Глава 8

ПРОСТРАНСТВА LpL^{p}

[70/44%]
Показать
LaTeX
§
8.1 · Пространство LpL^{p}: случай 1⩽p<+∞1 \leqslant p < +\infty[10/90%]
Задача 8.1.1

Возьмём A,B∈Lp\mathfrak {A}, \mathfrak {B} \in \mathfrak {L}^{p}. Тогда A+B∈Lp\mathfrak {A}+\mathfrak {B} \in \mathfrak {L}^{p} и ∥A+B∥p⩽∥A∥p+∥B∥p\left\| \mathfrak {A}+\mathfrak {B}\right\|_{p} \leqslant \left\| \mathfrak {A}\right\|_{p}+\left\| \mathfrak {B}\right\|_{p}.

?
Задача 8.1.2

Докажите неравенство Коши—Шварца

∣∑k=1nakbk∣⩽∑k=1nak2∑k=1nbk2. \left|\sum _{k=1}^{n} a_{k} b_{k}\right| \leqslant \sqrt{\sum _{k=1}^{n} a_{k}^{2}} \sqrt{\sum _{k=1}^{n} b_{k}^{2}} .
?
Задача 8.1.3

Пусть 1<p1,…,pn<+∞1<p_{1}, \ldots , p_{n}<+\infty таковы, что 1/p1+⋯+1/pn=1 / p_{1}+\cdots +1 / p_{n}= 1, и возьмём функции f1∈Lp1,…,fn∈Lpnf_{1} \in L^{p_{1}}, \ldots , f_{n} \in L^{p_{n}}. Мы хотим обобщить неравенство Гёльдера, показав, что ∏i=1nfi∈L1\prod_{i=1}^{n} f_{i} \in L^{1} и ∣∫∏i=1nfi∣⩽∏i=1n∥fi∥pi\left|\int \prod_{i=1}^{n} f_{i}\right| \leqslant \prod_{i=1}^{n}\left\| f_{i}\right\|_{p_{i}}.

?
(a)

Сначала покажите, что a1⋯an⩽a1p1/p1+⋯+anpn/pna_{1} \cdots a_{n} \leqslant a_{1}^{p_{1}} / p_{1}+\cdots +a_{n}^{p_{n}} / p_{n}, обобщив результат из курса матанализа, данный в разделе. [Здесь 0⩽a1,…,an<+∞0 \leqslant a_{1}, \ldots , a_{n}<+\infty.]

(b)

Если ∥f1∥p1=0\left\| f_{1}\right\|_{p_{1}}=0 или …\ldots или ∥fn∥pn=0\left\| f_{n}\right\|_{p_{n}}=0, утверждение тривиально.

(c)

Используйте (a), чтобы доказать утверждение, когда ∥f1∥p1=⋯=∥fn∥pn=1\left\| f_{1}\right\|_{p_{1}}=\cdots =\left\| f_{n}\right\|_{p_{n}}=1.

(d)

Докажите утверждение, когда ∥f1∥p1,…,∥fn∥pn\left\| f_{1}\right\|_{p_{1}}, \ldots ,\left\| f_{n}\right\|_{p_{n}} положительны.

Задача 8.1.4

Имеет место равенство в неравенстве Гёльдера тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа AA и BB, не оба нулевые, с A∣f∣p=B∣g∣p′μA\left|f\right|^{p}=B\left|g\right|^{p^{\prime }} \mu-п.в. на Ω.

?
Задача 8.1.5

Для данной f∈Lp[1<p<+∞]f \in L^{p}\left[1<p<+\infty \right] существует g∈Lp′g \in L^{p^{\prime }} с ∥g∥p′=1\left\| g\right\|_{p^{\prime }}=1 и ∫fg=∥f∥p\int f g=\left\| f\right\|_{p}.

?
Задача 8.1.6

Теперь исследуем условия равенства в неравенстве Минковского. Пусть f,g∈Lpf, g \in L^{p}.

?
(a)

При p=1,∥f+g∥p=∥f∥p+∥g∥pp=1,\left\| f+g\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}+\left\| g\right\|_{p} тогда и только тогда, когда существует положительная F/B∗\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}-измеримая h>0h>0, определённая на Ω\Omega, с fh=gμf h=g \mu-п.в. на {ω∈Ω:f(ω)g(ω)≠0}\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) g(\omega ) \neq 0\right\}.

(b)

Для 1<p<+∞1<p<+\infty равенство имеет место тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные вещественные числа AA и BB, не оба нулевые, такие что Af=BgμA f=B g \mu-п.в. на Ω\Omega.

Задача 8.1.7

Пусть 1⩽p,q,r<+∞1 \leqslant p, q, r<+\infty таковы, что 1/r=1/p+1/q1 / r=1 / p+1 / q. Пусть f∈Lpf \in L^{p} и g∈Lqg \in L^{q}. Тогда fg∈Lrf g \in L^{r} и ∥fg∥r⩽∥f∥p∥g∥q\left\| f g\right\|_{r} \leqslant \left\| f\right\|_{p}\left\| g\right\|_{q}.

?
Задача 8.1.8

Если 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty, неравенство Минковского даёт ∣∥f∥p−∥g∥p∣⩽∥f−g∥p\left|\left\| f\right\|_{p}-\left\| g\right\|_{p}\right| \leqslant \left\| f-g\right\|_{p} для любых f,g∈Lpf, g \in L^{p}.

?
Задача 8.1.9

Пусть ϕ\phi — непрерывная и строго возрастающая функция, определённая на [0,+∞)\left[0,+\infty \right), с ϕ(0)=0\phi (0)=0 и lim⁡x→+∞ϕ(x)=+∞\lim_{x \rightarrow +\infty } \phi (x)=+\infty. Тогда для каждого 0⩽a,b<+∞0 \leqslant a, b<+\infty имеем

ab⩽∫0aϕ(u) du+∫0bϕ−1(v) dv, a b \leqslant \int _{0}^{a} \phi (u) \, d u+\int _{0}^{b} \phi ^{-1}(v) \, d v,

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда ϕ(a)=b\phi (a)=b.

