Глава 5

Комплексный анализ

[237/99%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 5.1.1

Если $a$ и $b$ — комплексные числа и $a \neq 0$ , множество $a^{b}$ состоит из тех комплексных чисел $c$ , которые имеют логарифм вида $b\alpha$ для некоторого логарифма $\alpha$ числа $a$ . (То есть $e^{b\alpha } = c$ и $e^{\alpha } = a$ для некоторого комплексного числа $\alpha$ .) Опишите множество $a^{b}$ при $a = 1$ и $b = 1/3+i$ .

Задача 5.1.2

Запишите все значения $i^{i}$ в виде $a+bi$ .

Задача 5.1.3

Покажите, что необходимым и достаточным условием того, что три точки $a$ , $b$ и $c$ на комплексной плоскости образуют равносторонний треугольник, является равенство

a^{2}+b^{2}+c^{2} = bc+ca+ab.

Задача 5.1.4

Пусть точки $a$ , $b$ и $c$ лежат на единичной окружности комплексной плоскости и удовлетворяют $a+b+c = 0$ . Докажите, что $a$ , $b$ и $c$ образуют вершины равностороннего треугольника.

Задача 5.1.5

(1)(2)

(1)

Вычислите $P_{n-1}(1)$ , где $P_{n-1}(x)$ — многочлен

P_{n-1}(x) = \frac{x^{n}-1}{x-1}.

(2)

Рассмотрим окружность радиуса 1, и пусть $Q_{1}, Q_{2}, \ldots , Q_{n}$ — вершины правильного $n$ -угольника, вписанного в эту окружность. Соединим $Q_{1}$ с $Q_{2}, Q_{3}, \ldots , Q_{n}$ отрезками прямых. Получим $(n-1)$ отрезков длин $\lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots , \lambda_{n}$ . {#fig-1 width="50%"} Покажите, что

\prod _{i=2}^{n} \lambda _{i} = n.

Задача 5.1.6

Докажите, что для каждого целого $n \geq 0$ существует многочлен $T_{n}(x)$ с целыми коэффициентами, для которого тождество

2\cos nz = T_{n}(2\cos z)

выполняется при всех $z$ .

Задача 5.1.7

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — комплексные числа. Докажите, что существует подмножество $J \subset \left\{ 1,2,\ldots ,n\right\}$ такое, что

\left|\sum _{j \in J} z_{j}\right| \geq \frac{1}{4\sqrt{2}} \sum _{j=1}^{n} \left|z_{j}\right|.

Задача 5.1.8

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — комплексные числа. Докажите, что существует точка $x$ в $[0,1]$ такая, что

\left|1 - \sum _{k=1}^{n} a_{k} e^{2\pi i kx}\right| \geq 1.

Задача 5.1.9

Пусть $a$ и $b$ — комплексные числа, вещественные части которых отрицательны или равны $0$ . Докажите неравенство $\left|e^{a}-e^{b}\right| \leq \left|a-b\right|$ .

Задача 5.1.10

Пусть $A$ — конечное подмножество единичного круга на плоскости, и пусть $N(A,r)$ — множество точек на расстоянии $\leq r$ от $A$ , где $0<r<1$ . Покажите, что длина границы $N(A,r)$ не превосходит $C/r$ для некоторой константы $C$ , не зависящей от $A$ .

Задача 5.1.11

Для комплексных чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{k}$ докажите

\limsup _{n} \left|\sum _{j=1}^{k} \alpha _{j}^{n}\right|^{1/n} = \sup _{j} \left|\alpha _{j}\right|.

Замечание: см. также задачу 1.3.1.

5.2 · Ряды и последовательности функций[19/100%]

Задача 5.2.1

Покажите, что

(1+z+z^{2}+\cdots +z^{9})(1+z^{10}+z^{20}+\cdots +z^{90})(1+z^{100}+z^{200}+\cdots +z^{900})\cdots = \frac{1}{1-z}

при $\left|z\right|<1$ .

Задача 5.2.2

Предположим, что коэффициенты степенного ряда

\sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}

задаются рекуррентным соотношением

a_{0}=1, \quad a_{1}=-1, \quad 3a_{n}+4a_{n-1}-a_{n-2}=0, \quad n=2,3,\ldots .

Найдите радиус сходимости ряда и функцию, к которой он сходится в круге сходимости.

Задача 5.2.3

Покажите, что дифференциальное уравнение

f''(z) = zf(z), \qquad f(0)=1, \qquad f'(0)=1

имеет единственное целое решение на комплексной плоскости.

Задача 5.2.4

Опишите область на комплексной плоскости, где бесконечный ряд

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} \exp \left(\frac{nz}{z-2}\right)

сходится. Нарисуйте эскиз этой области.

Задача 5.2.5

Пусть $f$ — аналитическая функция такая, что

f(z) = 1+2z+3z^{2}+\cdots \quad \text{при } \left|z\right|<1.

Определим последовательность вещественных чисел $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ формулой

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}(z+2)^{n}.

Чему равен радиус сходимости ряда

\sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}?

Задача 5.2.6

Пусть последовательность $a_{0}, a_{1}, \ldots$ определена уравнением

1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}(x-3)^{n} \quad (0<x<1).

Найдите

\limsup _{n\to \infty } \left(\left|a_{n}\right|^{\frac{1}{n}}\right).

Задача 5.2.7

Предположим, что степенной ряд

\sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}

сходится при $\left|z\right|<R$ , где $z$ и $a_{n}$ — комплексные числа. Если $b_{n} \in \mathbb {C}$ таковы, что $\left|b_{n}\right| < n^{2}\left|a_{n}\right|$ для всех $n$ , докажите, что

\sum _{n=0}^{\infty } b_{n} z^{n}

сходится при $\left|z\right|<R$ .

Задача 5.2.8

Пусть $b_{1}, b_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел такая, что $b_{k} \geq b_{k+1}$ для всех $k$ и $\lim_{k\to \infty } b_{k}=0$ . Докажите, что степенной ряд $\sum_{k=1}^{\infty } b_{k} z^{k}$ сходится для всех комплексных чисел $z$ таких, что $\left|z\right| \leq 1$ и $z \neq 1$ .

Задача 5.2.9

При каких $z \in \mathbb {C}$ ряд

\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{z^{n}}{n!} + \frac{n^{2}}{z^{n}}\right)

сходится?

Задача 5.2.10

Покажите, что

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{z}{(1+z^{2})^{n}}

сходится для всех комплексных чисел $z$ , лежащих вне лемнискаты

\left|1+z^{2}\right| = 1.

Задача 5.2.11

Определите комплексные числа $z$ , для которых степенной ряд

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^{n}}{n^{\log n}}

и его почленные производные всех порядков сходятся абсолютно.

Задача 5.2.12

Предположим, что

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}

имеет радиус сходимости $R>0$ . Покажите, что

h(z) = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{a_{n} z^{n}}{n!}

является целой функцией и что для $0<r<R$ найдётся константа $M$ такая, что

\left|h(z)\right| \leq Me^{\left|z\right|/r}.

