5.10

Теория вычетов

[33/97%]
Показать
LaTeX
Задача 5.10.1

Пусть r1,r2,…,rnr_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n} — различные комплексные числа. Покажите, что рациональную функцию вида

f(z)=b0+b1z+⋯+bn−2zn−2+bn−1zn−1(z−r1)(z−r2)⋯(z−rn) f(z) = \frac{b_{0} + b_{1}z + \cdots + b_{n-2}z^{n-2} + b_{n-1}z^{n-1}}{(z-r_{1})(z-r_{2}) \cdots (z-r_{n})}

можно записать в виде суммы

f(z)=A1z−r1+A2z−r2+⋯+Anz−rn f(z) = \frac{A_{1}}{z-r_{1}} + \frac{A_{2}}{z-r_{2}} + \cdots + \frac{A_{n}}{z-r_{n}}

для подходящих констант A1,…,AnA_{1}, \ldots , A_{n}.

?
Задача 5.10.2

Пусть

cot⁡(πz)=∑n=−∞∞anzn \cot (\pi z) = \sum _{n=-\infty }^{\infty } a_{n}z^{n}

— разложение Лорана для cot⁡(πz)\cot (\pi z) на кольце 1<∣z∣<21 < \left|z\right| < 2. Вычислите ana_{n}.

?
Задача 5.10.3

Покажите, что существует комплексная аналитическая функция, определённая на множестве U={z∈C∣∣z∣>4}U = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right| > 4\right\}, производная которой равна

z(z−1)(z−2)(z−3). \frac{z}{(z-1)(z-2)(z-3)} .

Существует ли комплексная аналитическая функция на UU, производная которой равна

z2(z−1)(z−2)(z−3) ? \frac{z^{2}}{(z-1)(z-2)(z-3)} \ ?
?
Задача 5.10.4

Пусть nn — положительное целое число. Докажите, что многочлен

f(x)=1+x+x22!+⋯+xmm! f(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{m}}{m!}

в Rx\mathbb {R}^{x} имеет nn различных комплексных нулей, z1,z2,…,znz_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, и что они удовлетворяют

∑i=1nzik=0для 0≤k≤n−2. \sum _{i=1}^{n} z_{i}^{k} = 0 \qquad \text{для } 0 \leq k \leq n-2 .
?
Задача 5.10.5

Пусть PP и QQ — комплексные многочлены, причём степень QQ по крайней мере на два больше степени PP. Докажите, что существует r>0r > 0 такое, что если CC — замкнутая кривая вне ∣z∣=r\left|z\right| = r, то

∫CP(z)Q(z) dz=0. \int _{C} \frac{P(z)}{Q(z)} \, dz = 0 .
?
Задача 5.10.6

Докажите, что для любого фиксированного комплексного числа ζ\zeta,

∑n=0∞1(n!)2(ζ2)2n=12π∫02πe2ζcos⁡θ dθ. \sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{(n!)^{2}} \left(\frac{\zeta }{2}\right)^{2n} = \frac{1}{2\pi } \int _{0}^{2\pi } e^{2\zeta \cos \theta } \, d\theta .
?
Задача 5.10.7

Вычислите интеграл

I=12πi∫∣z∣=1(z+2)2z2(2z−1) dz I = \frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=1} \frac{(z+2)^{2}}{z^{2}(2z-1)} \, dz

где направление интегрирования — против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.8

Пусть a>0a > 0 — константа ≠2\neq 2. Пусть CaC_{a} обозначает положительно ориентированную окружность радиуса aa с центром в начале координат. Вычислите

∫Caz2+ezz2(z−2) dz. \int _{C_{a}} \frac{z^{2}+e^{z}}{z^{2}(z-2)} \, dz .
?
Задача 5.10.9

Пусть rr — положительное число, а aa — комплексное число такое, что ∣a∣≠r\left|a\right| \neq r. Вычислите интеграл

I(a,r)=∫∣z∣=rz‾a−z dz I(a,r) = \int _{\left|z\right|=r} \frac{\overline{z}}{a-z} \, dz

где окружность ∣z∣=r\left|z\right| = r ориентирована против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.10

Пусть CC обозначает положительно ориентированную окружность ∣z∣=2\left|z\right| = 2, z∈Cz \in \mathbb {C}. Вычислите интеграл

∫Cz2−1 dz \int _{C} \sqrt{z^{2}-1} \, dz

где ветвь квадратного корня выбрана так, что 4−1>0\sqrt{4} - 1 > 0.