?
Примечание.
?

Указание: сначала покажите, что ∫0cϕ(u) du+∫0ϕ(c)ϕ−1(v) dv=cϕ(c)\int_{0}^{c} \phi (u) \, d u+\int_{0}^{\phi (c)} \phi^{-1}(v) \, d v=c \phi (c) для каждого 0⩽c<+∞0 \leqslant c<+\infty. Может помочь рисунок. Результат из курса матанализа, приведённый в разделе, можно получить, положив ϕ(u)=up−1\phi (u)=u^{p-1} и ϕ−1(v)=v1p−1\phi^{-1}(v)=v^{\frac{1}{p-1}}.

Задача 8.1.10

Докажите следующее расширение пункта (c) Утверждения 2 раздела 7.5, где 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty и y∈Rk\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}: Если f∈Lp(Rk,Lk,λˉk)f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right), то τyf∈Lp(Rk,Lk,λˉk)\tau_{\boldsymbol {y}} f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right) и ∥τyf∥p=∥f∥p\left\| \tau_{\boldsymbol {y}} f\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}.

?
Примечание.
?

Утверждение 2 раздела 7.5: Пусть f:Rk→R‾f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}} лебегово измерима, и пусть τy\tau_{\boldsymbol {y}} обозначает сдвиг на некоторый y∈Rk\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}: τyf(x)=f(x+y)\tau_{\boldsymbol {y}} f(\boldsymbol {x})=f(\boldsymbol {x}+\boldsymbol {y}) для каждого x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}. Тогда: (a) τyf\tau_{\boldsymbol {y}} f лебегово измерима; (b) если ff неотрицательна, то ∫f dλˉk=∫τyf dλˉk\int f \, d\bar\lambda_{k}=\int \tau_{\boldsymbol {y}} f \, d\bar\lambda_{k}; (c) если f∈L1(Rk,Lk,λˉk)f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right), то τyf∈L1(Rk,Lk,λˉk)\tau_{\boldsymbol {y}} f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right), и снова ∫f dλˉk=∫τyf dλˉk\int f \, d\bar\lambda_{k}=\int \tau_{\boldsymbol {y}} f \, d\bar\lambda_{k}.

§
8.2 · Теорема Рисса–Фишера[5/100%]
Задача 8.2.1

Вернёмся к формальному определению LpL^{p}.

?
(a)

Выпишите формальное определение сходимости в LpL^{p}.

(b)

Сформулируйте и докажите формальную версию теоремы Рисса—Фишера.

Задача 8.2.2

Пусть (X,ρ)(X, \rho ) обозначает произвольное метрическое пространство. Пусть Cb(X)\mathscr {C}_{b}(X) обозначает совокупность непрерывных вещественнозначных ограниченных функций на XX. Для f∈Cb(X)f \in \mathscr {C}_{b}(X) запишем ∥f∥=sup⁡x∈X∣f(x)∣\left\| f\right\| =\sup_{x \in X}\left|f(x)\right| — обычную супремум-норму. Тогда Cb(X)\mathscr {C}_{b}(X) является банаховым пространством.

?
Задача 8.2.3

Говорят, что функция ff на Rk\mathbb {R}^{k} обращается в нуль на бесконечности, если f(x)→0f(\boldsymbol {x}) \rightarrow 0 при ∥x∥→∞\left\| \boldsymbol {x}\right\| \rightarrow \infty. Покажите, что совокупность непрерывных функций на Rk\mathbb {R}^{k}, обращающихся в нуль на бесконечности, является банаховым пространством относительно супремум-нормы, заданной в предыдущей задаче.

?
Задача 8.2.4

Пусть Cc(Rk)\mathscr {C}_{c}\left(\mathbb {R}^{k}\right) обозначает совокупность непрерывных функций на Rk\mathbb {R}^{k} с компактным носителем, и вновь рассмотрим супремум-норму. Эта совокупность плотна в совокупности из предыдущей задачи, но не является банаховым пространством.

?
Задача 8.2.5

Последовательность {fn}\left\{ f_{n}\right\} в LpL^{p} может сходиться в среднем порядка pp к некоторой f∈Lpf \in L^{p}, но при этом не сходиться поточечно к ff ни в одной точке Ω\Omega. Следовательно, сходимость в LpL^{p} вообще говоря не влечёт сходимость μ\mu-п.в.

?
§
8.3 · Пространство LpL^{p}: случай 0<p<10 < p < 1[8/50%]
Задача 8.3.1

Пусть f,g∈Lpf, g \in L^{p}, где 0<p<10<p<1. Мы знаем, что f+g∈Lpf+g \in L^{p} по результату о неравенстве, подобном Минковскому, данному ранее.

?
(a)

Имеем (a+b)p⩽ap+bp(a+b)^{p} \leqslant a^{p}+b^{p} для любых 0<a,b<∞0<a, b<\infty.

(b)

Из (a) следует, что ∫∣f+g∣p⩽∫∣f∣p+∫∣g∣p\int \left|f+g\right|^{p} \leqslant \int \left|f\right|^{p}+\int \left|g\right|^{p}.

(c)

Если мы запишем ∥f−g∥pp\left\| f-g\right\|_{p}^{p} для расстояния между ff и gg, то эта функция расстояния действительно является метрикой, если мы отождествляем функции, равные μ\mu-п.в. на Ω\Omega.

(d)

Запись ∥f−g∥p\left\| f-g\right\|_{p} для расстояния между ff и gg не задаёт метрику на LpL^{p}.

