Комплексные числа

Если $a$ и $b$ — комплексные числа и $a \neq 0$, множество $a^{b}$ состоит из тех комплексных чисел $c$, которые имеют логарифм вида $b\alpha$ для некоторого логарифма $\alpha$ числа $a$. (То есть $e^{b\alpha } = c$ и $e^{\alpha } = a$ для некоторого комплексного числа $\alpha$.) Опишите множество $a^{b}$ при $a = 1$ и $b = 1/3+i$.

Запишите все значения $i^{i}$ в виде $a+bi$.

Покажите, что необходимым и достаточным условием того, что три точки $a$, $b$ и $c$ на комплексной плоскости образуют равносторонний треугольник, является равенство

Пусть точки $a$, $b$ и $c$ лежат на единичной окружности комплексной плоскости и удовлетворяют $a+b+c = 0$. Докажите, что $a$, $b$ и $c$ образуют вершины равностороннего треугольника.

Докажите, что для каждого целого $n \geq 0$ существует многочлен $T_{n}(x)$ с целыми коэффициентами, для которого тождество

выполняется при всех $z$.

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — комплексные числа. Докажите, что существует подмножество $J \subset \left\{ 1,2,\ldots ,n\right\}$ такое, что

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — комплексные числа. Докажите, что существует точка $x$ в $[0,1]$ такая, что

Пусть $a$ и $b$ — комплексные числа, вещественные части которых отрицательны или равны $0$. Докажите неравенство $\left|e^{a}-e^{b}\right| \leq \left|a-b\right|$.

Пусть $A$ — конечное подмножество единичного круга на плоскости, и пусть $N(A,r)$ — множество точек на расстоянии $\leq r$ от $A$, где $0<r<1$. Покажите, что длина границы $N(A,r)$ не превосходит $C/r$ для некоторой константы $C$, не зависящей от $A$.

Для комплексных чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{k}$ докажите

Замечание: см. также задачу 1.3.1.