Банк задач по математике

Задача 5.9.1

Пусть $u : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}$ — функция, заданная формулой $u(x,y) = x^{3} - 3xy^{2}$ . Покажите, что $u$ гармонична, и найдите $v : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}$ такую, что функция $f : \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ , заданная формулой

f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)

аналитична.

?

Задача 5.9.2

Пусть $f(z)$ — аналитическая функция, определённая при $\left|z\right| \leq 1$ , и пусть

u(x,y) = \mathrm{Re}\left(f(z)\right), \qquad z = x+iy .

Докажите, что

\int _{C} \frac{\partial u}{\partial y} \, dx - \frac{\partial u}{\partial x} \, dy = 0

где $C$ — единичная окружность, $x^{2}+y^{2} = 1$ .

?

Задача 5.9.3

(1)(2)

?

(1)

Пусть $f$ — комплексная функция, аналитическая в открытом множестве, содержащем круг $\left|z\right| \leq 1$ , и принимающая вещественные значения на единичной окружности. Докажите, что $f$ постоянна.

(2)

Найдите непостоянную функцию, аналитическую в каждой точке комплексной плоскости, кроме одной точки на единичной окружности $\left|z\right| = 1$ , и принимающую вещественные значения в каждой другой точке единичной окружности.

Задача 5.9.4

Пусть $s$ — вещественное число, и пусть функция $u$ определена на $\mathbb {C} \setminus (-\infty , 0]$ формулой

u(re^{i\theta }) = r^{s} \cos s\theta \qquad (r > 0, \ -\pi < \theta < \pi ) .

Докажите, что $u$ — гармоническая функция.

?

Задача 5.9.5

Пусть $u$ — положительная гармоническая функция на $\mathbb {R}^{2}$ ; то есть

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 .

Покажите, что $u$ постоянна.

?

Задача 5.9.6

Пусть $u$ — вещественнозначная гармоническая функция на комплексной плоскости такая, что

u(z) \leq a\left|\log \left|z\right|\right| + b

для всех $z$ , где $a$ и $b$ — положительные константы. Докажите, что $u$ постоянна.

?

Задача 5.9.7

Пусть $D = \left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| \leq 1\right\} \setminus \left\{ 1,-1\right\}$ . Найдите явную непрерывную функцию $f : D \to \mathbb {R}$ , удовлетворяющую всем следующим условиям:

$f$ гармонична во внутренности $D$ (открытом единичном круге),
$f(z) = 1$ , когда $\left|z\right| = 1$ и $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$ , и
$f(z) = -1$ , когда $\left|z\right| = 1$ и $\mathrm{Im}\left(z\right) < 0$ .

?

Гармонические функции