Задача 8.3.2

Рассмотрим пространство Ω=(0,1)\Omega =(0,1) и пусть 0<p<10<p<1. Обозначим через B борелевские подмножества (0,1)(0,1), а через λ\lambda — меру Лебега, ограниченную на B. Мы покажем, что не существует нормы ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| на LpL^{p} такой, что lim⁡k∥fk∥p=0\lim_{k}\left\| f_{k}\right\|_{p}=0 вынуждало бы lim⁡k∥fk∥=0\lim_{k}\left\| f_{k}\right\| =0.

?
(a)

Предположим, что такая норма ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| существует. Тогда найдётся C⩾0C \geqslant 0 такое, что ∥f∥⩽C∥f∥p\left\| f \right\| \leqslant C\left\| f\right\|_{p} для каждой f∈Lpf \in L^{p}.

Возьмём минимальное такое CC из (a).

(b)

Найдётся 0<c<10<c<1 с ∫0c∣f∣p=∫c1∣f∣p=12∫01∣f∣p\int_{0}^{c}\left|f\right|^{p}=\int_{c}^{1}\left|f\right|^{p}=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f\right|^{p}.

(c)

Пусть g=f  1(0,c]g=f \; \mathbb {1}_{(0, c]} и h=f  1(c,1]h=f \; \mathbb {1}_{(c, 1]}, так что f=g+hf=g+h. Тогда ∥g∥p=∥h∥p=2−1/p∥f∥p\left\| g\right\|_{p}=\left\| h\right\|_{p}= 2^{-1 / p}\left\| f\right\|_{p} и ∥f∥⩽∥g∥+∥h∥⩽C∥g∥p+C∥h∥p=C×21−1/p∥f∥p\left\| f\right\| \leqslant \left\| g\right\| +\left\| h\right\| \leqslant C\left\| g\right\|_{p}+C\left\| h\right\|_{p}=C \times 2^{1-1 / p}\left\| f\right\|_{p}. Используйте минимальность CC, чтобы получить C⩽C21−1/pC \leqslant C 2^{1-1 / p}, и выведите C=0C=0.

(d)

Заключите, что ∥f∥=0\left\| f\right\| =0 для каждой f∈Lpf \in L^{p}, и, следовательно, предположение в (a) приводит к противоречию.

Задача 8.3.3

Пусть 0<p0<∞0<p_{0}<\infty, и пусть f∈Lp0f \in L^{p_{0}} неотрицательна. Пусть E1={ω∈Ω:f(ω)=0},E2={ω∈Ω:0<f(ω)⩽1}E_{1}=\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega )=0\right\} , E_{2}=\left\{ \omega \in \Omega : 0<f(\omega ) \leqslant 1\right\}, и E3={ω∈Ω:f(ω)>1}E_{3}=\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega )>1\right\}.

?
(a)

lim⁡p→0+∫E2∣f∣p=μ(E2)\lim_{p \rightarrow 0^{+}} \int_{E_{2}}\left|f\right|^{p}=\mu \left(E_{2}\right).

(b)

lim⁡p→0+∫E3∣f∣p=μ(E3)\lim_{p \rightarrow 0^{+}} \int_{E_{3}}\left|f\right|^{p}=\mu \left(E_{3}\right).

(c)

lim⁡p→0+∫∣f∣p=μ({ω∈Ω:f(ω)≠0})\lim_{p \rightarrow 0^{+}} \int \left|f\right|^{p}=\mu (\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \neq 0\right\} ).

Задача 8.3.4

Пусть μ(Ω)=1\mu (\Omega )=1, и пусть f∈L1f \in L^{1} неотрицательна. Запишем log⁡0=−∞\log 0=-\infty.

?
(a)

∫log⁡f⩽log⁡∫f\int \log f \leqslant \log \int f, если log⁡f∈L1\log f \in L^{1}.

(b)

Если log⁡f∉L1\log f \notin L^{1}, то ∫(log⁡f)+<∞\int (\log f)^{+}<\infty при предположении f∈L1f \in L^{1}, так что обязательно ∫(log⁡f)−=∞\int (\log f)^{-}=\infty. Заключите, что даже если log⁡f∉L1,∫log⁡f\log f \notin L^{1}, \int \log f всё равно существует и равен −∞-\infty, что даёт неравенство в (a).

(c)

(fr−1)/r\left(f^{r}-1\right) / r убывает к log⁡f\log f при r→0+r \rightarrow 0^{+}, следовательно, lim⁡r→0+(∫fr−1)/r=∫log⁡f\lim_{r \rightarrow 0^{+}}\left(\int f^{r}-1\right) / r=\int \log f.

(d)

Проверьте неравенства

1r[∫fr−1]⩾1rlog⁡∫fr⩾1r∫log⁡fr=∫log⁡f \frac{1}{r}\left[\int f^{r}-1\right] \geqslant \frac{1}{r} \log \int f^{r} \geqslant \frac{1}{r} \int \log f^{r}=\int \log f
(e)

Заключите, что lim⁡r→0+∥f∥r\lim_{r \rightarrow 0^{+}}\left\| f\right\|_{r} существует и равен exp⁡(∫log⁡f)\exp \left(\int \log f\right). Если log⁡f∉L1\log f \notin L^{1}, это интерпретируется как lim⁡r→0+∥f∥r=0\lim_{r \rightarrow 0^{+}}\left\| f\right\|_{r}=0.

Задача 8.3.5

Найдите условия равенства в неравенстве Гёльдера-подобного типа.

?
Примечание.
?

Неравенство Гёльдера-подобного типа: Пусть 0<p<10<p<1. Пусть f∈Lpf \in L^{p} неотрицательна, и пусть gg обозначает неотрицательную F/B∗\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}-измеримую функцию такую, что ∫gp′\int g^{p^{\prime }} существует и 0<∫gp′<+∞0<\int g^{p^{\prime }}<+\infty. Тогда ∫fg⩾∥f∥p(∫∣g∣p′)1/p′\int f g \geqslant \left\| f\right\|_{p}\left(\int \left|g\right|^{p^{\prime }}\right)^{1 / p^{\prime }}.