?
Задача 5.10.11

Вычислите интеграл

I=12πi∫∣z∣=11sin⁡4z dz I = \frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=1} \frac{1}{\sin 4z} \, dz

где направление интегрирования — против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.12

Вычислите интегралы

In=12πi∫Cn1z3sin⁡z dz,n=0,1,…, I_{n} = \frac{1}{2\pi i} \int _{C_{n}} \frac{1}{z^{3} \sin z} \, dz, \qquad n = 0, 1, \ldots ,

где CnC_{n} — окружность ∣z∣=(n+12)π\left|z\right| = (n+\frac{1}{2})\pi с ориентацией против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.13

Вычислите

12πi∫Cdzsin⁡1z \frac{1}{2\pi i} \int _{C} \frac{dz}{\sin \frac{1}{z}}

где CC — окружность ∣z∣=15\left|z\right| = \frac{1}{5}, положительно ориентированная.

?
Задача 5.10.14
?
(1)

Покажите, что существует единственная аналитическая ветвь вне единичной окружности функции f(z)=z2+z+1f(z) = \sqrt{z^{2}+z+1} такая, что f(t)f(t) положительна при t>1t > 1.

(2)

Используя ветвь, определённую в части 1, вычислите интеграл

12πi∫Crdzz2+z+1 \frac{1}{2\pi i} \int _{C_{r}} \frac{dz}{\sqrt{z^{2}+z+1}}

где CrC_{r} — положительно ориентированная окружность ∣z∣=r\left|z\right| = r и r>1r > 1.

Задача 5.10.15

Пусть CC — простой замкнутый контур, охватывающий точки 0,1,2,…,k0, 1, 2, \ldots , k на комплексной плоскости, с положительной ориентацией. Вычислите интегралы

Ik=∫Cdzz(z−1)⋯(z−k),k=0,1,…, I_{k} = \int _{C} \frac{dz}{z(z-1) \cdots (z-k)}, \qquad k = 0, 1, \ldots , Jk=∫C(z−1)⋯(z−k)z dz,k=0,1,…. J_{k} = \int _{C} \frac{(z-1) \cdots (z-k)}{z} \, dz, \qquad k = 0, 1, \ldots .
?
Задача 5.10.16

Вычислите

∫∣z∣=1(e2πz+1)−2 dz \int _{\left|z\right|=1} (e^{2\pi z}+1)^{-2} \, dz

где интеграл берётся в направлении против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.17

Вычислите

12πi∫∣z∣=1z1112z12−4z9+2z6−4z3+1 dz \frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=1} \frac{z^{11}}{12z^{12} - 4z^{9} + 2z^{6} - 4z^{3} + 1} \, dz

где направление интегрирования — против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.18

Вычислите

∫C(2z−1)ez/(z−1) dz \int _{C} (2z-1) e^{z/(z-1)} \, dz

где CC — окружность ∣z∣=2\left|z\right| = 2 с ориентацией против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.19

Вычислите интеграл

I=12πi∫Cdz(z−2)(1+2z)2(1−3z)3 I = \frac{1}{2\pi i} \int _{C} \frac{dz}{(z-2)(1+2z)^{2}(1-3z)^{3}}

где CC — окружность ∣z∣=1\left|z\right| = 1 с ориентацией против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.20

Вычислите

I=12πi∫C13zn−1 dz, I = \frac{1}{2\pi i} \int _{C} \frac{1}{3z^{n}-1} \, dz ,

где nn — положительное целое число, а CC — окружность ∣z∣=1\left|z\right| = 1 с ориентацией против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.21

Вычислите

∫Cezz(2z+1)2 dz, \int _{C} \frac{e^{z}}{z(2z+1)^{2}} \, dz ,

где CC — единичная окружность с ориентацией против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.22

Пусть a=1+i2a = \dfrac {1+i}{2}, b=−1+i2b = \dfrac {-1+i}{2}. Пусть Γ\Gamma — ломаная в комплексной плоскости с последовательными вершинами −1,−1+i,1,1+i,−1-1, -1+i, 1, 1+i, -1. Вычислите интеграл

