Унитарная эквивалентность компактных нормальных операторов

Покажите, что «унитарная эквивалентность» является отношением эквивалентности на $\mathcal{B}(\mathcal{H})$.

Пусть $U: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ — изоморфизм, и определим $\rho : \mathcal{B}(\mathcal{H}) \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{K})$ формулой $\rho (A) = UAU^{-1}$. Докажите:

Будем говорить, что оператор $A$ на $\mathcal{H}$ неприводим, если единственными приводящими подпространствами для $A$ являются $(0)$ и $\mathcal{H}$. Докажите:

Пусть $A = \oplus \left\{ A_{i}: i \in I\right\}$ и $B = \oplus \left\{ B_{i}: i \in I\right\}$, где каждый $A_{i}$ и $B_{i}$ неприводим (упражнение 3). Покажите, что $A \cong B$ тогда и только тогда, когда существует биекция $\pi : I \rightarrow I$, такая что $A_{i} \cong B_{\pi (i)}$.

Если $T$ — компактный нормальный оператор, а $m_{T} = m$ — его функция кратности, докажите:

Покажите, что две проекции $P$ и $Q$ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда $\dim (\operatorname {ran} P) = \dim (\operatorname {ran} Q)$ и $\dim (\ker P) = \dim (\ker Q)$.

Пусть $A: L^{2}(0,1) \rightarrow L^{2}(0,1)$ определён формулой $(Af)(x) = xf(x)$ для $f$ из $L^{2}(0,1)$ и $x$ из $(0,1)$. Покажите, что $A \cong A^{2}$.

Будем говорить, что компактный нормальный оператор $T$ прост, если $m_{T} \leq 1$. (См. упражнения 7.10 и 7.11.) Покажите, что каждый компактный нормальный оператор $T$ на сепарабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен $\oplus_{n=1}^{\infty } T_{n}$, где каждый $T_{n}$ — простой компактный нормальный оператор и $m_{T_{n}} \geq m_{T_{n+1}}$ для всех $n$. Покажите, что $\left\| T_{n}\right\| \rightarrow 0$. (Разумеется, число $T_{n}$ может быть конечным.)

Используя обозначения упражнения 8, предположим также, что $S$ — компактный нормальный оператор и $S \cong \oplus_{n=1}^{\infty } S_{n}$, где $S_{n}$ — простой компактный нормальный оператор и $m_{S_{n}} \geq m_{S_{n+1}}$ для всех $n$. Покажите, что $T \cong S$ тогда и только тогда, когда $T_{n} \cong S_{n}$ для всех $n$.

Если $T$ — компактный нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве, покажите, что существуют простые компактные нормальные операторы $T_{1}, T_{2}, \ldots$, такие что $T \cong 0 \oplus T_{1} \oplus T_{2}^{(2)} \oplus T_{2}^{(3)} \oplus \cdots$, где:

Используя обозначения упражнения 10, пусть $S$ — компактный нормальный оператор, и пусть $0 \oplus S_{1} \oplus S_{2}^{(2)} \oplus \cdots$ — соответствующее разложение. Покажите, что $T \cong S$ тогда и только тогда, когда $T_{n} \cong S_{n}$ и $\ker T$ и $\ker S$ имеют одинаковую размерность.

Если $T$ — ненулевой компактный нормальный оператор, покажите, что $T$ и $T \oplus T$ не унитарно эквивалентны.

Приведите пример нетривиального оператора $T$, такого что $T \cong T \oplus T$. Покажите, что если $T \cong T \oplus T$, то $T \cong T \oplus T \oplus \cdots$. Охарактеризуйте диагонализируемые нормальные операторы $T$, такие что $T \cong T \oplus T$.

Пусть $\mathcal{H}$ — пространство, определённое в примере I.1.8, и пусть $U: \mathcal{H} \rightarrow L^{2}(0,1)$ — изоморфизм, определённый формулой $Uf = f'$ (упражнение I.1.4). Если $(Af)(x) = xf(x)$ для $f$ из $\mathcal{H}$, чему равно $UAU^{-1}$?

Пример I.1.8 (контекст): Пусть $\mathcal{H}$ = совокупность всех абсолютно непрерывных функций $f: [0,1] \rightarrow \mathbb {F}$, таких что $f(0)=0$ и $f' \in L^{2}(0,1)$. Если $\left\langle f, g \right\rangle = \int_{0}^{1} f'(t) \overline{g'(t)} \, dt$ для $f$ и $g$ из $\mathcal{H}$, то $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство.