5.2

Ряды и последовательности функций

[19/100%]
Показать
LaTeX
Задача 5.2.1

Покажите, что

(1+z+z2+⋯+z9)(1+z10+z20+⋯+z90)(1+z100+z200+⋯+z900)⋯=11−z (1+z+z^{2}+\cdots +z^{9})(1+z^{10}+z^{20}+\cdots +z^{90})(1+z^{100}+z^{200}+\cdots +z^{900})\cdots = \frac{1}{1-z}

при ∣z∣<1\left|z\right|<1.

?
Задача 5.2.2

Предположим, что коэффициенты степенного ряда

∑n=0∞anzn \sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}

задаются рекуррентным соотношением

a0=1,a1=−1,3an+4an−1−an−2=0,n=2,3,…. a_{0}=1, \quad a_{1}=-1, \quad 3a_{n}+4a_{n-1}-a_{n-2}=0, \quad n=2,3,\ldots .

Найдите радиус сходимости ряда и функцию, к которой он сходится в круге сходимости.

?
Задача 5.2.3

Покажите, что дифференциальное уравнение

f′′(z)=zf(z),f(0)=1,f′(0)=1 f''(z) = zf(z), \qquad f(0)=1, \qquad f'(0)=1

имеет единственное целое решение на комплексной плоскости.

?
Задача 5.2.4

Опишите область на комплексной плоскости, где бесконечный ряд

∑n=1∞1n2exp⁡(nzz−2) \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} \exp \left(\frac{nz}{z-2}\right)

сходится. Нарисуйте эскиз этой области.

?
Задача 5.2.5

Пусть ff — аналитическая функция такая, что

f(z)=1+2z+3z2+⋯при ∣z∣<1. f(z) = 1+2z+3z^{2}+\cdots \quad \text{при } \left|z\right|<1.

Определим последовательность вещественных чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots формулой

f(z)=∑n=0∞an(z+2)n. f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}(z+2)^{n}.

Чему равен радиус сходимости ряда

∑n=0∞anzn? \sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}?
?
Задача 5.2.6

Пусть последовательность a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots определена уравнением

1−x2+x4−x6+⋯=∑n=0∞an(x−3)n(0<x<1). 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}(x-3)^{n} \quad (0<x<1).

Найдите

lim sup⁡n→∞(∣an∣1n). \limsup _{n\to \infty } \left(\left|a_{n}\right|^{\frac{1}{n}}\right).
?
Задача 5.2.7

Предположим, что степенной ряд

∑n=0∞anzn \sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}

сходится при ∣z∣<R\left|z\right|<R, где zz и ana_{n} — комплексные числа. Если bn∈Cb_{n} \in \mathbb {C} таковы, что ∣bn∣<n2∣an∣\left|b_{n}\right| < n^{2}\left|a_{n}\right| для всех nn, докажите, что

∑n=0∞bnzn \sum _{n=0}^{\infty } b_{n} z^{n}

сходится при ∣z∣<R\left|z\right|<R.

?
Задача 5.2.8

Пусть b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — последовательность вещественных чисел такая, что bk≥bk+1b_{k} \geq b_{k+1} для всех kk и lim⁡k→∞bk=0\lim_{k\to \infty } b_{k}=0. Докажите, что степенной ряд ∑k=1∞bkzk\sum_{k=1}^{\infty } b_{k} z^{k} сходится для всех комплексных чисел zz таких, что ∣z∣≤1\left|z\right| \leq 1 и z≠1z \neq 1.

?
Задача 5.2.9

При каких z∈Cz \in \mathbb {C} ряд

∑n=0∞(znn!+n2zn) \sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{z^{n}}{n!} + \frac{n^{2}}{z^{n}}\right)

сходится?