Задача 5.2.13

Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ с положительным радиусом сходимости $R$ представляет функцию $f$ в круге $\left|z\right|<R$ . Для $k=0,1,\ldots$ пусть $s_{k}$ — $k$ -я частичная сумма ряда $s_{k}(z) = \sum_{n=0}^{k} c_{n} z^{n}$ . Докажите, что

\sum _{k=0}^{\infty } \left|f(z)-s_{k}(z)\right| < \infty

для каждого $z$ в круге $\left|z\right|<R$ .

Задача 5.2.14

Пусть $R>1$ , и пусть $f$ аналитична при $\left|z\right|<R$ , за исключением $z=1$ , где $f$ имеет простой полюс. Если

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n} \qquad (\left|z\right|<1)

— ряд Маклорена для $f$ , покажите, что $\lim_{n\to \infty } a_{n}$ существует.

Задача 5.2.15

Найдите радиус сходимости $R$ ряда Тейлора вблизи $z=1$ функции $f(z) = 1/(1+z^{2}+z^{4}+z^{6}+z^{8}+z^{10})$ . Выразите ответ только через вещественные числа и квадратные корни.

Задача 5.2.16

Докажите, что равномерный предел последовательности комплексных аналитических функций является комплексной аналитической функцией. Верна ли аналогичная теорема для вещественных аналитических функций?

Задача 5.2.17

Пусть $g_{n}(z)$ — целая функция, имеющая только вещественные нули, $n=1,2,\ldots$ . Предположим, что

\lim _{n\to \infty } g_{n}(z) = g(z)

равномерно на компактных подмножествах $\mathbb {C}$ , причём $g$ не тождественно равна нулю. Докажите, что $g(z)$ имеет только вещественные нули.

Задача 5.2.18

(1)(2)

Пусть $f, g_{1}, g_{2}, \ldots$ — целые функции. Предположим, что

(1)

$\left|g_{n}^{(k)}(0)\right| \leq \left|f^{(k)}(0)\right|$ для всех $n$ и $k$ ;

(2)

$\lim_{n\to \infty } g_{n}^{(k)}(0)$ существует для всех $k$ .

Докажите, что последовательность $\left\{ g_{n}\right\}$ сходится равномерно на компактных множествах и что её предел является целой функцией.

Задача 5.2.19

Найдите ряд Лорана, сходящийся в кольце $1<\left|z\right|<2$ к некоторой ветви функции $\log \left(\dfrac {z(2-z)}{1-z}\right)$ .

5.3 · Конформные отображения[9/100%]

Задача 5.3.1

Рассмотрим следующие четыре типа преобразований:

z \mapsto z+b, \quad z \mapsto 1/z, \quad z \mapsto kz \quad (\text{где } k \neq 0),

z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} \quad (\text{где } ad-bc \neq 0).

Здесь $z$ — переменное комплексное число, а остальные буквы обозначают постоянные комплексные числа. Покажите, что каждое преобразование переводит окружности либо в окружности, либо в прямые.

Задача 5.3.2

(1)(2)(3)

Приведите примеры конформных отображений, а именно:

(1)

из $\left\{ z \mid \left|z\right|<1\right\}$ на $\left\{ z \mid \mathrm{Re}\left(z\right)<0\right\}$ ,

(2)

из $\left\{ z \mid \left|z\right|<1\right\}$ на себя, с $f(0) = 0$ и $f(1/2) = i/2$ ,

(3)

из $\left\{ z \mid z \neq 0, 0<\arg z<\frac{3\pi }{2}\right\}$ на $\left\{ z \mid z \neq 0, 0<\arg z<\frac{\pi }{2}\right\}$ .

Задача 5.3.3

Дробно-линейное преобразование переводит кольцо $r<\left|z\right|<1$ (где $r>0$ ) в область, ограниченную двумя окружностями $\left|z-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4}$ и $\left|z\right| = 1$ . Найдите $r$ .

Задача 5.3.4

Существует ли аналитическая функция, отображающая кольцо

A = \left\{ z \mid 1 \leq \left|z\right| \leq 4\right\}

на кольцо

B = \left\{ z \mid 1 \leq \left|z\right| \leq 2\right\}

и переводящая $C_{1} \to C_{1}$ , $C_{4} \to C_{2}$ , где $C_{r}$ — окружность радиуса $r$ ?

Задача 5.3.5

Предъявите конформное отображение из $\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right|<1, \mathrm{Re}\left(z\right)>0\right\}$ на $\mathbb {D} = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right|<1\right\}$ .

Задача 5.3.6

Найдите взаимно однозначное конформное отображение полукруга

\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \mathrm{Im}\left(z\right)>0, \left|z-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{2}\right\}

на верхнюю полуплоскость.

Задача 5.3.7

Конформно отобразите область внутри круга $\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z-1\right| \leq 1\right\}$ и вне круга $\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{1}{2}\right\}$ на верхнюю полуплоскость.

Задача 5.3.8

Докажите, что не существует взаимно однозначного конформного отображения проколотого круга $G = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid 0<\left|z\right|<1\right\}$ на кольцо $A = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid 1<\left|z\right|<2\right\}$ .

Задача 5.3.9

Пусть $n$ — положительное целое число. Найдите группу дробно-линейных преобразований $\mathbb {C}$ , которая фиксирует две точки $z = 1$ и $z = -1$ и имеет порядок $n$ .

5.4 · Функции на единичном круге[22/100%]

Задача 5.4.1

Пусть $\alpha$ — число из $(0, \pi /2)$ . Докажите, что функция $f(z) = e^{-1/z}$ равномерно непрерывна на $S_{\alpha } = \left\{ z \mid 0<\left|z\right| \leq 1, \left|\operatorname {Arg} z\right| \leq \alpha \right\}$ , секторе комплексной плоскости.

Задача 5.4.2

Пусть $a$ и $b$ — ненулевые комплексные числа, и $f(z) = az+bz^{-1}$ . Определите образ единичной окружности $\left\{ z \mid \left|z\right| = 1\right\}$ при отображении $f$ .

Задача 5.4.3

Пусть $f$ аналитична на и внутри единичной окружности $C = \left\{ z \mid \left|z\right| = 1\right\}$ . Пусть $L$ — длина образа $C$ при отображении $f$ . Покажите, что $L \geq 2\pi \left|f'(0)\right|$ .

Задача 5.4.4

Пусть

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } c_{n}z^{n}

аналитична в круге $\mathbb {D} = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right|<1\right\}$ . Предположим, что $f$ отображает $\mathbb {D}$ взаимно однозначно на область $G$ площади $A$ . Докажите, что

A = \pi \sum _{n=1}^{\infty } n\left|c_{n}\right|^{2}.

Задача 5.4.5

Вычислите площадь образа единичного круга $\left\{ z \mid \left|z\right|<1\right\}$ при отображении $f(z) = z+z^{2}/2$ .

Задача 5.4.6

Пусть

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n}

— аналитическая функция в открытом единичном круге $\mathbb {D}$ . Предположим, что

\sum _{n=2}^{\infty } n\left|a_{n}\right| \leq \left|a_{1}\right| \quad \text{с } a_{1} \neq 0.

Докажите, что $f$ инъективна.

Задача 5.4.7

Пусть $f(z)$ — функция, аналитическая в единичном круге $\mathbb {D} = \left\{ \left|z\right|<1\right\}$ . Предположим, что $\left|f(z)\right| \leq 1$ в $\mathbb {D}$ . Докажите, что если $f(z)$ имеет по крайней мере две неподвижные точки $z_{1}$ и $z_{2}$ , то $f(z) = z$ для всех $z \in \mathbb {D}$ .

