Спектральная теорема и функциональное исчисление для компактных нормальных операторов

Если $\left\{ P_{n}\right\}$ — последовательность попарно ортогональных ненулевых проекторов и $P = \sum P_{n}$, покажите, что $\left\| P - \sum_{j=1}^{n} P_{j}\right\| = 1$ для всех $n$.

Если $\mathcal{H}$ сепарабельно, покажите, что определения диагонализуемого оператора в (4.6) и (7.3) равносильны.

Предложение 4.6 (контекст): пусть $\mathcal{H}$ — сепарабельное гильбертово пространство с базисом $\left\{ e_{n}\right\}$; пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\} \subseteq \mathbb {F}$, причём $M = \sup \left\{ \left|\alpha_{n}\right|: n \geq 1\right\} < \infty$. Если $Ae_{n} = \alpha_{n} e_{n}$ для всех $n$, то $A$ продолжается по линейности до ограниченного оператора на $\mathcal{H}$ с $\left\| A\right\| = M$. Оператор $A$ компактен тогда и только тогда, когда $\alpha_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. (Про такой оператор $A$ говорят, что он диагонализуем.)

(7.3) (контекст): оператор $A$ на $\mathcal{H}$ диагонализуем, если существует разбиение единицы на $\mathcal{H}$, $\left\{ P_{i}: i \in I\right\}$, и семейство скаляров $\left\{ \alpha_{i}: i \in I\right\}$ такие, что $\sup_{i} \left|\alpha_{i}\right| < \infty$ и $Ah = \alpha_{i} h$ всякий раз, когда $h \in \operatorname {ran} P_{i}$.

Если $A = \sum \alpha_{i} P_{i}$, как в (7.3), покажите, что $A$ компактен тогда и только тогда, когда:

Докажите предложение 7.4: оператор $A$ на $\mathcal{H}$ диагонализируем тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис $\mathcal{H}$, состоящий из собственных векторов оператора $A$.

Если $A = \oplus_{i} \alpha_{i} P_{i}$, покажите, что $A^{*} = \oplus_{i} \overline{\alpha_{i}} P_{i}$, что $A$ нормален, и что $\left\| A\right\| = \sup \left\{ \left|\alpha_{i}\right|: i \in I\right\}$.

Приведите оставшиеся детали доказательства (7.6).

Теорема 7.6 (спектральная теорема для компактных нормальных операторов, контекст): Если $T$ — компактный нормальный оператор на комплексном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, то $T$ имеет не более чем счётное число различных собственных значений. Если $\left\{ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \right\}$ — различные ненулевые собственные значения $T$, а $P_{n}$ — проекция $\mathcal{H}$ на $\ker (T-\lambda_{n})$, то $P_{n} P_{m} = P_{m} P_{n} = 0$ при $n \neq m$ и

где этот ряд сходится к $T$ в метрике, определяемой нормой на $\mathcal{B}(\mathcal{H})$.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $AT=TA$ для каждого компактного оператора $T$, покажите, что $A$ является кратным тождественного оператора.

Пусть $T$ — компактный нормальный оператор на $\mathbb {C}$-гильбертовом пространстве, такой что $\dim \ker (T-\lambda ) \leq 1$ для всех $\lambda$ в $\mathbb {C}$. Покажите, что если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $AT=TA$, то $A = \phi (T)$ для некоторого $\phi$ из $l^{\infty }(\mathbb {C})$.

Определение 7.10 (контекст): Обозначим через $l^{\infty }(\mathbb {C})$ все ограниченные функции $\phi : \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$. Если $T$ — компактный нормальный оператор, удовлетворяющий $T = \sum_{n=1}^{\infty } \lambda_{n} P_{n}$ (7.7), определим $\phi (T): \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ формулой

где $P_{0}$ — проекция $\mathcal{H}$ на $\ker T$.