Задача 8.3.6

Найдите условия равенства в неравенстве Минковского-подобного типа.

?
Примечание.
?

Неравенство Минковского-подобного типа: Пусть 0<p<10<p<1, и пусть f,g∈Lpf, g \in L^{p} неотрицательны. Тогда f+g∈Lpf+g \in L^{p} и ∥f+g∥p⩾∥f∥p+∥g∥p\left\| f+g\right\|_{p} \geqslant \left\| f\right\|_{p}+\left\| g\right\|_{p}.

Задача 8.3.7

Для любых a,b>0a, b>0 и 0<p<10<p<1 имеем ab⩾app+bp′p′a b \geqslant \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{p^{\prime }}}{p^{\prime }}. Используйте это, чтобы дать доказательство неравенства Гёльдера-подобного типа, основанное на матанализе, аналогичное доказательству исходного неравенства Гёльдера.

?
Примечание.
?

Пусть f(a,b)=ab−appf(a, b)=a b-\frac{a^{p}}{p} для a,b>0a, b>0, где 0<p<10<p<1 фиксировано. Для каждого b⩾0b \geqslant 0 имеем ∂∂af(a,b)=b−ap−1⩾0\frac{\partial }{\partial a} f(a, b)=b-a^{p-1} \geqslant 0 тогда и только тогда, когда a⩾b1p−1a \geqslant b^{\frac{1}{p-1}} [здесь мы используем тот факт, что p−1<0p-1<0]. Следовательно, имеем f(a,b)⩾f(b1p−1,b)f(a, b) \geqslant f\left(b^{\frac{1}{p-1}}, b\right) для каждого b>0b>0, что даёт ab−app⩾p−1pbpp−1=1p′bp′a b-\frac{a^{p}}{p} \geqslant \frac{p-1}{p} b^{\frac{p}{p-1}}=\frac{1}{p^{\prime }} b^{p^{\prime }} для каждого b>0b>0.

Задача 8.3.8

Обязательно ли выполняется теорема Рисса—Фишера в случае 0<p<10<p<1?

?
Примечание.
?

Указание: обратите внимание на роль исходного неравенства Минковского в доказательстве теоремы Рисса—Фишера. При 0<p<10<p<1 направление неравенства меняется на противоположное.

§
8.4 · Пространство LpL^{p}: случай p=+∞p = +\infty[7/43%]
Задача 8.4.1

В этой задаче мы рассматриваем формальное определение L∞L^{\infty }. Определим L∞L^{\infty } как совокупность тех классов эквивалентности A∈E/∼\mathfrak {A} \in \mathcal{E} / \sim, для которых ess⁡sup⁡f<+∞\operatorname {ess} \sup f<+\infty для некоторой f∈Af \in \mathfrak {A}.

?
(a)

Если f=g μf=g \: \mu-п.в. на Ω\Omega, то ess⁡sup⁡f=ess⁡sup⁡g\operatorname {ess} \sup f=\operatorname {ess} \sup g. Следовательно, можно эквивалентно сказать, что A∈L∞\mathfrak {A} \in L^{\infty } тогда и только тогда, когда ess⁡sup⁡f<+∞\operatorname {ess} \sup f<+\infty для каждой f∈Af \in \mathfrak {A}.

(b)

Если A,B∈L∞\mathfrak {A}, \mathfrak {B} \in L^{\infty } и c∈Rc \in \mathbb {R}, то cA∈L∞c \mathfrak {A} \in L^{\infty } и A+B∈L∞\mathfrak {A}+\mathfrak {B} \in L^{\infty }. Следовательно, L∞L^{\infty } является векторным пространством.

Определим ∥⋅∥∞\left\| \cdot \right\|_{\infty } на L∞L^{\infty }, полагая ∥A∥∞=ess⁡sup⁡f\left\| \mathfrak {A}\right\|_{\infty }=\operatorname {ess} \sup f, где f∈Af \in \mathfrak {A}.

(c)

Определение ∥⋅∥∞\left\| \cdot \right\|_{\infty } корректно.

(d)

Для A,B,C∈L∞\mathfrak {A}, \mathfrak {B}, \mathfrak {C} \in L^{\infty } определим ρ(A,B)=∥A−B∥∞\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})=\left\| \mathfrak {A}-\mathfrak {B}\right\|_{\infty }. Тогда

  1. 0⩽ρ(A,B)<+∞0 \leqslant \rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})<+\infty.

  2. ρ(A,A)=0\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {A})=0, и ρ(A,B)=0\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})=0 тогда и только тогда, когда A=B\mathfrak {A}=\mathfrak {B}.

  3. ρ(A,B)=ρ(B,A)\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})=\rho (\mathfrak {B}, \mathfrak {A}).

  4. ρ(A,C)⩽ρ(A,B)+ρ(B,C)\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {C}) \leqslant \rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})+\rho (\mathfrak {B}, \mathfrak {C}). Следовательно, ρ\rho является метрикой на L∞L^{\infty }.

(e)

L∞L^{\infty } полно в метрике ρ\rho. Следовательно, L∞L^{\infty } является банаховым пространством.

(f)
Примечание.
?

Все пункты этой задачи можно быстро решить, используя результаты этого раздела.

Задача 8.4.2

Рассмотрим σ\sigma-конечное измеримое пространство (Ω,F,μ)(\Omega , \mathcal{F}, \mu ).

?
(a)

f∈L∞f \in L^{\infty } тогда и только тогда, когда существует ограниченная F/B∗\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}-измеримая функция gg на Ω\Omega такая, что f=gμ−f=g \mu - п. в. на Ω\Omega.