Задача 5.4.8

Для каждого $k>0$ пусть $X_{k}$ — множество аналитических функций $f(z)$ на открытом единичном круге $\mathbb {D}$ , таких что

\sup _{z \in \mathbb {D}} \left\{ (1-\left|z\right|)^{k}\left|f(z)\right|\right\}

конечен. Показать, что $f \in X_{k}$ тогда и только тогда, когда $f' \in X_{k+1}$ .

Задача 5.4.9

Пусть функция $f$ аналитична в открытом единичном круге комплексной плоскости и вещественнозначна на радиусах $[0,1]$ и $[0, e^{i\pi \sqrt{2}}]$ . Доказать, что $f$ постоянна.

Задача 5.4.10

Пусть функция $f$ аналитична в круге $\left|z\right|<1$ комплексной плоскости. Предположим, что существует положительная константа $M$ , такая что

\int _{0}^{2\pi } \left|f'(re^{i\theta })\right| \, d\theta \leq M, \qquad (0 \leq r<1).

Доказать, что

\int _{[0,1)} \left|f(x)\right| \, dx < \infty .

Задача 5.4.11

Пусть $h(z)$ аналитична на всей плоскости, $h(0) = 3+4i$ и $\left|h(z)\right| \leq 5$ при $\left|z\right|<1$ . Чему равно $h'(0)$ ?

Задача 5.4.12

Пусть $f$ аналитична в замкнутом единичном круге, причём $f(-\log 2) = 0$ и $\left|f(z)\right| \leq \left|e^{z}\right|$ для всех $z$ с $\left|z\right| = 1$ . Насколько большим может быть $\left|f(\log 2)\right|$ ?

Задача 5.4.13

Предположим, что $f$ аналитична на открытой верхней полуплоскости и удовлетворяет $\left|f(z)\right| \leq 1$ для всех $z$ , $f(i) = 0$ . Насколько большим может быть $\left|f(2i)\right|$ при этих условиях?

Задача 5.4.14

Пусть $f(z)$ аналитична на правой полуплоскости $H = \left\{ z \mid \mathrm{Re}\left(z\right)>0\right\}$ и $\left|f(z)\right| \leq 1$ для $z \in H$ . Предположим также, что $f(1) = 0$ . Каково наибольшее возможное значение $\left|f'(1)\right|$ ?

Задача 5.4.15

Пусть $f(z)$ аналитична на открытом единичном круге $\mathbb {D} = \left\{ z \mid \left|z\right|<1\right\}$ . Доказать, что существует последовательность $(z_{n})$ в $\mathbb {D}$ , такая что $\left|z_{n}\right| \to 1$ и $(f(z_{n}))$ ограничена.

Задача 5.4.16

(1)(2)

Пусть $f$ — аналитическая функция в единичном круге, $\left|z\right|<1$ .

(1)

Доказать, что существует последовательность $(z_{n})$ в единичном круге, такая что $\lim_{n \to \infty } \left|z_{n}\right| = 1$ , и $\lim_{n \to \infty } f(z_{n})$ существует (конечен).

(2)

Предположим, что $f$ непостоянна. Доказать, что существуют две последовательности $(z_{n})$ и $(w_{n})$ в круге, такие что $\lim_{n \to \infty } \left|z_{n}\right| = \lim_{n \to \infty } \left|w_{n}\right| = 1$ , и что оба предела $\lim_{n \to \infty } f(z_{n})$ и $\lim_{n \to \infty } f(w_{n})$ существуют (конечны) и не равны друг другу.

Задача 5.4.17

Пусть $f$ — голоморфное отображение единичного круга $\mathbb {D} = \left\{ z \mid \left|z\right|<1\right\}$ в себя, не являющееся тождественным отображением $f(z) = z$ . Показать, что $f$ может иметь не более одной неподвижной точки.

Задача 5.4.18

\left|a_{n}\right| = \left|\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\right| \leq (n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} < e(n+1).

Задача 5.4.19

(1)(2)

(1)

Пусть $f$ — аналитическая функция, отображающая открытый единичный круг $\mathbb {D}$ в себя и обращающаяся в нуль в начале координат. Доказать, что $\left|f(z)+f(-z)\right| \leq 2\left|z\right|^{2}$ в $\mathbb {D}$ .

(2)

Доказать, что неравенство из части 1 строгое всюду, кроме начала координат, если только $f$ не имеет вид $f(z) = \lambda z^{2}$ , где $\lambda$ — константа, равная по модулю единице.

Задача 5.4.20

Пусть функция $f$ аналитична в единичном круге, причём $\left|f(z)\right| \leq 1$ и $f(0) = 0$ . Предположим, что существует число $r$ в $(0,1)$ , такое что $f(r) = f(-r) = 0$ . Доказать, что

\left|f(z)\right| \leq \left|z\right|\left|\frac{z^{2}-r^{2}}{1-r^{2}z^{2}}\right|.

Задача 5.4.21

Пусть $f(z)$ — аналитическая функция, отображающая открытый круг $\left|z\right|<1$ в себя. Показать, что $\left|f'(z)\right| \leq 1/(1-\left|z\right|^{2})$ .

Задача 5.4.22

Пусть $f$ — аналитическая функция в открытом единичном круге комплексной плоскости, такая что $\left|f(z)\right| \leq C/(1-\left|z\right|)$ для всех $z$ в круге, где $C$ — положительная константа. Доказать, что $\left|f'(z)\right| \leq 4C/(1-\left|z\right|)^{2}$ .

5.5 · Условия роста[14/100%]

Задача 5.5.1

Пусть $f$ — целая функция, такая что $\mathrm{Re}\left(f(z)\right) \geq -2$ для всех $z \in \mathbb {C}$ . Показать, что $f$ постоянна.

Задача 5.5.2

Пусть функция $f$ аналитична на всей комплексной плоскости, и предположим, что $f(z)/z \to 0$ при $\left|z\right| \to \infty$ . Доказать, что $f$ постоянна.

Задача 5.5.3

Пусть рациональная функция $f$ на комплексной плоскости не имеет полюсов при $\mathrm{Im}\left(z\right) \geq 0$ . Доказать, что

\sup \left\{ \left|f(z)\right| \mid \mathrm{Im}\left(z\right) \geq 0\right\} = \sup \left\{ \left|f(z)\right| \mid \mathrm{Im}\left(z\right) = 0\right\} .

Задача 5.5.4

Пусть $f$ — целая функция, такая что для всех $z$ выполняется $\left|f(z)\right| = \left|\sin z\right|$ . Доказать, что существует константа $C$ модуля $1$ , такая что $f(z) = C\sin z$ .

Задача 5.5.5

Предположим, что $f$ и $g$ — целые функции, причём $\left|f(z)\right| \leq \left|g(z)\right|$ для всех $z$ . Доказать, что $f(z) = cg(z)$ для некоторой константы $c$ .

