Конформные отображения

Рассмотрим следующие четыре типа преобразований:

Здесь $z$ — переменное комплексное число, а остальные буквы обозначают постоянные комплексные числа. Покажите, что каждое преобразование переводит окружности либо в окружности, либо в прямые.

Приведите примеры конформных отображений, а именно:

Дробно-линейное преобразование переводит кольцо $r<\left|z\right|<1$ (где $r>0$) в область, ограниченную двумя окружностями $\left|z-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4}$ и $\left|z\right| = 1$. Найдите $r$.

Существует ли аналитическая функция, отображающая кольцо

на кольцо

и переводящая $C_{1} \to C_{1}$, $C_{4} \to C_{2}$, где $C_{r}$ — окружность радиуса $r$?

Предъявите конформное отображение из $\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right|<1, \mathrm{Re}\left(z\right)>0\right\}$ на $\mathbb {D} = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right|<1\right\}$.

Найдите взаимно однозначное конформное отображение полукруга

на верхнюю полуплоскость.

Конформно отобразите область внутри круга $\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z-1\right| \leq 1\right\}$ и вне круга $\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{1}{2}\right\}$ на верхнюю полуплоскость.

Докажите, что не существует взаимно однозначного конформного отображения проколотого круга $G = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid 0<\left|z\right|<1\right\}$ на кольцо $A = \left\{ z \in \mathbb {C} \mid 1<\left|z\right|<2\right\}$.

Пусть $n$ — положительное целое число. Найдите группу дробно-линейных преобразований $\mathbb {C}$, которая фиксирует две точки $z = 1$ и $z = -1$ и имеет порядок $n$.