(b)

Если f∈L∞f \in L^{\infty }, то ∥f∥∞=inf⁡{sup⁡ω∈Ω∣g(ω)∣:g такова, как в (a)}\left\| f\right\|_{\infty }=\inf \left\{ \sup_{\omega \in \Omega }\left|g(\omega )\right|: g \text{ такова, как в (a)}\right\}.

Задача 8.4.3

Рассмотрим измеримое пространство (Rk,Bk,λk)\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{B}^{k}, \lambda_{k}\right). Мы имеем ess⁡sup⁡f=sup⁡x∈Rk∣f(x)∣\operatorname {ess} \sup f=\sup_{\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}}\left|f(\boldsymbol {x})\right|, если ff непрерывна.

?
Задача 8.4.4

Быстро докажите вариант неравенства Гёльдера для p=∞p=\infty.

?
Задача 8.4.5

Пусть ( Ω,F,μ\Omega , \mathcal{F}, \mu ) таковы, что μ(Ω)<∞\mu (\Omega )<\infty, и пусть ff обозначает ограниченную F/B∗\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}-измеримую функцию на Ω\Omega.

?
(a)

Для каждого 1⩽p⩽∞1 \leqslant p \leqslant \infty имеем f∈Lpf \in L^{p}, следовательно, ∥f∥p\left\| f\right\|_{p} существует.

(b)

lim⁡p→∞∥f∥p=∥f∥∞\lim_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{\infty }.

Задача 8.4.6

Для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}, L∞(Rk,Bk,λk)L^{\infty }\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{B}^{k}, \lambda_{k}\right) не содержит неограниченной непрерывной функции. Также, для каждого 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty, Lp(R,B,λ)L^{p}(\mathbb {R}, \mathcal{B}, \lambda ) содержит неограниченную непрерывную функцию.

?
Примечание.
?

См. упражнение 8.4.3.

Задача 8.4.7

Пусть Ω=(0,1]\Omega =(0,1], пусть F\mathcal{F} обозначает борелевские подмножества (0,1](0,1], и пусть μ\mu обозначает меру Лебега, ограниченную на борелевские подмножества (0,1](0,1]. Покажите в этом случае, что L∞L^{\infty } не сепарабельно, то есть не существует счётного плотного подмножества L∞L^{\infty }.

?
§
8.5 · Отношения включения для пространств LpL^{p}[8/63%]
Задача 8.5.1

Рассмотрим измеримое пространство (R,B,λ)(\mathbb {R}, \mathfrak {B}, \lambda ). Пусть 1⩽p<q<∞1 \leqslant p<q< \infty, и пусть rr таково, что 1/q<r<1/p1 / q<r<1 / p.

?
(a)

Определим ff на R\mathbb {R}, положив f(x)=x−r  1(0,1)(x)f(x)=x^{-r} \; \mathbb {1}_{(0,1)}(x) для каждого x∈Rx \in \mathbb {R}. Тогда f∈Lpf \in L^{p}, но f∉Lqf \notin L^{q}. Следовательно, вообще говоря, включение Lp⊆LqL^{p} \subseteq L^{q} при p<qp<q не выполняется.

(b)

Пусть g(x)=x−r  1(1,∞)(x)g(x)=x^{-r} \; \mathbb {1}_{(1, \infty )}(x) для каждого x∈Rx \in \mathbb {R}. Тогда g∈Lqg \in L^{q}, но g∉Lpg \notin L^{p}. Следовательно, вообще говоря, включение Lq⊆LpL^{q} \subseteq L^{p} при p<qp<q не выполняется.

Задача 8.5.2

Пусть 0<p<r<∞0<p<r<\infty. Тогда Lp∩L∞⊆LrL^{p} \cap L^{\infty } \subseteq L^{r}, и для любой f∈Lp∩L∞f \in L^{p} \cap L^{\infty } имеем ∥f∥r⩽∥f∥pp/r∥f∥∞1−p/r\left\| f\right\|_{r} \leqslant \left\| f\right\|_{p}^{p / r}\left\| f\right\|_{\infty }^{1-p / r}.

?
Задача 8.5.3

Для любых 0<p<∞0<p<\infty и 0<M<∞0<M<\infty имеем

(∫∣f∣p)1/p⩾Mμ({ω∈Ω:∣f(ω)∣⩾M})1/p. \left(\int \left|f\right|^{p}\right)^{1 / p} \geqslant M \mu (\left\{ \omega \in \Omega :\left|f(\omega )\right| \geqslant M\right\} )^{1 / p} .
?
Задача 8.5.4

Пусть 0<r<∞0<r<\infty и предположим, что f∈Lr∩L∞f \in L^{r} \cap L^{\infty }, так что f∈Lpf \in L^{p} для каждого r<p<∞r<p<\infty по упражнению 8.5.2. Мы хотим показать, что lim⁡p→∞∥f∥p=∥f∥∞\lim_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{\infty }. Следуйте этому плану:

?
(a)

Игнорируя тривиальный случай, когда f=0μf=0 \mu-п.в. на Ω\Omega, пусть f≠0f \neq 0 на множестве положительной меры, так что ∥f∥∞>0\left\| f\right\|_{\infty }>0. Покажите, что lim inf⁡p→∞∥f∥p⩾∥f∥∞\liminf_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p} \geqslant \left\| f\right\|_{\infty }.

(b)

Покажите, что lim sup⁡p→∞∥f∥p⩽∥f∥∞\limsup_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p} \leqslant \left\| f\right\|_{\infty }.

(c)

Объедините (a) и (b), чтобы доказать утверждение.