I=∫Γ1(z−a)2(z−b)3 dz. I = \int _{\Gamma } \frac{1}{(z-a)^{2}(z-b)^{3}} \, dz .
?
Задача 5.10.23

Вычислите интеграл 12πi∫γf(z) dz\dfrac {1}{2\pi i} \int_{\gamma } f(z) \, dz для функции f(z)=z−2(1−z2)−1ezf(z) = z^{-2}(1-z^{2})^{-1}e^{z} и кривой γ\gamma, изображённой на рисунке {#fig-1 width="60%"} кривой, которая начинается как большая петля, охватывающая −1-1 и 00, пересекает саму себя, а затем продолжается как малая петля, охватывающая только 11, так что её суммарные индексы вращения относительно −1-1, 00, 11 таковы, как видно по рисунку.

?
Задача 5.10.24

Вычислите

∫Cez−1z2(z−1) dz \int _{C} \frac{e^{z}-1}{z^{2}(z-1)} \, dz

где CC — замкнутая кривая, показанная ниже: {#fig-1 width="60%"} кривая в форме восьмёрки, которая дважды, в отрицательном направлении, обходит малую петлю, охватывающую 00, и дважды, в положительном направлении, обходит петлю, охватывающую 11.

?
Задача 5.10.25

Пусть nn — натуральное число и 0<θ<π0 < \theta < \pi. Докажите, что

12πi∫∣z∣=2zn1−2zcos⁡θ+z2 dz=sin⁡nθsin⁡θ \frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=2} \frac{z^{n}}{1-2z\cos \theta +z^{2}} \, dz = \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }

где окружность ∣z∣=2\left|z\right| = 2 ориентирована против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.26

Используя теорему о вычетах, вычислите интеграл

I(a)=∫02πdθa+cos⁡θ I(a) = \int _{0}^{2\pi } \frac{d\theta }{a+\cos \theta }

где aa вещественно и a>1a > 1. Почему формула, полученная для I(a)I(a), также верна для некоторых комплексных (не вещественных) значений aa?

?
Задача 5.10.27

Вычислите

∫02πdθ1−2rcos⁡θ+r2 \int _{0}^{2\pi } \frac{d\theta }{1-2r\cos \theta +r^{2}}

где r2≠1r^{2} \neq 1.

?
Задача 5.10.28

Вычислите

∫0πcos⁡4θ1+cos⁡2θ dθ. \int _{0}^{\pi } \frac{\cos 4\theta }{1+\cos ^{2}\theta } \, d\theta .
?
Задача 5.10.29

Вычислите интеграл

∫02πcos⁡23θ5−4cos⁡2θ dθ \int _{0}^{2\pi } \frac{\cos ^{2}3\theta }{5-4\cos 2\theta } \, d\theta
?
Задача 5.10.30

Вычислите

I=∫∣z∣=1cos⁡3zz3 dz I = \int _{\left|z\right|=1} \frac{\cos ^{3}z}{z^{3}} \, dz

где направление интегрирования — против часовой стрелки.

?
Задача 5.10.31

Пусть nn — натуральное число. Вычислите

∫02π1−cos⁡nθ1−cos⁡θ dθ. \int _{0}^{2\pi } \frac{1-\cos n\theta }{1-\cos \theta } \, d\theta .
?
Задача 5.10.32

Вычислите интегралы

∫−ππsin⁡nθsin⁡θ dθ,n=1,2,…. \int _{-\pi }^{\pi } \frac{\sin n\theta }{\sin \theta } \, d\theta , \qquad n = 1, 2, \ldots .
?
Задача 5.10.33

Для a>1a > 1 и n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots, вычислите интегралы

Cn(a)=∫−ππcos⁡nθa−cos⁡θ dθ,Sn(a)=∫−ππsin⁡nθa−cos⁡θ dθ. C_{n}(a) = \int _{-\pi }^{\pi } \frac{\cos n\theta }{a-\cos \theta } \, d\theta , \qquad S_{n}(a) = \int _{-\pi }^{\pi } \frac{\sin n\theta }{a-\cos \theta } \, d\theta .
?