?
Задача 5.2.10

Покажите, что

∑n=0∞z(1+z2)n \sum _{n=0}^{\infty } \frac{z}{(1+z^{2})^{n}}

сходится для всех комплексных чисел zz, лежащих вне лемнискаты

∣1+z2∣=1. \left|1+z^{2}\right| = 1.
?
Задача 5.2.11

Определите комплексные числа zz, для которых степенной ряд

∑n=1∞znnlog⁡n \sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^{n}}{n^{\log n}}

и его почленные производные всех порядков сходятся абсолютно.

?
Задача 5.2.12

Предположим, что

f(z)=∑n=0∞anzn f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}

имеет радиус сходимости R>0R>0. Покажите, что

h(z)=∑n=0∞anznn! h(z) = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{a_{n} z^{n}}{n!}

является целой функцией и что для 0<r<R0<r<R найдётся константа MM такая, что

∣h(z)∣≤Me∣z∣/r. \left|h(z)\right| \leq Me^{\left|z\right|/r}.
?
Задача 5.2.13

Пусть степенной ряд ∑n=0∞cnzn\sum_{n=0}^{\infty } c_{n} z^{n} с положительным радиусом сходимости RR представляет функцию ff в круге ∣z∣<R\left|z\right|<R. Для k=0,1,…k=0,1,\ldots пусть sks_{k} — kk-я частичная сумма ряда sk(z)=∑n=0kcnzns_{k}(z) = \sum_{n=0}^{k} c_{n} z^{n}. Докажите, что

∑k=0∞∣f(z)−sk(z)∣<∞ \sum _{k=0}^{\infty } \left|f(z)-s_{k}(z)\right| < \infty

для каждого zz в круге ∣z∣<R\left|z\right|<R.

?
Задача 5.2.14

Пусть R>1R>1, и пусть ff аналитична при ∣z∣<R\left|z\right|<R, за исключением z=1z=1, где ff имеет простой полюс. Если

f(z)=∑n=0∞anzn(∣z∣<1) f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n} \qquad (\left|z\right|<1)

— ряд Маклорена для ff, покажите, что lim⁡n→∞an\lim_{n\to \infty } a_{n} существует.

?
Задача 5.2.15

Найдите радиус сходимости RR ряда Тейлора вблизи z=1z=1 функции f(z)=1/(1+z2+z4+z6+z8+z10)f(z) = 1/(1+z^{2}+z^{4}+z^{6}+z^{8}+z^{10}). Выразите ответ только через вещественные числа и квадратные корни.

?
Задача 5.2.16

Докажите, что равномерный предел последовательности комплексных аналитических функций является комплексной аналитической функцией. Верна ли аналогичная теорема для вещественных аналитических функций?

?
Задача 5.2.17

Пусть gn(z)g_{n}(z) — целая функция, имеющая только вещественные нули, n=1,2,…n=1,2,\ldots. Предположим, что

lim⁡n→∞gn(z)=g(z) \lim _{n\to \infty } g_{n}(z) = g(z)

равномерно на компактных подмножествах C\mathbb {C}, причём gg не тождественно равна нулю. Докажите, что g(z)g(z) имеет только вещественные нули.

?
Задача 5.2.18

Пусть f,g1,g2,…f, g_{1}, g_{2}, \ldots — целые функции. Предположим, что

?
(1)

∣gn(k)(0)∣≤∣f(k)(0)∣\left|g_{n}^{(k)}(0)\right| \leq \left|f^{(k)}(0)\right| для всех nn и kk;

(2)

lim⁡n→∞gn(k)(0)\lim_{n\to \infty } g_{n}^{(k)}(0) существует для всех kk.

Докажите, что последовательность {gn}\left\{ g_{n}\right\} сходится равномерно на компактных множествах и что её предел является целой функцией.

Задача 5.2.19

Найдите ряд Лорана, сходящийся в кольце 1<∣z∣<21<\left|z\right|<2 к некоторой ветви функции log⁡(z(2−z)1−z)\log \left(\dfrac {z(2-z)}{1-z}\right).

?