Задача 8.5.5

Пусть μ(Ω)=1\mu (\Omega )=1 и 1⩽p⩽q⩽∞1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty. Покажите для произвольной ff, что

∫∣f∣⩽(∫∣f∣p)1/p=(∫∣f∣q)1/q⩽ess⁡sup⁡f \int \left|f\right| \leqslant \left(\int \left|f\right|^{p}\right)^{1 / p}=\left(\int \left|f\right|^{q}\right)^{1 / q} \leqslant \operatorname {ess} \sup f

так что ∥f∥1⩽∥f∥p⩽∥f∥q⩽∥f∥∞\left\| f\right\|_{1} \leqslant \left\| f\right\|_{p} \leqslant \left\| f\right\|_{q} \leqslant \left\| f\right\|_{\infty }.

?
Задача 8.5.6

Мы знаем, что lp⊆lq⊆l∞l^{p} \subseteq l^{q} \subseteq l^{\infty }, когда 0<p<q<+∞0<p<q<+\infty, по утверждению 5. Покажите далее, что

ess⁡sup⁡f⩽(∑ω∈Ω∣f(ω)∣q)1/q⩽(∑ω∈Ω∣f(ω)∣p)1/p \operatorname {ess} \sup f \leqslant \left(\sum _{\omega \in \Omega }\left|f(\omega )\right|^{q}\right)^{1 / q} \leqslant \left(\sum _{\omega \in \Omega }\left|f(\omega )\right|^{p}\right)^{1 / p}

для произвольной f∈lpf \in l^{p}, так что ∥f∥∞⩽∥f∥q⩽∥f∥p\left\| f\right\|_{\infty } \leqslant \left\| f\right\|_{q} \leqslant \left\| f\right\|_{p} для каждой f∈lpf \in l^{p}.

?
Примечание.
?

Утверждение 5: Для каждого 0<p<q<+∞0<p<q<+\infty имеем lp⊆lq⊆l∞l^{p} \subseteq l^{q} \subseteq l^{\infty }.

Задача 8.5.7

Рассмотрим (R,B,λ)\left(\mathbb {R}, \mathfrak {B}, \lambda \right).

?
(a)

Найдите ff такую, что f∈Lpf \in L^{p}, но f∉Lqf \notin L^{q} для каждого p<q<+∞p<q<+\infty.

(b)

Найдите ff такую, что f∈Lqf \in L^{q} для каждого 0<q<p0<q<p, но f∉Lpf \notin L^{p}.

(c)

Найдите неотрицательную конечнозначную функцию ff такую, что f∉Lpf \notin L^{p} для каждого 0<p<+∞0<p<+\infty.

(d)

Найдите ff такую, что f∈Lpf \in L^{p}, но f∉Lqf \notin L^{q} для каждого q∈(0,∞)−{p}q \in (0, \infty )-\left\{ p\right\}.

Задача 8.5.8

Пусть (Ω,F,μ)(\Omega , \mathcal{F}, \mu ) таковы, что μ(A)>0\mu (A)>0 влечёт μ(A)⩾1\mu (A) \geqslant 1 для каждого A∈FA \in \mathcal{F}. Пусть 1⩽p⩽q<+∞1 \leqslant p \leqslant q<+\infty. Тогда Lp⊆Lq⊆L∞L^{p} \subseteq L^{q} \subseteq L^{\infty } и ∥f∥∞⩽∥f∥q⩽∥f∥p\left\| f\right\|_{\infty } \leqslant \left\| f\right\|_{q} \leqslant \left\| f\right\|_{p}.

?
§
8.6 · Приближение[10/0%]
Задача 8.6.1

Ниже приведён план альтернативного доказательства того, что Cc\mathfrak {C}_{c} — плотное подмножество Lp(Rk,Bk,λk)L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right) (где 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty), не использующего теорему Лузина [как это делалось в утверждении 3]. Здесь Cc\mathfrak {C}_{c} обозначает совокупность вещественнозначных функций на Rk\mathbb {R}^{k}, непрерывных и имеющих компактный носитель, а S0\mathfrak {S}_{0} обозначает совокупность F/B∗\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}-измеримых конечнозначных простых функций ss на Ω\Omega, таких что μ({ω∈Ω:s(ω)≠0})<∞\mu \left(\left\{ \omega \in \Omega : s(\omega ) \neq 0\right\} \right)<\infty.

Утверждение 3: Для любой ограниченной f∈Lp(Rk,Bk,λk)f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right) и ε>0\varepsilon >0 мы можем найти g∈Ccg \in \mathfrak {C}_{c} такую, что ∥f−g∥p<ε\left\| f-g\right\|_{p}<\varepsilon и sup⁡ω∈Rk∣g(ω)∣⩽sup⁡ω∈Rk∣f(ω)∣\sup_{\omega \in \mathbb {R}^{k}}\left|g(\omega )\right| \leqslant \sup_{\omega \in \mathbb {R}^{k}}\left|f(\omega )\right|. В частности, Cc\mathfrak {C}_{c} — плотное подмножество Lp(Rk,Bk,λk)L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right).

?
(a)

Покажите, что Cc\mathfrak {C}_{c} плотно в {  1A:A∈Bk ограничено}\left\{ \; \mathbb {1}_{A}: A \in \mathscr {B}^{k} \text{ ограничено}\right\}. [Пусть A∈BkA \in \mathscr {B}^{k} ограничено. Найдите компакт KK и открытое множество GG такие, что K⊆A⊆GK \subseteq A \subseteq G и λk(G−K)<εp\lambda_{k}(G-K)<\varepsilon^{p}. Используйте лемму Урысона, чтобы найти g:Rk→Rg: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}, непрерывную, с 0⩽g⩽10 \leqslant g \leqslant 1, g=1g=1 на KK и g=0g=0 на GcG^{c}. Мы имеем g∈Ccg \in \mathfrak {C}_{c} и g(x)−  1A(x)=0g(\boldsymbol {x})-\; \mathbb {1}_{A}(\boldsymbol {x})=0 для каждого x∈K∪Gc\boldsymbol {x} \in K \cup G^{c}. Тогда

∥g−  1A∥p=(∫∣g−  1A∣p)1/p=(∫G−K∣g−  1A∣p)1/p⩽(∫G−K1)1/p<ε. \left\| g-\; \mathbb {1}_{A}\right\| _{p}=\left(\int \left|g-\; \mathbb {1}_{A}\right|^{p}\right)^{1 / p}=\left(\int _{G-K}\left|g-\; \mathbb {1}_{A}\right|^{p}\right)^{1 / p} \leqslant \left(\int _{G-K} 1\right)^{1 / p}<\varepsilon .

