Нули и особые точки

Пусть $\mathbb {C}^{3}$ обозначает множество упорядоченных троек комплексных чисел. Определим отображение $F : \mathbb {C}^{3} \to \mathbb {C}^{3}$ как

Докажите, что $F$ сюръективно, но не инъективно.

Докажите, что многочлен

имеет хотя бы один корень в диске $\left|z\right| < 1$.

Предположим, что $f$ аналитична внутри и на единичной окружности $\left|z\right| = 1$ и удовлетворяет $\left|f(z)\right| < 1$ при $\left|z\right| = 1$. Покажите, что уравнение $f(z) = z^{3}$ имеет ровно три решения (с учётом кратностей) внутри единичной окружности.

Сколько нулей имеет комплексный многочлен

в кольце $1 < \left|z\right| < 2$?

Рассмотрим многочлен

Сколько нулей (с учётом кратностей) имеет $p$ в кольцевой области $1 < \left|z\right| < 2$?

Найдите число корней уравнения

которые лежат между двумя окружностями $\left|z\right| = 1$ и $\left|z\right| = 2$.

Пусть $\varepsilon$ — положительное число. Докажите, что многочлен $p(z) = \varepsilon z^{3} - z^{2} - 1$ имеет ровно два корня в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) < 0$.

Пусть $r < 1 < R$. Покажите, что для всех достаточно малых $\varepsilon > 0$ многочлен

имеет ровно пять корней (с учётом их кратностей) внутри кольца

Пусть матричная функция $A$ размера $3 \times 3$ определена на комплексной плоскости как

Сколько существует различных значений $z$ таких, что $\left|z\right| < 1$ и $A(z)$ необратима?

Сколько корней имеет многочлен $z^{4} + 3z^{2} + z + 1$ в правой половине $z$-плоскости?

Докажите, что если непостоянный многочлен $p(z)$ с комплексными коэффициентами имеет все свои корни в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$, то все корни его производной находятся в той же полуплоскости.

Пусть $f$ — непостоянная целая функция, значения которой на вещественной оси вещественны и неотрицательны. Докажите, что все вещественные нули $f$ имеют чётный порядок.

Пусть $p$ — непостоянный многочлен с вещественными коэффициентами, все корни которого вещественны. Докажите, что для каждого вещественного числа $r$ многочлен $p - rp'$ имеет только вещественные корни.

Докажите, что если $1 < \lambda < \infty$, то функция

имеет ровно один нуль в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) < 0$, и что этот нуль вещественный.

Докажите, что при любом $\lambda > 1$ уравнение $ze^{\lambda -z} = 1$ имеет ровно один корень в круге $\left|z\right| < 1$, и что этот корень вещественный.

Докажите, что для любого $a \in \mathbb {C}$ и любого целого $n \geq 2$ уравнение $1 + z + az^{n} = 0$ имеет хотя бы один корень в круге $\left|z\right| \leq 2$.

Докажите, что многочлен $z^{4} + z^{3} + 1$ имеет ровно один корень в квадранте $\left\{ z = x+iy \mid x,y > 0\right\}$.

Пусть $f$ аналитична в открытом множестве, содержащем замкнутый единичный круг. Предположим, что $\left|f(z)\right| > m$ при $\left|z\right| = 1$ и $\left|f(0)\right| < m$. Докажите, что $f(z)$ имеет хотя бы один нуль в открытом единичном круге $\left|z\right| < 1$.

Пусть $0 < a_{0} \leq a_{1} \leq \cdots \leq a_{n}$. Докажите, что уравнение

не имеет корней в круге $\left|z\right| < 1$.

Покажите, что многочлен $p(z) = z^{5} - 6z + 3$ имеет пять различных комплексных корней, из которых ровно три (а не пять) вещественны.