Задача 5.5.6

Задача 5.5.7

Пусть $f$ — целая функция. Определим $\Omega = \mathbb {C} \setminus (-\infty , 0]$ — комплексную плоскость с удалённым лучом $(-\infty , 0]$ . Предположим, что для всех $z \in \Omega$ выполняется $\left|f(z)\right| \leq \left|\log z\right|$ , где $\log z$ — главная ветвь логарифма. Что можно заключить о функции $f$ ?

Задача 5.5.8

Пусть $f$ и $g$ — две целые функции, такие что для всех $z \in \mathbb {C}$ выполняется $\mathrm{Re}\left(f(z)\right) \leq k\mathrm{Re}\left(g(z)\right)$ при некоторой вещественной константе $k$ (не зависящей от $z$ ). Показать, что существуют константы $a$ , $b$ , такие что

f(z) = ag(z)+b.

Задача 5.5.9

Пусть непрерывная вещественнозначная функция $\varphi$ на комплексной плоскости обладает свойством субсреднего значения: для любой точки $z_{0}$

\varphi (z_{0}) \leq \frac{1}{2\pi } \int _{0}^{2\pi } \varphi (z_{0}+re^{i\theta }) \, d\theta \qquad (0<r<1).

Доказать, что $\varphi$ подчиняется принципу максимума модуля: максимум $\varphi$ на любом компактном множестве $K$ достигается на границе $K$ .

Задача 5.5.10

(1)(2)

Пусть $f : \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ — целая функция, и пусть $a>0$ и $b>0$ — константы.

(1)

Если $\left|f(z)\right| \leq a\sqrt{\left|z\right|}+b$ для всех $z$ , доказать, что $f$ постоянна.

(2)

Что можно доказать о $f$ , если

\left|f(z)\right| \leq a\left|z\right|^{5/2}+b

для всех $z$ ?

Задача 5.5.11

Пусть функция $f$ аналитична на всей комплексной плоскости и удовлетворяет

\int _{0}^{2\pi } \left|f(re^{i\theta })\right| \, d\theta \leq r^{17/3}

для всех $r>0$ . Доказать, что $f$ — тождественно нулевая функция.

Задача 5.5.12

Существует ли функция $f$ , аналитическая на проколотой плоскости $\mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$ , такая что

\left|f(z)\right| \geq \frac{1}{\sqrt{\left|z\right|}}

для всех ненулевых $z$ ?

Задача 5.5.13

Пусть функция $f$ аналитична на всей комплексной плоскости и удовлетворяет неравенству $\left|f(z)\right| \leq \left|\mathrm{Re}\left(z\right)\right|^{-1/2}$ вне мнимой оси. Доказать, что $f$ постоянна.

Задача 5.5.14

(1)(2)

Пусть непостоянная целая функция $f$ удовлетворяет условиям

(1)

$f(0) = 0$ ;

(2)

для каждого $M>0$ множество $\left\{ z \mid \left|f(z)\right|<M\right\}$ связно.

Доказать, что $f(z) = cz^{n}$ для некоторой константы $c$ и натурального $n$ .

5.7 · Теорема Коши[16/100%]

Задача 5.7.1

Вычислите

\int _{0}^{2\pi } e^{e^{i\theta }} \, d\theta .

Задача 5.7.2

Вычислите

\int _{0}^{2\pi } e^{(e^{i\theta } - i\theta )} \, d\theta .

Задача 5.7.3

Пусть $a$ — комплексное число с $\left|a\right| < 1$ . Вычислите интеграл

\int _{\left|z\right|=1} \frac{\left|dz\right|}{\left|z-a\right|^{2}} .

Задача 5.7.4

Для $0 < a < b$ вычислите интеграл

I = \frac{1}{2\pi } \int _{0}^{2\pi } \frac{1}{\left|a e^{i\theta } - b\right|^{4}} \, d\theta .

Задача 5.7.5

Докажите основную теорему алгебры: каждый непостоянный многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

Задача 5.7.6

Пусть $f$ непрерывна на $\mathbb {C}$ и аналитична на $\left\{ z \mid \mathrm{Im}\left(z\right) \neq 0\right\}$ . Докажите, что $f$ должна быть аналитична на $\mathbb {C}$ .

Задача 5.7.7

Пусть $f(z)$ — рациональная функция $p(z)/q(z)$ , где $p(z)$ и $q(z)$ — ненулевые многочлены с комплексными коэффициентами, такие что степень $p(z)$ меньше степени $q(z)$ , и такие что $q(z)$ не имеет комплексных нулей с неотрицательной мнимой частью. Докажите, что если $z_{0}$ — комплексное число с положительной мнимой частью, то

f(z_{0}) = \frac{1}{2\pi i} \int _{-\infty }^{+\infty } \frac{f(t)}{t - z_{0}} \, dt .

Задача 5.7.8

Пусть $f(z) = a_{0} + a_{1} z + \cdots + a_{n} z^{n}$ — комплексный многочлен степени $n > 0$ . Докажите

\frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=R} z^{n-1} \left|f(z)\right|^{2} \, dz = a_{0} \overline{a_{n}} R^{2n} .

Задача 5.7.9

Пусть $f$ — целая функция такая, что

\int _{0}^{2\pi } \left|f(r e^{i\theta })\right|^{2} \, d\theta \leq A r^{2k} \qquad (0 < r < \infty ),

где $k$ — положительное целое число, а $A$ — положительная константа. Докажите, что $f$ является постоянным кратным функции $z^{k}$ .

Задача 5.7.10

Пусть $f(z) = u(z) + iv(z)$ голоморфна на $\left|z\right| < 1$ , $u$ и $v$ вещественны. Покажите, что

\int _{0}^{2\pi } u(re^{i\theta })^{2} \, d\theta = \int _{0}^{2\pi } v(re^{i\theta })^{2} \, d\theta

при $0 < r < 1$ , если $u(0)^{2} = v(0)^{2}$ .

Задача 5.7.11

Пусть $f : \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ — аналитическая функция такая, что

\left(1 + \left|z\right|^{k}\right)^{-1} \frac{d^{m} f}{dz^{m}}

ограничена для некоторых $k$ и $m$ . Докажите, что $d^{n} f / dz^{n}$ тождественно равна нулю при достаточно больших $n$ . Насколько большим должно быть $n$ , в терминах $k$ и $m$ ?

Задача 5.7.12

(1)(2)

Предположим, что $\Omega$ — ограниченная область в $\mathbb {C}$ с границей, состоящей из гладкой жордановой кривой $\gamma$ . Пусть $f$ голоморфна в окрестности замыкания $\Omega$ , и предположим, что $f(z) \neq 0$ при $z \in \gamma$ . Пусть $z_{1}, \ldots , z_{k}$ — нули $f$ в $\Omega$ , и пусть $n_{j}$ — порядок нуля $f$ в точке $z_{j}$ (для $j = 1, \ldots , k$ ).

(1)

Используя интегральную формулу Коши, покажите, что

\frac{1}{2\pi i} \int _{\gamma } \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = \sum _{j=1}^{k} n_{j} .

(2)

Предположим, что $f$ имеет только один нуль $z_{1}$ в $\Omega$ кратности $n_{1} = 1$ . Найдите граничный интеграл, содержащий $f$ , значение которого равно точке $z_{1}$ .

Задача 5.7.13

Пусть $f$ — аналитическая функция на диске $D$ с центром в точке $z_{0}$ . Предположим, что $\left|f'(z) - f'(z_{0})\right| < \left|f'(z_{0})\right|$ на $D$ . Докажите, что $f$ инъективна на $D$ .

