ и $\left\| A\right\|^{2} \leq \beta \gamma$.

Покажите, что $\left\langle Ae_{j}, e_{i} \right\rangle = (i+j+1)^{-1}$ при $0 \leq i,j < \infty$ определяет ограниченный оператор на $l^{2}(\mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\} )$ с $\left\| A\right\| \leq \pi$. (См. также Choi [1983] и Redheffer and Volkmann [1983].)

Если $A = \left[\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right]$, положим $\alpha = [\left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}+\left|c\right|^{2}+\left|d\right|^{2}]^{1/2}$ и покажите, что $\left\| A\right\| = \frac{1}{2}(\alpha^{2}+\sqrt{\alpha^{4}-4\delta^{2}})$, где $\delta^{2} = \operatorname {det}\left(A^{*}A\right)$.

Пусть $\left\{ \mathcal{H}_{i}\right\}$ — набор гильбертовых пространств, и пусть $\mathcal{H} = \oplus_{i} \mathcal{H}_{i}$. Предположим, что $A_{i} \in \mathcal{B}(\mathcal{H}_{i})$ для всех $i$. Покажите, что существует ограниченный оператор $A$ на $\mathcal{H}$ такой, что $A|\mathcal{H}_{i} = A_{i}$ для всех $i$, тогда и только тогда, когда $\sup_{i} \left\| A_{i}\right\| < \infty$. В этом случае $\left\| A\right\| = \sup_{i} \left\| A_{i}\right\|$. Оператор $A$ называется прямой суммой операторов $\left\{ A_{i}\right\}$ и обозначается $A = \oplus_{i} A_{i}$.

Назовём последовательность векторов $\left\{ f_{n}\right\}$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ последовательностью Бесселя, если $\sum \left| \left\langle f, f_{n} \right\rangle \right|^{2} < \infty$ для каждого $f$ из $\mathcal{H}$. Покажите, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ векторов в $\mathcal{H}$ является последовательностью Бесселя тогда и только тогда, когда бесконечная матрица $( \left\langle f_{m}, f_{n} \right\rangle )$ определяет ограниченный оператор на $l^{2}$. (См. также Shapiro and Shields [1961], p.524.)