Пусть $c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n-1}$ — комплексные числа. Докажите, что все нули многочлена

лежат в открытом круге с центром $0$ и радиусом

Пусть $P(x)$ — многочлен с вещественными коэффициентами и старшим коэффициентом $1$. Предположим, что $P(0) = -1$ и что $P(x)$ не имеет комплексных нулей внутри единичной окружности. Докажите, что $P(1) = 0$.

Докажите, что число корней уравнения $z^{2n} + \alpha^{2}z^{2n-1} + \beta^{2} = 0$ ($n$ — натуральное число, $\alpha$ и $\beta$ вещественны и ненулевые), имеющих положительную вещественную часть, равно

Пусть $\rho > 0$. Покажите, что при достаточно большом $n$ все нули

лежат в круге $\left|z\right| < \rho$.

Имеют ли функции $f(z) = e^{z} + z$ и $g(z) = ze^{z} + 1$ одинаковое число нулей в полосе $-\frac{\pi }{2} < \mathrm{Im}\left(z\right) < \frac{\pi }{2}$?

Пусть $a$ — комплексное число, а $\varepsilon$ — положительное число. Докажите, что функция $f(z) = \sin z + \dfrac {1}{z-a}$ имеет бесконечно много нулей в полосе $\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| < \varepsilon$.

Предположим, что $f$ голоморфна в некоторой окрестности точки $a$ на комплексной плоскости. Докажите, что либо $f$ постоянна в некоторой окрестности $a$, либо существуют целое число $n > 0$ и вещественные числа $\delta , \varepsilon > 0$ такие, что для каждого комплексного числа $b$, удовлетворяющего $0 < \left|b-f(a)\right| < \varepsilon$, уравнение $f(z) = b$ имеет ровно $n$ корней в $\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z-a\right| < \delta \right\}$.

Пусть $\hat{a}_{0} + \hat{a}_{1}z + \cdots + \hat{a}_{n}z^{n}$ — многочлен, имеющий $\hat{z}$ своим простым корнем. Покажите, что существует непрерывная функция $r : U \to \mathbb {C}$, где $U$ — окрестность точки $(\hat{a}_{0}, \ldots , \hat{a}_{n})$ в $\mathbb {C}^{n+1}$, такая что $r(a_{0}, \ldots , a_{n})$ всегда является корнем $a_{0} + a_{1}z + \cdots + a_{n}z^{n}$, и $r(\hat{a}_{0}, \ldots , \hat{a}_{n}) = \hat{z}$.

Пусть

где все $a_{n}$ — неотрицательные вещественные числа, а ряд имеет радиус сходимости $1$. Докажите, что $f(z)$ нельзя аналитически продолжить до функции, аналитической в окрестности точки $z = 1$.

Пусть $f$ — мероморфная на $\mathbb {C}$ функция, аналитическая в окрестности $0$. Пусть её ряд Маклорена имеет вид

со всеми $a_{k} \geq 0$. Предположим, что существует полюс модуля $r > 0$ и нет полюса модуля $< r$. Докажите, что существует полюс в точке $z = r$.

Определите, без излишних вычислений, существует ли конечный предел

где $z$ — комплексная переменная, и если да, вычислите этот предел.

Пусть $f$ и $g$ — целые функции такие, что $\lim_{z \to \infty } f(g(z)) = \infty$. Докажите, что $f$ и $g$ — многочлены.

Пусть $z_{1}, \ldots , z_{n}$ — различные комплексные числа, и пусть $a_{1}, \ldots , a_{n}$ — ненулевые комплексные числа такие, что $S_{p} = \sum_{j=1}^{n} a_{j}z_{j}^{p} = 0$ при $p = 0, 1, \ldots , m-1$, но $S_{m} \neq 0$. Здесь $1 \leq m \leq n-1$. Сколько нулей имеет рациональная функция $f(z) = \sum_{j=1}^{n} \dfrac {a_{j}}{z-z_{j}}$ на $\mathbb {C}$? Почему невозможно $m \geq n$.