Функции на единичном круге

Пусть $\alpha$ — число из $(0, \pi /2)$. Докажите, что функция $f(z) = e^{-1/z}$ равномерно непрерывна на $S_{\alpha } = \left\{ z \mid 0<\left|z\right| \leq 1, \left|\operatorname {Arg} z\right| \leq \alpha \right\}$, секторе комплексной плоскости.

Пусть $a$ и $b$ — ненулевые комплексные числа, и $f(z) = az+bz^{-1}$. Определите образ единичной окружности $\left\{ z \mid \left|z\right| = 1\right\}$ при отображении $f$.

Пусть $f$ аналитична на и внутри единичной окружности $C = \left\{ z \mid \left|z\right| = 1\right\}$. Пусть $L$ — длина образа $C$ при отображении $f$. Покажите, что $L \geq 2\pi \left|f'(0)\right|$.

Пусть

аналитична в круге $\mathbb {D} = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right|<1\right\}$. Предположим, что $f$ отображает $\mathbb {D}$ взаимно однозначно на область $G$ площади $A$. Докажите, что

Вычислите площадь образа единичного круга $\left\{ z \mid \left|z\right|<1\right\}$ при отображении $f(z) = z+z^{2}/2$.

Пусть

— аналитическая функция в открытом единичном круге $\mathbb {D}$. Предположим, что

Докажите, что $f$ инъективна.

Пусть $f(z)$ — функция, аналитическая в единичном круге $\mathbb {D} = \left\{ \left|z\right|<1\right\}$. Предположим, что $\left|f(z)\right| \leq 1$ в $\mathbb {D}$. Докажите, что если $f(z)$ имеет по крайней мере две неподвижные точки $z_{1}$ и $z_{2}$, то $f(z) = z$ для всех $z \in \mathbb {D}$.

Для каждого $k>0$ пусть $X_{k}$ — множество аналитических функций $f(z)$ на открытом единичном круге $\mathbb {D}$, таких что

конечен. Показать, что $f \in X_{k}$ тогда и только тогда, когда $f' \in X_{k+1}$.

Пусть функция $f$ аналитична в открытом единичном круге комплексной плоскости и вещественнозначна на радиусах $[0,1]$ и $[0, e^{i\pi \sqrt{2}}]$. Доказать, что $f$ постоянна.

Пусть функция $f$ аналитична в круге $\left|z\right|<1$ комплексной плоскости. Предположим, что существует положительная константа $M$, такая что

Доказать, что

Пусть $h(z)$ аналитична на всей плоскости, $h(0) = 3+4i$ и $\left|h(z)\right| \leq 5$ при $\left|z\right|<1$. Чему равно $h'(0)$?

Пусть $f$ аналитична в замкнутом единичном круге, причём $f(-\log 2) = 0$ и $\left|f(z)\right| \leq \left|e^{z}\right|$ для всех $z$ с $\left|z\right| = 1$. Насколько большим может быть $\left|f(\log 2)\right|$?

Предположим, что $f$ аналитична на открытой верхней полуплоскости и удовлетворяет $\left|f(z)\right| \leq 1$ для всех $z$, $f(i) = 0$. Насколько большим может быть $\left|f(2i)\right|$ при этих условиях?

Пусть $f(z)$ аналитична на правой полуплоскости $H = \left\{ z \mid \mathrm{Re}\left(z\right)>0\right\}$ и $\left|f(z)\right| \leq 1$ для $z \in H$. Предположим также, что $f(1) = 0$. Каково наибольшее возможное значение $\left|f'(1)\right|$?

Пусть $f(z)$ аналитична на открытом единичном круге $\mathbb {D} = \left\{ z \mid \left|z\right|<1\right\}$. Доказать, что существует последовательность $(z_{n})$ в $\mathbb {D}$, такая что $\left|z_{n}\right| \to 1$ и $(f(z_{n}))$ ограничена.

Пусть $f$ — аналитическая функция в единичном круге, $\left|z\right|<1$.

Пусть $f$ — голоморфное отображение единичного круга $\mathbb {D} = \left\{ z \mid \left|z\right|<1\right\}$ в себя, не являющееся тождественным отображением $f(z) = z$. Показать, что $f$ может иметь не более одной неподвижной точки.

Если $f(z)$ аналитична в открытом круге $\left|z\right|<1$ и $\left|f(z)\right| \leq 1/(1-\left|z\right|)$, показать, что

Пусть функция $f$ аналитична в единичном круге, причём $\left|f(z)\right| \leq 1$ и $f(0) = 0$. Предположим, что существует число $r$ в $(0,1)$, такое что $f(r) = f(-r) = 0$. Доказать, что

Пусть $f(z)$ — аналитическая функция, отображающая открытый круг $\left|z\right|<1$ в себя. Показать, что $\left|f'(z)\right| \leq 1/(1-\left|z\right|^{2})$.

Пусть $f$ — аналитическая функция в открытом единичном круге комплексной плоскости, такая что $\left|f(z)\right| \leq C/(1-\left|z\right|)$ для всех $z$ в круге, где $C$ — положительная константа. Доказать, что $\left|f'(z)\right| \leq 4C/(1-\left|z\right|)^{2}$.