Задача 5.7.14

Пусть $f(z)$ аналитична в кольце $\Omega = \left\{ 1 < \left|z\right| < 2\right\}$ . Предположим, что $f$ не имеет нулей в $\Omega$ . Покажите, что существует целое число $n$ и аналитическая функция $g$ в $\Omega$ такие, что для всех $z \in \Omega$ , $f(z) = z^{n} e^{g(z)}$ .

Задача 5.7.15

Определим функцию $f$ на $\mathbb {C} \setminus [0,1]$ как

f(z) = \int _{0}^{1} \frac{\sqrt{t}}{t - z} \, dt .

Докажите, что $f$ аналитична, и найдите её ряд Лорана в окрестности $\infty$ .

Задача 5.7.16

Пусть функция $f$ аналитична и ограничена в комплексной полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$ . Докажите, что для любого положительного вещественного числа $c$ функция $f$ равномерно непрерывна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > c$ .

5.8 · Нули и особые точки[35/97%]

Задача 5.8.1

Пусть $\mathbb {C}^{3}$ обозначает множество упорядоченных троек комплексных чисел. Определим отображение $F : \mathbb {C}^{3} \to \mathbb {C}^{3}$ как

F(u,v,w) = (u+v+w, uv+vw+wu, uvw) .

Докажите, что $F$ сюръективно, но не инъективно.

Задача 5.8.2

Докажите, что многочлен

p(z) = z^{47} - z^{23} + 2z^{11} - z^{5} + 4z^{2} + 1

имеет хотя бы один корень в диске $\left|z\right| < 1$ .

Задача 5.8.3

Предположим, что $f$ аналитична внутри и на единичной окружности $\left|z\right| = 1$ и удовлетворяет $\left|f(z)\right| < 1$ при $\left|z\right| = 1$ . Покажите, что уравнение $f(z) = z^{3}$ имеет ровно три решения (с учётом кратностей) внутри единичной окружности.

Задача 5.8.4

(1)(2)

(1)

Сколько нулей имеет функция $f(z) = 3z^{100} - e^{z}$ внутри единичной окружности (с учётом кратностей)?

(2)

Различны ли эти нули?

Задача 5.8.5

(1)(2)

(1)

Сколько корней имеет многочлен, заданный как $p(z) = 2z^{5} + 4z^{2} + 1$ , в диске $\left|z\right| < 1$ ?

(2)

Сколько корней имеет тот же многочлен на вещественной оси?

Задача 5.8.6

Сколько нулей имеет комплексный многочлен

3z^{9} + 8z^{6} + z^{5} + 2z^{3} + 1

в кольце $1 < \left|z\right| < 2$ ?

Задача 5.8.7

Рассмотрим многочлен

p(z) = z^{5} + z^{3} + 5z^{2} + 2 .

Сколько нулей (с учётом кратностей) имеет $p$ в кольцевой области $1 < \left|z\right| < 2$ ?

Задача 5.8.8

Найдите число корней уравнения

z^{7} - 4z^{3} - 11 = 0

которые лежат между двумя окружностями $\left|z\right| = 1$ и $\left|z\right| = 2$ .

Задача 5.8.9

Пусть $\varepsilon$ — положительное число. Докажите, что многочлен $p(z) = \varepsilon z^{3} - z^{2} - 1$ имеет ровно два корня в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) < 0$ .

Задача 5.8.10

Пусть $r < 1 < R$ . Покажите, что для всех достаточно малых $\varepsilon > 0$ многочлен

p(z) = \varepsilon z^{7} + z^{2} + 1

имеет ровно пять корней (с учётом их кратностей) внутри кольца

r\varepsilon ^{-1/5} < \left|z\right| < R\varepsilon ^{-1/5} .

Задача 5.8.11

Пусть матричная функция $A$ размера $3 \times 3$ определена на комплексной плоскости как

A(z) = \begin{pmatrix} 4z^{2} & 1 & -1 \\ -1 & 2z^{2} & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Сколько существует различных значений $z$ таких, что $\left|z\right| < 1$ и $A(z)$ необратима?

Задача 5.8.12

Сколько корней имеет многочлен $z^{4} + 3z^{2} + z + 1$ в правой половине $z$ -плоскости?

Задача 5.8.13

Докажите, что если непостоянный многочлен $p(z)$ с комплексными коэффициентами имеет все свои корни в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$ , то все корни его производной находятся в той же полуплоскости.

Задача 5.8.14

Пусть $f$ — непостоянная целая функция, значения которой на вещественной оси вещественны и неотрицательны. Докажите, что все вещественные нули $f$ имеют чётный порядок.

Задача 5.8.15

Пусть $p$ — непостоянный многочлен с вещественными коэффициентами, все корни которого вещественны. Докажите, что для каждого вещественного числа $r$ многочлен $p - rp'$ имеет только вещественные корни.

Задача 5.8.16

Докажите, что если $1 < \lambda < \infty$ , то функция

f_{\lambda }(z) = z + \lambda - e^{z}

имеет ровно один нуль в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) < 0$ , и что этот нуль вещественный.

Задача 5.8.17

Докажите, что при любом $\lambda > 1$ уравнение $ze^{\lambda -z} = 1$ имеет ровно один корень в круге $\left|z\right| < 1$ , и что этот корень вещественный.

Задача 5.8.18

Докажите, что для любого $a \in \mathbb {C}$ и любого целого $n \geq 2$ уравнение $1 + z + az^{n} = 0$ имеет хотя бы один корень в круге $\left|z\right| \leq 2$ .

Задача 5.8.19

Докажите, что многочлен $z^{4} + z^{3} + 1$ имеет ровно один корень в квадранте $\left\{ z = x+iy \mid x,y > 0\right\}$ .

Задача 5.8.20

Задача 5.8.21

Пусть $0 < a_{0} \leq a_{1} \leq \cdots \leq a_{n}$ . Докажите, что уравнение

a_{0}z^{n} + a_{1}z^{n-1} + \cdots + a_{n} = 0

не имеет корней в круге $\left|z\right| < 1$ .

Задача 5.8.22

Покажите, что многочлен $p(z) = z^{5} - 6z + 3$ имеет пять различных комплексных корней, из которых ровно три (а не пять) вещественны.

Задача 5.8.23

Пусть $c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n-1}$ — комплексные числа. Докажите, что все нули многочлена

z^{n} + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots + c_{1}z + c_{0}

лежат в открытом круге с центром $0$ и радиусом

\sqrt{1 + \left|c_{n-1}\right|^{2} + \cdots + \left|c_{1}\right|^{2} + \left|c_{0}\right|^{2}} .

Задача 5.8.24

Пусть $P(x)$ — многочлен с вещественными коэффициентами и старшим коэффициентом $1$ . Предположим, что $P(0) = -1$ и что $P(x)$ не имеет комплексных нулей внутри единичной окружности. Докажите, что $P(1) = 0$ .

Задача 5.8.25

(1)(2)

Докажите, что число корней уравнения $z^{2n} + \alpha^{2}z^{2n-1} + \beta^{2} = 0$ ( $n$ — натуральное число, $\alpha$ и $\beta$ вещественны и ненулевые), имеющих положительную вещественную часть, равно

(1)

$n$ , если $n$ чётно, и

(2)

$n-1$ , если $n$ нечётно.