Докажите утверждение, обратное к упражнению 8: если $T$ — компактный нормальный оператор, такой что $\left\{ A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}): AT=TA\right\} = \left\{ \phi (T): \phi \in l^{\infty }(\mathbb {C})\right\}$, то $\dim \ker (T-\lambda ) \leq 1$ для всех $\lambda$ в $\mathbb {C}$.

Пусть $T$ — компактный нормальный оператор; покажите, что $\dim \ker (T-\lambda ) \leq 1$ для всех $\lambda$ в $\mathbb {C}$ тогда и только тогда, когда существует вектор $h$ в $\mathcal{H}$, такой что $\left\{ p(T)h: p \text{ — многочлен от одной переменной}\right\}$ плотен в $\mathcal{H}$. (Такой вектор $h$ называется циклическим вектором для $T$.)

Если $\lambda \in \mathbb {C}$, пусть $\delta_{\lambda }$ — единичная точечная масса в $\lambda$; то есть $\delta_{\lambda }$ — мера на $\mathbb {C}$, такая что $\delta_{\lambda }(\Delta ) = 1$, если $\lambda \in \Delta$, и $\delta_{\lambda }(\Delta ) = 0$, если $\lambda \notin \Delta$. Если $\left\{ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \right\}$ — ограниченная последовательность различных комплексных чисел, а $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ — последовательность действительных чисел с $\alpha_{n} > 0$ и $\sum_{n} \alpha_{n} < \infty$, пусть $\mu = \sum_{n=1}^{\infty } \alpha_{n} \delta_{\lambda_{n}}$; тогда $\mu$ — конечная мера. Если $\phi \in l^{\infty }(\mathbb {C})$, пусть $M_{\phi }$ — оператор умножения на $L^{2}(\mu )$. Определим $T: L^{2}(\mu ) \rightarrow L^{2}(\mu )$ формулой $(Tf)(\lambda_{n}) = \lambda_{n} f(\lambda_{n})$. Докажите:

Используя обозначения теоремы 7.11, дайте необходимые и достаточные условия на $T$ и $\phi$ для того, чтобы $\phi (T)$ был компактен. (Указание: рассмотрите отдельно случаи, когда $\ker T$ конечномерен или бесконечномерен.)

Определение 7.10 (контекст): Обозначим через $l^{\infty }(\mathbb {C})$ все ограниченные функции $\phi : \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$. Если $T$ — компактный нормальный оператор, удовлетворяющий $T = \sum_{n=1}^{\infty } \lambda_{n} P_{n}$ (7.7), определим $\phi (T): \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ формулой

где $P_{0}$ — проекция $\mathcal{H}$ на $\ker T$.

Докажите часть о единственности теоремы 7.16: если $T$ — положительный компактный оператор, то существует единственный положительный компактный оператор $A$, такой что $A^{2} = T$.

Если $T \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, покажите, что $T^{*}T \geq 0$.

Пусть $T$ — компактный нормальный оператор; покажите, что существуют компактный положительный оператор $A$ и унитарный оператор $U$, такие что $T = UA = AU$. обсудите единственность $A$ и $U$.

Пусть $T \in \mathcal{B}_{0}(\mathcal{H})$ и пусть $A$ — единственный положительный квадратный корень из $T^{*}T$ [(7.16) и упражнение 14].

Докажите следующее утверждение о единственности функционального исчисления (7.11). Если $T$ — компактный нормальный оператор на $\mathbb {C}$-гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, а $\tau : l^{\infty }(\mathbb {C}) \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — мультипликативное линейное отображение, такое что $\left\| \tau (\phi )\right\| = \sup \left\{ \left|\phi (\lambda )\right|: \lambda \in \sigma_{p}(T)\right\}$, $\tau (1) = 1$ и $\tau (\psi ) = T$, когда $\psi (z) = z$ на $\sigma_{p}(T) \cup \left\{ 0\right\}$, то $\tau (\phi ) = \phi (T)$ для каждого $\phi$ из $l^{\infty }(\mathbb {C})$.