]

(b)

Покажите, что Cc\mathfrak {C}_{c} плотно в совокупности неотрицательных конечнозначных F/B∗\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}-измеримых простых функций ∑i=1nci  1Ai\sum_{i=1}^{n} c_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}} на Ω\Omega таких, что каждое AiA_{i} ограничено, если ci>0c_{i}>0. [Без ограничения общности предположим, что каждое ci>0c_{i}>0, так что A1,…,AnA_{1}, \ldots , A_{n} ограничены. Для каждого i∈{1,…,n}i \in \left\{ 1, \ldots , n\right\} найдите gi∈Ccg_{i} \in \mathfrak {C}_{c} такую, что ∥gi−  1Ai∥p<ε1+∑i=1n∣ci∣\left\| g_{i}-\; \mathbb {1}_{A_{i}}\right\|_{p}<\frac{\varepsilon }{1+\sum_{i=1}^{n}\left|c_{i}\right|}; это требует результата (a). Пусть g=∑i=1ncigig=\sum_{i=1}^{n} c_{i} g_{i}. Тогда g∈Ccg \in \mathfrak {C}_{c}, и легко показать, что ∥g−∑i=1nci  1Ai∥p<ε\left\| g-\sum_{i=1}^{n} c_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}}\right\|_{p}<\varepsilon.]

(c)

Покажите, что Cc\mathfrak {C}_{c} плотно в классе неотрицательных функций из LpL^{p}, равных нулю вне ограниченного множества. [Покажите, что функции из (b) плотны в совокупности, рассматриваемой здесь, в (c), следующим образом: пусть f⩾0f \geqslant 0 принадлежит LpL^{p}, причём f=0f=0 вне некоторого ограниченного A∈BkA \in \mathscr {B}^{k}. Найдите неубывающую последовательность {sn}n=1∞\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } функций из (b) с sn→fs_{n} \rightarrow f. Используйте теорему о мажорируемой сходимости, чтобы показать, что lim⁡n∥sn−f∥p=0\lim_{n}\left\| s_{n}-f\right\|_{p}=0, используя тот факт, что ∣f−sn∣p⩽fp∈L1\left|f-s_{n}\right|^{p} \leqslant f^{p} \in L^{1}. Поскольку Cc\mathfrak {C}_{c} плотно в совокупности функций из (b), и поскольку совокупность функций из (b) в рамках данного плана здесь, в (c), была показана плотной в совокупности функций, рассматриваемой здесь, в (c), утверждение (c) следует.]

(d)

Покажите, что Cc\mathfrak {C}_{c} плотно в классе функций из LpL^{p}, равных нулю вне ограниченного множества. [Пусть f∈Lpf \in L^{p} равна нулю вне ограниченного множества, и выберем ε>0\varepsilon >0. Запишем f=f+−f−f=f^{+}-f^{-}. И f+f^{+}, и f−f^{-}являются неотрицательными функциями из LpL^{p}, равными нулю вне ограниченного множества. По (c) существуют функции g1,g2∈Ccg_{1}, g_{2} \in \mathfrak {C}_{c} такие, что ∥f+−g1∥p\left\| f^{+}-g_{1}\right\|_{p} и ∥f−−g2∥p\left\| f^{-}-g_{2}\right\|_{p} обе меньше ε2\frac{\varepsilon }{2}. Пусть g=g1−g2g=g_{1}-g_{2}. Тогда g∈Ccg \in \mathfrak {C}_{c} и ∥f−g∥p<ε\left\| f-g\right\|_{p}<\varepsilon.]

(e)

Покажите, что Cc\mathfrak {C}_{c} плотно в LpL^{p}. [Пусть f∈Lpf \in L^{p}. Поскольку ∣f  1B(0,n)−f∣p⩽∣f∣p∈L1\left|f \; \mathbb {1}_{B(\mathbf{0}, n)}-f\right|^{p} \leqslant \left|f\right|^{p} \in L^{1}, теорема о мажорируемой сходимости даёт lim⁡n∥f  1B(0,n)−f∥p=0\lim_{n}\left\| f \; \mathbb {1}_{B(\mathbf{0}, n)}-f\right\|_{p}=0. Таким образом, ff можно приблизить функцией из LpL^{p}, обращающейся в нуль вне ограниченного множества. Поскольку (d) утверждает, что Cc\mathfrak {C}_{c} плотно в классе функций из LpL^{p}, обращающихся в нуль вне ограниченного множества, отсюда следует, что ff можно приблизить функцией из Cc\mathfrak {C}_{c}.]

Задача 8.6.2

Утверждение 2: S0\mathfrak {S}_{0} — плотное подмножество LpL^{p}, где S0\mathfrak {S}_{0} обозначает совокупность F/B∗\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}-измеримых конечнозначных простых функций ss на Ω\Omega, таких что μ({ω∈Ω:s(ω)≠0})<∞\mu \left(\left\{ \omega \in \Omega : s(\omega ) \neq 0\right\} \right)<\infty.

Мы показали для общего (Ω,F,μ)(\Omega , \mathcal{F}, \mu ), что S0\mathfrak {S}_{0} — плотное подмножество LpL^{p} для 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty (утверждение 2 выше).