Задача 5.8.26

Пусть $\rho > 0$ . Покажите, что при достаточно большом $n$ все нули

f_{n}(z) = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2!z^{2}} + \cdots + \frac{1}{n!z^{n}}

лежат в круге $\left|z\right| < \rho$ .

Задача 5.8.27

Имеют ли функции $f(z) = e^{z} + z$ и $g(z) = ze^{z} + 1$ одинаковое число нулей в полосе $-\frac{\pi }{2} < \mathrm{Im}\left(z\right) < \frac{\pi }{2}$ ?

Задача 5.8.28

Пусть $a$ — комплексное число, а $\varepsilon$ — положительное число. Докажите, что функция $f(z) = \sin z + \dfrac {1}{z-a}$ имеет бесконечно много нулей в полосе $\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| < \varepsilon$ .

Задача 5.8.29

Предположим, что $f$ голоморфна в некоторой окрестности точки $a$ на комплексной плоскости. Докажите, что либо $f$ постоянна в некоторой окрестности $a$ , либо существуют целое число $n > 0$ и вещественные числа $\delta , \varepsilon > 0$ такие, что для каждого комплексного числа $b$ , удовлетворяющего $0 < \left|b-f(a)\right| < \varepsilon$ , уравнение $f(z) = b$ имеет ровно $n$ корней в $\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z-a\right| < \delta \right\}$ .

Задача 5.8.30

Пусть $\hat{a}_{0} + \hat{a}_{1}z + \cdots + \hat{a}_{n}z^{n}$ — многочлен, имеющий $\hat{z}$ своим простым корнем. Покажите, что существует непрерывная функция $r : U \to \mathbb {C}$ , где $U$ — окрестность точки $(\hat{a}_{0}, \ldots , \hat{a}_{n})$ в $\mathbb {C}^{n+1}$ , такая что $r(a_{0}, \ldots , a_{n})$ всегда является корнем $a_{0} + a_{1}z + \cdots + a_{n}z^{n}$ , и $r(\hat{a}_{0}, \ldots , \hat{a}_{n}) = \hat{z}$ .

Задача 5.8.31

Пусть

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n}

где все $a_{n}$ — неотрицательные вещественные числа, а ряд имеет радиус сходимости $1$ . Докажите, что $f(z)$ нельзя аналитически продолжить до функции, аналитической в окрестности точки $z = 1$ .

Задача 5.8.32

Пусть $f$ — мероморфная на $\mathbb {C}$ функция, аналитическая в окрестности $0$ . Пусть её ряд Маклорена имеет вид

\sum _{k=0}^{\infty } a_{k}z^{k}

со всеми $a_{k} \geq 0$ . Предположим, что существует полюс модуля $r > 0$ и нет полюса модуля $< r$ . Докажите, что существует полюс в точке $z = r$ .

Задача 5.8.33

Определите, без излишних вычислений, существует ли конечный предел

\lim _{z \to 0} \left((\tan z)^{-2} - z^{-2}\right)

где $z$ — комплексная переменная, и если да, вычислите этот предел.

Задача 5.8.34

Пусть $f$ и $g$ — целые функции такие, что $\lim_{z \to \infty } f(g(z)) = \infty$ . Докажите, что $f$ и $g$ — многочлены.

Задача 5.8.35

Пусть $z_{1}, \ldots , z_{n}$ — различные комплексные числа, и пусть $a_{1}, \ldots , a_{n}$ — ненулевые комплексные числа такие, что $S_{p} = \sum_{j=1}^{n} a_{j}z_{j}^{p} = 0$ при $p = 0, 1, \ldots , m-1$ , но $S_{m} \neq 0$ . Здесь $1 \leq m \leq n-1$ . Сколько нулей имеет рациональная функция $f(z) = \sum_{j=1}^{n} \dfrac {a_{j}}{z-z_{j}}$ на $\mathbb {C}$ ? Почему невозможно $m \geq n$ .

5.9 · Гармонические функции[7/100%]

Задача 5.9.1

Пусть $u : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}$ — функция, заданная формулой $u(x,y) = x^{3} - 3xy^{2}$ . Покажите, что $u$ гармонична, и найдите $v : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}$ такую, что функция $f : \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ , заданная формулой

f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)

аналитична.

Задача 5.9.2

Пусть $f(z)$ — аналитическая функция, определённая при $\left|z\right| \leq 1$ , и пусть

u(x,y) = \mathrm{Re}\left(f(z)\right), \qquad z = x+iy .

Докажите, что

\int _{C} \frac{\partial u}{\partial y} \, dx - \frac{\partial u}{\partial x} \, dy = 0

где $C$ — единичная окружность, $x^{2}+y^{2} = 1$ .

Задача 5.9.3

(1)(2)

(1)

Пусть $f$ — комплексная функция, аналитическая в открытом множестве, содержащем круг $\left|z\right| \leq 1$ , и принимающая вещественные значения на единичной окружности. Докажите, что $f$ постоянна.

(2)

Найдите непостоянную функцию, аналитическую в каждой точке комплексной плоскости, кроме одной точки на единичной окружности $\left|z\right| = 1$ , и принимающую вещественные значения в каждой другой точке единичной окружности.

Задача 5.9.4

Пусть $s$ — вещественное число, и пусть функция $u$ определена на $\mathbb {C} \setminus (-\infty , 0]$ формулой

u(re^{i\theta }) = r^{s} \cos s\theta \qquad (r > 0, \ -\pi < \theta < \pi ) .

Докажите, что $u$ — гармоническая функция.

Задача 5.9.5

Пусть $u$ — положительная гармоническая функция на $\mathbb {R}^{2}$ ; то есть

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 .

Покажите, что $u$ постоянна.

Задача 5.9.6

Пусть $u$ — вещественнозначная гармоническая функция на комплексной плоскости такая, что

u(z) \leq a\left|\log \left|z\right|\right| + b

для всех $z$ , где $a$ и $b$ — положительные константы. Докажите, что $u$ постоянна.

Задача 5.9.7

Пусть $D = \left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| \leq 1\right\} \setminus \left\{ 1,-1\right\}$ . Найдите явную непрерывную функцию $f : D \to \mathbb {R}$ , удовлетворяющую всем следующим условиям:

$f$ гармонична во внутренности $D$ (открытом единичном круге),
$f(z) = 1$ , когда $\left|z\right| = 1$ и $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$ , и
$f(z) = -1$ , когда $\left|z\right| = 1$ и $\mathrm{Im}\left(z\right) < 0$ .

5.10 · Теория вычетов[33/97%]

Задача 5.10.1

Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}$ — различные комплексные числа. Покажите, что рациональную функцию вида

f(z) = \frac{b_{0} + b_{1}z + \cdots + b_{n-2}z^{n-2} + b_{n-1}z^{n-1}}{(z-r_{1})(z-r_{2}) \cdots (z-r_{n})}

можно записать в виде суммы

f(z) = \frac{A_{1}}{z-r_{1}} + \frac{A_{2}}{z-r_{2}} + \cdots + \frac{A_{n}}{z-r_{n}}

для подходящих констант $A_{1}, \ldots , A_{n}$ .

