Аналитические и мероморфные функции

Пусть $f = u+iv$ аналитична на связном открытом множестве $D$, где $u$ и $v$ вещественнозначны. Предположим, что существуют вещественные константы $a$, $b$ и $c$, такие что $a^{2}+b^{2} \neq 0$ и

на $D$. Показать, что $f$ постоянна на $D$.

Верно или нет: функция $f(z)$, аналитическая на $\left|z-a\right|<r$ и непрерывная на $\left|z-a\right| \leq r$, продолжается при некотором $\delta >0$ до функции, аналитической на $\left|z-a\right|<r+\delta$? Дать доказательство или контрпример.

Существуют ли функции $f(z)$ и $g(z)$, аналитические в точке $z = 0$ и удовлетворяющие

Пусть $k$ — целое число, большее $1$. Найти все целые функции $f$, удовлетворяющие $f(z^{k}) = (f(z))^{k}$.

Пусть $F$ — многочлен над $\mathbb {C}$ положительной степени $d$, и пусть $S$ — множество его нулей. Доказать, что всякую рациональную функцию $R$, все конечные полюсы которой лежат в $S$, можно единственным образом записать в виде

где $m$ и $n$ — целые числа, $m \leq n$, а $a_{k}$ — многочлены степени меньше $d$.

Пусть $A = \left\{ 0\right\} \cup \left\{ 1/n \mid n \in \mathbb {Z}, n>1\right\}$, и пусть $\mathbb {D}$ — открытый единичный круг комплексной плоскости. Доказать, что всякая ограниченная голоморфная функция на $\mathbb {D} \setminus A$ продолжается до голоморфной функции на $\mathbb {D}$.

Пусть $U$ — связное и односвязное открытое подмножество комплексной плоскости, и пусть $f$ — голоморфная функция на $U$. Предположим, что $a$ — точка $U$, такая что ряд Тейлора $f$ в точке $a$ сходится на открытом круге $D$, пересекающемся с дополнением $U$. Следует ли отсюда, что $f$ продолжается до голоморфной функции на $U \cup D$? Дать доказательство или контрпример.

Пусть $f : \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ — непостоянная целая функция. Доказать, что $f(\mathbb {C})$ плотно в $\mathbb {C}$.

Пусть $L$ — прямая в $\mathbb {C}$, и пусть $f$ — целая функция, такая что $f(\mathbb {C}) \cap L = \emptyset$. Доказать, что $f$ постоянна. (Не используйте теорему Пикара о том, что образ непостоянной целой функции пропускает не более одного комплексного числа.)

Пусть $s(y)$ и $t(y)$ — вещественные дифференцируемые функции от $y$, $-\infty <y<\infty$, такие что комплексная функция

комплексно аналитична, причём $s(0) = 1$ и $t(0) = 0$. Найти $s(y)$ и $t(y)$.

Найти все комплексные аналитические функции $f$, определённые на единичном круге $\mathbb {D}$ и удовлетворяющие

при $n = 2, 3, 4, \ldots$.

Предположим, что непостоянная целая функция $f$ принимает вещественные значения на двух пересекающихся прямых на комплексной плоскости. Доказать, что мера каждого из углов, образованных этими прямыми, является рациональным кратным $\pi$.

Пусть $\Omega$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^{2}$, и пусть $f : \Omega \to \mathbb {R}^{2}$ — гладкое отображение. Предположим, что $f$ сохраняет ориентацию и переводит любую пару ортогональных кривых в пару ортогональных кривых. Показать, что $f$ голоморфна.

Замечание: здесь мы отождествляем $\mathbb {R}^{2}$ с $\mathbb {C}$.

Пусть $f$ — комплекснозначная функция на открытом единичном круге $\mathbb {D}$ комплексной плоскости, такая что функции $g = f^{2}$ и $h = f^{3}$ обе аналитичны. Доказать, что $f$ аналитична на $\mathbb {D}$.

Доказать или привести контрпример: если $f$ — непрерывная комплекснозначная функция, определённая на связном открытом подмножестве комплексной плоскости, и если $f^{2}$ аналитична, то $f$ аналитична.

