Проекторы и идемпотенты; инвариантные и приводящие подпространства

Пусть $\mathcal{H}$ — двумерное вещественное гильбертово пространство $\mathbb {R}^{2}$, пусть $\mathcal{M} \equiv \left\{ (x,0) \in \mathbb {R}^{2}: x \in \mathbb {R}\right\}$ и пусть $\mathcal{N} \equiv \left\{ (x, x \tan \theta ): x \in \mathbb {R}\right\}$, где $0 < \theta < \frac{1}{2}\pi$. Найдите формулу для идемпотента $E_{\theta }$ с $\operatorname {ran} E_{\theta } = \mathcal{M}$ и $\ker E_{\theta } = \mathcal{N}$. Покажите, что $\left\| E_{\theta }\right\| = (\sin \theta )^{-1}$.

Докажите Предложение 3.2 (c): если $\mathcal{M} = \operatorname {ran} E$ и $\mathcal{N} = \ker E$ (где $E$ — идемпотент), то $\mathcal{M} \cap \mathcal{N} = (0)$ и $\mathcal{M} + \mathcal{N} = \mathcal{H}$.

Пусть $\left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\}$ — набор замкнутых подпространств пространства $\mathcal{H}$; покажите, что $\cap \left\{ \mathcal{M}_{i}^{\perp }: i \in I\right\} = [\vee \left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\} ]^{\perp }$ и $[\cap \left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\} ]^{\perp } = \vee \left\{ \mathcal{M}_{i}^{\perp }: i \in I\right\}$.

Пусть $P$ и $Q$ — проекторы. Покажите:

Обобщите Упражнение 4 следующим образом. Предположим, что $\left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\}$ — набор подпространств $\mathcal{H}$ такой, что $\mathcal{M}_{i} \perp \mathcal{M}_{j}$ при $i \neq j$. Пусть $P_{i}$ — проектор $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}_{i}$; покажите, что для всех $h$ из $\mathcal{H}$ сумма $\sum \left\{ P_{i} h: i \in I\right\}$ сходится к $Ph$, где $P$ — проектор $\mathcal{H}$ на $\vee \left\{ \mathcal{M}_{i}: i \in I\right\}$.

Упражнение 4 (контекст): пусть $P$ и $Q$ — проекторы. (a) $P+Q$ является проектором тогда и только тогда, когда $\operatorname {ran} P \perp \operatorname {ran} Q$. Если $P+Q$ — проектор, то $\operatorname {ran}(P+Q) = \operatorname {ran} P + \operatorname {ran} Q$ и $\ker (P+Q) = \ker P \cap \ker Q$. (b) $PQ$ является проектором тогда и только тогда, когда $PQ=QP$. Если $PQ$ — проектор, то $\operatorname {ran} PQ = \operatorname {ran} P \cap \operatorname {ran} Q$ и $\ker PQ = \ker P + \ker Q$.

Если $P$ и $Q$ — проекторы, то следующие утверждения равносильны.

1. $P-Q$ является проектором.

2. $\operatorname {ran} Q \subseteq \operatorname {ran} P$.

3. $PQ=Q$.

4. $QP=Q$. Если $P-Q$ является проектором, то $\operatorname {ran}(P-Q) = (\operatorname {ran} P) \ominus (\operatorname {ran} Q)$ и $\ker (P-Q) = \operatorname {ran} Q + \ker P$.

Пусть $P$ и $Q$ — проекторы. Покажите, что $PQ=QP$ тогда и только тогда, когда $P+Q-PQ$ является проектором. В этом случае $\operatorname {ran}(P+Q-PQ) = \operatorname {ran} P + \operatorname {ran} Q$ и $\ker (P+Q-PQ) = \ker P \cap \ker Q$.

Приведите пример двух некоммутирующих проекторов.

Пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и пусть $\mathcal{N} = \operatorname {graph} A \subseteq \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$, то есть $\mathcal{N} = \left\{ h \oplus Ah: h \in \mathcal{H}\right\}$. Поскольку $A$ непрерывен и линеен, $\mathcal{N} \leq \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$. Пусть $\mathcal{M} = \mathcal{H} \oplus (0) \leq \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$. Докажите следующие утверждения.

Найдите два замкнутых линейных подпространства $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ бесконечномерного гильбертова пространства $\mathcal{H}$ такие, что $\mathcal{M} \cap \mathcal{N} = (0)$ и $\mathcal{M}+\mathcal{N}$ плотно в $\mathcal{H}$, но $\mathcal{M}+\mathcal{N} \neq \mathcal{H}$.

Определим $A: l^{2}(\mathbb {Z}) \rightarrow l^{2}(\mathbb {Z})$ формулой $A(\ldots , \alpha_{-1}, \hat{\alpha }_{0}, \alpha_{1}, \ldots ) = (\ldots , \hat{\alpha }_{-1}, \alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots )$, где $\hat{\ }$ стоит над коэффициентом на $0$-м месте. Найдите инвариантное подпространство оператора $A$, которое не приводит $A$. Этот оператор называется двусторонним сдвигом.

Пусть $\mu$ — мера площади на $\mathbb {D} \equiv \left\{ z \in \mathbb {C}: \left|z\right|<1\right\}$, и определим $A: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )$ формулой $(Af)(z) = zf(z)$ при $\left|z\right|<1$ и $f$ из $L^{2}(\mu )$. Найдите нетривиальное приводящее подпространство для $A$ и инвариантное подпространство, которое не приводит $A$.