Задача 5.10.2

Пусть

\cot (\pi z) = \sum _{n=-\infty }^{\infty } a_{n}z^{n}

— разложение Лорана для $\cot (\pi z)$ на кольце $1 < \left|z\right| < 2$ . Вычислите $a_{n}$ .

Задача 5.10.3

Покажите, что существует комплексная аналитическая функция, определённая на множестве $U = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right| > 4\right\}$ , производная которой равна

\frac{z}{(z-1)(z-2)(z-3)} .

Существует ли комплексная аналитическая функция на $U$ , производная которой равна

\frac{z^{2}}{(z-1)(z-2)(z-3)} \ ?

Задача 5.10.4

Пусть $n$ — положительное целое число. Докажите, что многочлен

f(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{m}}{m!}

в $\mathbb {R}^{x}$ имеет $n$ различных комплексных нулей, $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ , и что они удовлетворяют

\sum _{i=1}^{n} z_{i}^{k} = 0 \qquad \text{для } 0 \leq k \leq n-2 .

Задача 5.10.5

Пусть $P$ и $Q$ — комплексные многочлены, причём степень $Q$ по крайней мере на два больше степени $P$ . Докажите, что существует $r > 0$ такое, что если $C$ — замкнутая кривая вне $\left|z\right| = r$ , то

\int _{C} \frac{P(z)}{Q(z)} \, dz = 0 .

Задача 5.10.6

Докажите, что для любого фиксированного комплексного числа $\zeta$ ,

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{(n!)^{2}} \left(\frac{\zeta }{2}\right)^{2n} = \frac{1}{2\pi } \int _{0}^{2\pi } e^{2\zeta \cos \theta } \, d\theta .

Задача 5.10.7

Вычислите интеграл

I = \frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=1} \frac{(z+2)^{2}}{z^{2}(2z-1)} \, dz

где направление интегрирования — против часовой стрелки.

Задача 5.10.8

Пусть $a > 0$ — константа $\neq 2$ . Пусть $C_{a}$ обозначает положительно ориентированную окружность радиуса $a$ с центром в начале координат. Вычислите

\int _{C_{a}} \frac{z^{2}+e^{z}}{z^{2}(z-2)} \, dz .

Задача 5.10.9

Пусть $r$ — положительное число, а $a$ — комплексное число такое, что $\left|a\right| \neq r$ . Вычислите интеграл

I(a,r) = \int _{\left|z\right|=r} \frac{\overline{z}}{a-z} \, dz

где окружность $\left|z\right| = r$ ориентирована против часовой стрелки.

Задача 5.10.10

Пусть $C$ обозначает положительно ориентированную окружность $\left|z\right| = 2$ , $z \in \mathbb {C}$ . Вычислите интеграл

\int _{C} \sqrt{z^{2}-1} \, dz

где ветвь квадратного корня выбрана так, что $\sqrt{4} - 1 > 0$ .

Задача 5.10.11

Вычислите интеграл

I = \frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=1} \frac{1}{\sin 4z} \, dz

где направление интегрирования — против часовой стрелки.

Задача 5.10.12

Вычислите интегралы

I_{n} = \frac{1}{2\pi i} \int _{C_{n}} \frac{1}{z^{3} \sin z} \, dz, \qquad n = 0, 1, \ldots ,

где $C_{n}$ — окружность $\left|z\right| = (n+\frac{1}{2})\pi$ с ориентацией против часовой стрелки.

Задача 5.10.13

Вычислите

\frac{1}{2\pi i} \int _{C} \frac{dz}{\sin \frac{1}{z}}

где $C$ — окружность $\left|z\right| = \frac{1}{5}$ , положительно ориентированная.

Задача 5.10.14

(1)(2)

(1)

Покажите, что существует единственная аналитическая ветвь вне единичной окружности функции $f(z) = \sqrt{z^{2}+z+1}$ такая, что $f(t)$ положительна при $t > 1$ .

(2)

Используя ветвь, определённую в части 1, вычислите интеграл

\frac{1}{2\pi i} \int _{C_{r}} \frac{dz}{\sqrt{z^{2}+z+1}}

где $C_{r}$ — положительно ориентированная окружность $\left|z\right| = r$ и $r > 1$ .

Задача 5.10.15

Пусть $C$ — простой замкнутый контур, охватывающий точки $0, 1, 2, \ldots , k$ на комплексной плоскости, с положительной ориентацией. Вычислите интегралы

I_{k} = \int _{C} \frac{dz}{z(z-1) \cdots (z-k)}, \qquad k = 0, 1, \ldots ,

J_{k} = \int _{C} \frac{(z-1) \cdots (z-k)}{z} \, dz, \qquad k = 0, 1, \ldots .

Задача 5.10.16

Вычислите

\int _{\left|z\right|=1} (e^{2\pi z}+1)^{-2} \, dz

где интеграл берётся в направлении против часовой стрелки.

Задача 5.10.17

Вычислите

\frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=1} \frac{z^{11}}{12z^{12} - 4z^{9} + 2z^{6} - 4z^{3} + 1} \, dz

где направление интегрирования — против часовой стрелки.

Задача 5.10.18

Вычислите

\int _{C} (2z-1) e^{z/(z-1)} \, dz

где $C$ — окружность $\left|z\right| = 2$ с ориентацией против часовой стрелки.

Задача 5.10.19

Вычислите интеграл

I = \frac{1}{2\pi i} \int _{C} \frac{dz}{(z-2)(1+2z)^{2}(1-3z)^{3}}

где $C$ — окружность $\left|z\right| = 1$ с ориентацией против часовой стрелки.

Задача 5.10.20

Вычислите

I = \frac{1}{2\pi i} \int _{C} \frac{1}{3z^{n}-1} \, dz ,

где $n$ — положительное целое число, а $C$ — окружность $\left|z\right| = 1$ с ориентацией против часовой стрелки.

Задача 5.10.21

Вычислите

\int _{C} \frac{e^{z}}{z(2z+1)^{2}} \, dz ,

где $C$ — единичная окружность с ориентацией против часовой стрелки.

Задача 5.10.22

Пусть $a = \dfrac {1+i}{2}$ , $b = \dfrac {-1+i}{2}$ . Пусть $\Gamma$ — ломаная в комплексной плоскости с последовательными вершинами $-1, -1+i, 1, 1+i, -1$ . Вычислите интеграл

I = \int _{\Gamma } \frac{1}{(z-a)^{2}(z-b)^{3}} \, dz .

Задача 5.10.23

Вычислите интеграл $\dfrac {1}{2\pi i} \int_{\gamma } f(z) \, dz$ для функции $f(z) = z^{-2}(1-z^{2})^{-1}e^{z}$ и кривой $\gamma$ , изображённой на рисунке {#fig-1 width="60%"} кривой, которая начинается как большая петля, охватывающая $-1$ и $0$ , пересекает саму себя, а затем продолжается как малая петля, охватывающая только $1$ , так что её суммарные индексы вращения относительно $-1$ , $0$ , $1$ таковы, как видно по рисунку.

