Теорема Коши

Вычислите

Вычислите

Пусть $a$ — комплексное число с $\left|a\right| < 1$. Вычислите интеграл

Для $0 < a < b$ вычислите интеграл

Докажите основную теорему алгебры: каждый непостоянный многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

Пусть $f$ непрерывна на $\mathbb {C}$ и аналитична на $\left\{ z \mid \mathrm{Im}\left(z\right) \neq 0\right\}$. Докажите, что $f$ должна быть аналитична на $\mathbb {C}$.

Пусть $f(z)$ — рациональная функция $p(z)/q(z)$, где $p(z)$ и $q(z)$ — ненулевые многочлены с комплексными коэффициентами, такие что степень $p(z)$ меньше степени $q(z)$, и такие что $q(z)$ не имеет комплексных нулей с неотрицательной мнимой частью. Докажите, что если $z_{0}$ — комплексное число с положительной мнимой частью, то

Пусть $f(z) = a_{0} + a_{1} z + \cdots + a_{n} z^{n}$ — комплексный многочлен степени $n > 0$. Докажите

Пусть $f$ — целая функция такая, что

где $k$ — положительное целое число, а $A$ — положительная константа. Докажите, что $f$ является постоянным кратным функции $z^{k}$.

Пусть $f(z) = u(z) + iv(z)$ голоморфна на $\left|z\right| < 1$, $u$ и $v$ вещественны. Покажите, что

при $0 < r < 1$, если $u(0)^{2} = v(0)^{2}$.

Пусть $f : \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ — аналитическая функция такая, что

ограничена для некоторых $k$ и $m$. Докажите, что $d^{n} f / dz^{n}$ тождественно равна нулю при достаточно больших $n$. Насколько большим должно быть $n$, в терминах $k$ и $m$?

Предположим, что $\Omega$ — ограниченная область в $\mathbb {C}$ с границей, состоящей из гладкой жордановой кривой $\gamma$. Пусть $f$ голоморфна в окрестности замыкания $\Omega$, и предположим, что $f(z) \neq 0$ при $z \in \gamma$. Пусть $z_{1}, \ldots , z_{k}$ — нули $f$ в $\Omega$, и пусть $n_{j}$ — порядок нуля $f$ в точке $z_{j}$ (для $j = 1, \ldots , k$).

Пусть $f$ — аналитическая функция на диске $D$ с центром в точке $z_{0}$. Предположим, что $\left|f'(z) - f'(z_{0})\right| < \left|f'(z_{0})\right|$ на $D$. Докажите, что $f$ инъективна на $D$.

Пусть $f(z)$ аналитична в кольце $\Omega = \left\{ 1 < \left|z\right| < 2\right\}$. Предположим, что $f$ не имеет нулей в $\Omega$. Покажите, что существует целое число $n$ и аналитическая функция $g$ в $\Omega$ такие, что для всех $z \in \Omega$, $f(z) = z^{n} e^{g(z)}$.

Определим функцию $f$ на $\mathbb {C} \setminus [0,1]$ как

Докажите, что $f$ аналитична, и найдите её ряд Лорана в окрестности $\infty$.

Пусть функция $f$ аналитична и ограничена в комплексной полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$. Докажите, что для любого положительного вещественного числа $c$ функция $f$ равномерно непрерывна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > c$.