Компактные операторы

Докажите Предложение 4.2(c): если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $B \in \mathcal{B}(\mathcal{K})$ и $T \in \mathcal{B}_{0}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, то $TA$ и $BT \in \mathcal{B}_{0}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$.

Покажите, что всякий оператор конечного ранга компактен.

Если $T \in \mathcal{B}_{00}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$, покажите, что $T^{*} \in \mathcal{B}_{00}(\mathcal{K}, \mathcal{H})$ и $\dim (\operatorname {ran} T) = \dim (\operatorname {ran} T^{*})$.

Покажите, что идемпотент компактен тогда и только тогда, когда он имеет конечный ранг.

Покажите, что ни один ненулевой оператор умножения на $L^{2}(0,1)$ не компактен.

Покажите, что если $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ — компактный оператор и $\left\{ e_{n}\right\}$ — произвольная ортонормированная последовательность в $\mathcal{H}$, то $\left\| Te_{n}\right\| \rightarrow 0$. Верно ли обратное?

Если $T$ компактен и $\mathcal{M}$ — инвариантное подпространство для $T$, покажите, что $T|\mathcal{M}$ компактен.

Если $h, g \in \mathcal{K}$, определим $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ формулой $Tf = \left\langle f, h \right\rangle g$. Покажите, что $T$ имеет ранг $1$ [то есть $\dim (\operatorname {ran} T) = 1$]. Более того, всякий оператор ранга $1$ может быть представлен таким образом. Покажите, что если $T$ — оператор конечного ранга, то существуют ортонормированные векторы $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и векторы $g_{1}, \ldots , g_{n}$ такие, что $Th = \sum_{j=1}^{n} \left\langle h, e_{j} \right\rangle g_{j}$ для всех $h$ из $\mathcal{H}$. Покажите, что в этом случае $T$ нормален, если $g_{j} = \lambda_{j} e_{j}$ для некоторых скаляров $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$. Найдите $\sigma_{p}(T)$.

Покажите, что диагонализуемый оператор нормален.

Проверьте утверждения из Примера 4.10: пусть $A$ — диагонализуемый оператор из Предложения 4.6 (то есть $\mathcal{H}$ — сепарабельное гильбертово пространство с базисом $\left\{ e_{n}\right\}$; $\left\{ \alpha_{n}\right\} \subseteq \mathbb {F}$, причём $M = \sup \left\{ \left|\alpha_{n}\right|: n \geq 1\right\} < \infty$; $Ae_{n} = \alpha_{n} e_{n}$ для всех $n$). Тогда $\sigma_{p}(A) = \left\{ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \right\}$. Если $\alpha \in \sigma_{p}(A)$, положим $J_{\alpha } = \left\{ j \in \mathbb {N}: \alpha_{j} = \alpha \right\}$. Тогда $h$ является собственным вектором для $\alpha$ тогда и только тогда, когда $h \in \vee \left\{ e_{j}: j \in J_{\alpha }\right\}$.

Проверьте утверждение из Примера 4.11: оператор Вольтерры не имеет собственных значений.

Проверьте утверждение из Примера 4.12: пусть $h \in \mathcal{H} = L_{\mathbb {C}}^{2}(-\pi , \pi )$, и определим $K: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ формулой $(Kf)(x) = (2\pi )^{-1/2} \int_{-\pi }^{\pi } h(x-y) f(y) \, dy$. Если $\lambda_{n} = (2\pi )^{-1/2} \int_{-\pi }^{\pi } h(x) \exp (-inx) \, dx = \hat{h}(n)$ — $n$-й коэффициент Фурье функции $h$, то $Ke_{n} = \lambda_{n} e_{n}$, где $e_{n}(x) = (2\pi )^{-1/2} \exp (-inx)$. (Заметим, что оператор $K$ в этом примере диагонализуем.)

Если $T_{n} \in \mathcal{B}(\mathcal{H}_{n})$, $n \geq 1$, причём $\sup_{n} \left\| T_{n}\right\| < \infty$, и $T = \oplus_{n=1}^{\infty } T_{n}$ на $\mathcal{H} = \oplus_{n=1}^{\infty } \mathcal{H}_{n}$, покажите, что $T$ компактен тогда и только тогда, когда каждый $T_{n}$ компактен и $\left\| T_{n}\right\| \rightarrow 0$.

В условиях Леммы 4.8 покажите, что если $L^{2}(X, \Omega , \mu )$ сепарабельно, то $\left\{ \phi_{ij}\right\}$ является базисом в $L^{2}(X \times X, \Omega \times \Omega , \mu \times \mu )$. Что если $L^{2}(X, \Omega , \mu )$ не сепарабельно?

Лемма 4.8: если $\left\{ e_{i}: i \in I\right\}$ — базис в $L^{2}(X, \Omega , \mu )$ и

для $i,j$ из $I$ и $x,y$ из $X$, то $\left\{ \phi_{ij}: i,j \in I\right\}$ является ортонормированным множеством в $L^{2}(X \times X, \Omega \times \Omega , \mu \times \mu )$. Если $k$ и $K$ те же, что и в Предложении 4.7, то $\left\langle k, \phi_{ij} \right\rangle = \left\langle Ke_{j}, e_{i} \right\rangle$.