Задача 5.10.24

Вычислите

\int _{C} \frac{e^{z}-1}{z^{2}(z-1)} \, dz

где $C$ — замкнутая кривая, показанная ниже: {#fig-1 width="60%"} кривая в форме восьмёрки, которая дважды, в отрицательном направлении, обходит малую петлю, охватывающую $0$ , и дважды, в положительном направлении, обходит петлю, охватывающую $1$ .

Задача 5.10.25

Пусть $n$ — натуральное число и $0 < \theta < \pi$ . Докажите, что

\frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=2} \frac{z^{n}}{1-2z\cos \theta +z^{2}} \, dz = \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }

где окружность $\left|z\right| = 2$ ориентирована против часовой стрелки.

Задача 5.10.26

Используя теорему о вычетах, вычислите интеграл

I(a) = \int _{0}^{2\pi } \frac{d\theta }{a+\cos \theta }

где $a$ вещественно и $a > 1$ . Почему формула, полученная для $I(a)$ , также верна для некоторых комплексных (не вещественных) значений $a$ ?

Задача 5.10.27

Вычислите

\int _{0}^{2\pi } \frac{d\theta }{1-2r\cos \theta +r^{2}}

где $r^{2} \neq 1$ .

Задача 5.10.28

Вычислите

\int _{0}^{\pi } \frac{\cos 4\theta }{1+\cos ^{2}\theta } \, d\theta .

Задача 5.10.29

Вычислите интеграл

\int _{0}^{2\pi } \frac{\cos ^{2}3\theta }{5-4\cos 2\theta } \, d\theta

Задача 5.10.30

Вычислите

I = \int _{\left|z\right|=1} \frac{\cos ^{3}z}{z^{3}} \, dz

где направление интегрирования — против часовой стрелки.

Задача 5.10.31

Пусть $n$ — натуральное число. Вычислите

\int _{0}^{2\pi } \frac{1-\cos n\theta }{1-\cos \theta } \, d\theta .

Задача 5.10.32

Вычислите интегралы

\int _{-\pi }^{\pi } \frac{\sin n\theta }{\sin \theta } \, d\theta , \qquad n = 1, 2, \ldots .

Задача 5.10.33

Для $a > 1$ и $n = 0, 1, 2, \ldots$ , вычислите интегралы

C_{n}(a) = \int _{-\pi }^{\pi } \frac{\cos n\theta }{a-\cos \theta } \, d\theta , \qquad S_{n}(a) = \int _{-\pi }^{\pi } \frac{\sin n\theta }{a-\cos \theta } \, d\theta .

5.11 · Интегралы вдоль вещественной оси[33/100%]

Задача 5.11.1

Пусть комплекснозначные функции $f_{n}$ , $n \in \mathbb {Z}$ , определены на $\mathbb {R}$ формулой

f_{n}(x) = \frac{(x-i)^{n}}{\sqrt{\pi }(x+i)^{n+1}} .

Докажите, что эти функции ортонормированы; то есть

\int _{-\infty }^{\infty } f_{m}(x) \overline{f_{n}(x)} \, dx = \begin{cases} 1 & \text{если } m=n \\ 0 & \text{если } m \neq n. \end{cases}

Задача 5.11.2

Вычислите интеграл

\int _{0}^{\infty } \frac{1-\cos ax}{x^{2}} \, dx

для $a \in \mathbb {R}$ .

Задача 5.11.3

Вычислите интегралы

I(t) = \int _{-\infty }^{\infty } \frac{e^{itx}}{(x+i)^{2}} \, dx , \qquad -\infty < t < \infty .

Задача 5.11.4

Вычислите интегралы

F(t) = \int _{-\infty }^{\infty } \frac{e^{-itx}}{(x+i)^{3}} \, dx , \qquad -\infty < t < \infty .

Задача 5.11.5

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin ^{2}x}{x^{2}} \, dx .

Задача 5.11.6

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin ^{3}x}{x^{3}} \, dx .

Задача 5.11.7

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{x^{3}\sin x}{(1+x^{2})^{2}} \, dx .

Задача 5.11.8

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{x\sin x}{(1+x^{2})^{2}} \, dx .

Задача 5.11.9

Пусть $a$ — положительное вещественное число. Вычислите несобственный интеграл

\int _{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x(x^{2}+a^{2})} \, dx .

Задача 5.11.10

Докажите, что

\lim _{R \to \infty } \int _{-R}^{R} \frac{\sin x}{x-3i} \, dx

существует, и найдите его значение.

Задача 5.11.11

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin x}{x(x-\pi )} \, dx .

Задача 5.11.12

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\cos x}{(1+x^{2})^{3}} \, dx .

Задача 5.11.13

Вычислите интеграл

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\cos kx}{1+x+x^{2}} \, dx

где $k \geq 0$ .

Задача 5.11.14

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\cos \pi x}{4x^{2}-1} \, dx .

Задача 5.11.15

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\cos nx}{x^{4}+1} \, dx .

Задача 5.11.16

Вычислите

\int _{0}^{\infty } \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1} \, dx .

Задача 5.11.17

Вычислите интегралы

I(a) = \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\cos ^{3}x}{a^{2}+x^{2}} \, dx

для $a > 0$ .

Задача 5.11.18

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{x\sin x}{x^{2}+4x+20} \, dx .

Задача 5.11.19

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{x-\sin x}{x^{3}} \, dx .

Задача 5.11.20

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{dx}{(1+x+x^{2})^{2}} .

Задача 5.11.21

Докажите, что

\int _{0}^{\infty } \frac{x^{\alpha -1}}{1+x} \, dx = \frac{\pi }{\sin \pi \alpha } .

Какие ограничения нужно наложить на $\alpha$ ?

Задача 5.11.22

Вычислите интеграл

I = \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{1+x^{2}} .

Задача 5.11.23

Вычислите

\int _{0}^{\infty } \frac{dx}{1+x^{5}} .

Задача 5.11.24

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{dx}{1+x^{2n}}

где $n$ — натуральное число.

Задача 5.11.25

Вычислите $\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{2}}{x^{n}+1} \, dx$ , где $n \geq 4$ — чётное целое число.

Задача 5.11.26

Докажите, что

\int _{0}^{\infty } \frac{x}{e^{x}-e^{-x}} \, dx = \frac{\pi ^{2}}{8} .

Задача 5.11.27

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{e^{-ix}}{x^{2}-2x+4} \, dx .

Задача 5.11.28

Вычислите

\int _{0}^{\infty } \frac{\log x}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} \, dx .

Задача 5.11.29

Вычислите

\int _{0}^{\infty } \frac{\log x}{x^{2}+1} \, dx .

Задача 5.11.30

Вычислите

\int _{-\infty }^{\infty } (\operatorname {sech} x)^{2} \cos \lambda x \, dx

где $\lambda$ — вещественная константа и

\operatorname {sech} x = \frac{2}{e^{x}+e^{-x}} .

Задача 5.11.31

Докажите, что

\int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}} \cos (2bx) \, dx = \frac{\sqrt{\pi }}{2} e^{-b^{2}} .

Какие ограничения, если таковые есть, нужно наложить на $b$ ?

Задача 5.11.32

Вычислите

\int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}} \cos x^{2} \, dx .

Задача 5.11.33

Докажите, что

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{e^{-(t-i\gamma )^{2}/2}}{\sqrt{2\pi }} \, dt

не зависит от вещественного параметра $\gamma$ .