Пусть функция $f$ аналитична в области $\left|z\right|>1$ комплексной плоскости. Доказать, что если $f$ вещественнозначна на интервале $(1, \infty )$ вещественной оси, то $f$ вещественнозначна и на интервале $(-\infty , -1)$.

Пусть функция $f$ аналитична на комплексной плоскости, вещественна на вещественной оси, равна $0$ в начале координат и не тождественно равна $0$. Доказать, что если $f$ переводит мнимую ось в прямую линию, то эта прямая должна быть либо вещественной, либо мнимой осью.

Пусть целая функция $f$ вещественнозначна на прямых $\mathrm{Im}\left(z\right) = 0$ и $\mathrm{Im}\left(z\right) = \pi$. Доказать, что $f$ имеет $2\pi i$ в качестве периода: $f(z+2\pi i) = f(z)$ для всех $z$.

Пусть $f(z)$ аналитична при $z \neq 0$, и предположим, что $f(1/z) = f(z)$. Предположим также, что $f(z)$ вещественна для всех $z$ на единичной окружности $\left|z\right| = 1$. Доказать, что $f(z)$ вещественна для всех вещественных $z \neq 0$.

Пусть $p$ — непостоянный комплексный многочлен, все нули которого лежат в полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$.

Пусть $f$ — аналитическая функция на связном открытом подмножестве $G$ комплексной плоскости. Предположим, что для каждой точки $z$ в $G$ найдётся натуральное $n$, такое что $n$-я производная $f$ обращается в нуль в $z$. Доказать, что $f$ — многочлен.

Пусть функция $f$ аналитична во всей комплексной плоскости, вещественнозначна на вещественной оси и имеет положительную мнимую часть в верхней полуплоскости. Докажите, что $f'(x)>0$ для вещественных $x$.

Пусть $f = u+iv$ и $g = p+iq$ — аналитические функции, определённые в окрестности начала координат комплексной плоскости. Предположим, что $\left|g'(0)\right|<\left|f'(0)\right|$. Докажите, что существует окрестность начала координат, в которой функция $h = f+\overline{g}$ инъективна.

Докажите или опровергните: если функция $f$ аналитична во всей комплексной плоскости и если $f$ отображает каждую неограниченную последовательность в неограниченную последовательность, то $f$ является многочленом.

Определите группу $\operatorname {Aut}(\mathbb {C})$ всех биективных аналитических отображений $\mathbb {C}$ на $\mathbb {C}$.

Пусть $f(z)$ — непостоянная мероморфная функция. Комплексное число $w$ называется периодом $f$, если $f(z+w) = f(z)$ для всех $z$.

Пусть функция $f$ аналитична в проколотом диске $0<\left|z\right|<r_{0}$, с рядом Лорана

Предположим, что существует положительное число $M$ такое, что

Докажите, что $c_{n} = 0$ при $n<-2$.

Пусть $a>0$. Покажите, что комплексная функция

удовлетворяет $\left|f(z)\right|<1$ для всех $z$ в открытой левой полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right)<0$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $[0,1]$, и пусть функция $h$ на комплексной плоскости определена как

Пусть $f$ — непрерывная комплекснозначная функция на $[0,1]$, и определим функцию $g$ как

Докажите, что $g$ аналитична во всей комплексной плоскости.

Пусть $f$ и $g$ — аналитические функции в открытом единичном диске, и пусть $C_{r}$ обозначает окружность с центром $0$ и радиусом $r$, ориентированную против часовой стрелки.

Пусть $F$ — непрерывная комплекснозначная функция на интервале $[0,1]$. Пусть

для $z$ — комплексного числа, не принадлежащего $[0,1]$.

Пусть $f(z)$ — мероморфная функция на комплексной плоскости. Предположим, что для каждого многочлена $p(z) \in \mathbb {C}^{z}$ и каждого замкнутого контура $\Gamma$, избегающего полюсов $f$, выполняется

Докажите, что $f(z)$ является целой функцией.