?
(a)

Также верно, что S0\mathfrak {S}_{0} — плотное подмножество L∞L^{\infty }. Следовательно, S0\mathfrak {S}_{0} — плотное подмножество LpL^{p} для 1⩽p⩽+∞1 \leqslant p \leqslant +\infty. [Это не должно вызвать затруднений.]

(b)

А что насчёт случая 0<p<10<p<1? [Зависят ли утверждения 1 и 2 каким-либо образом от того, выполняется ли p⩾1p \geqslant 1?]

Задача 8.6.3

Утверждение 3: Для любой ограниченной f∈Lp(Rk,Bk,λk)f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right) и ε>0\varepsilon >0 мы можем найти g∈Ccg \in \mathfrak {C}_{c} такую, что ∥f−g∥p<ε\left\| f-g\right\|_{p}<\varepsilon и sup⁡ω∈Rk∣g(ω)∣⩽sup⁡ω∈Rk∣f(ω)∣\sup_{\omega \in \mathbb {R}^{k}}\left|g(\omega )\right| \leqslant \sup_{\omega \in \mathbb {R}^{k}}\left|f(\omega )\right|. В частности, Cc\mathfrak {C}_{c} — плотное подмножество Lp(Rk,Bk,λk)L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right). Здесь Cc\mathfrak {C}_{c} обозначает совокупность вещественнозначных функций на Rk\mathbb {R}^{k}, непрерывных и имеющих компактный носитель.

Утверждение 4: S00(R,B,λ)\mathfrak {S}_{00}\left(\mathbb {R}, \mathscr {B}, \lambda \right) — плотное подмножество Lp(R,B,λ)L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathscr {B}, \lambda \right), где S00(R,B,λ)\mathfrak {S}_{00}\left(\mathbb {R}, \mathscr {B}, \lambda \right) обозначает совокупность функций на R\mathbb {R} вида ∑i=1nci  1Ai\sum_{i=1}^{n} c_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}}, где c1,…,cn∈Rc_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbb {R} и каждое AiA_{i} — ограниченный промежуток произвольного вида.

Утверждение 5: Пусть f∈Lp(Rk,Bk,λk)f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right), где 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty. Тогда для каждого y∈Rk\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k} следует, что τyf∈Lp(Rk,Bk,λk)\tau_{\boldsymbol {y}} f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right), где τyf(x)=f(x+y)\tau_{\boldsymbol {y}} f(\boldsymbol {x})=f(\boldsymbol {x}+\boldsymbol {y}) для каждого x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}. Более того, lim⁡y→0∥τyf−f∥p=0\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \mathbf{0}}\left\| \tau_{\boldsymbol {y}} f-f\right\|_{p}=0.

Каждое из утверждений 3, 4 и 5 сформулировано (и доказано) для 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty.

?
(a)

Проанализируйте случаи 0<p<10<p<1 и p=+∞p=+\infty для утверждения 3.

(b)

Проанализируйте случаи 0<p<10<p<1 и p=+∞p=+\infty для утверждения 4.

(c)

Проанализируйте случаи 0<p<10<p<1 и p=+∞p=+\infty для утверждения 5.

Задача 8.6.4

Пусть (Ω,F,μ)(\Omega , \mathcal{F}, \mu ) таковы, что μ\mu σ\sigma-конечна, а F\mathcal{F} счётно порождена. Мы покажем, что LpL^{p} сепарабельно для 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty.

Утверждение 1: S0⊆Lp\mathfrak {S}_{0} \subseteq L^{p}, где S0\mathfrak {S}_{0} обозначает совокупность F/B∗\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}-измеримых конечнозначных простых функций ss на Ω\Omega, таких что μ({ω∈Ω:s(ω)≠0})<∞\mu \left(\left\{ \omega \in \Omega : s(\omega ) \neq 0\right\} \right)<\infty.

Утверждение 2: S0\mathfrak {S}_{0} — плотное подмножество LpL^{p}; более того, для заданных ε>0\varepsilon >0 и f∈Lpf \in L^{p} приближающая s∈S0s \in \mathfrak {S}_{0} с ∥s−f∥p<ε\left\| s-f\right\|_{p}<\varepsilon может быть выбрана так, что ∣s∣⩽∣f∣\left|s\right| \leqslant \left|f\right|.

Предположим, что F\mathcal{F} порождена счётной совокупностью C\mathcal{C}, а Ω\Omega покрыта счётной совокупностью D\mathcal{D} множеств из F\mathcal{F} конечной меры. Перенумеруем множества счётной совокупности C∪D\mathcal{C} \cup \mathcal{D} как E1,E2,…E_{1}, E_{2}, \ldots. Для каждого n∈Nn \in \mathbb {N} запишем

Pn={F1∩⋯∩Fn:Fi=Ei или Fi=Eic,i=1,…,n}, \mathcal{P}_{n}=\left\{ F_{1} \cap \cdots \cap F_{n}: F_{i}=E_{i} \text{ или } F_{i}=E_{i}^{c}, i=1, \ldots , n\right\} ,

и пусть Fn\mathcal{F}_{n} обозначает совокупность конечных объединений множеств из Pn\mathcal{P}_{n}. Запишем F0=⋃n=1∞Fn\mathcal{F}_{0}=\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}_{n}.

?
(a)

Каждая Fn\mathcal{F}_{n} является алгеброй множеств на Ω\Omega.

(b)

F0\mathcal{F}_{0} — счётная алгебра множеств, порождающая F\mathcal{F}: σ(F0)=F\sigma \left(\mathcal{F}_{0}\right)=\mathcal{F}.

(c)

μ\mu σ\sigma-конечна на F0\mathcal{F}_{0}.

Пусть VV обозначает совокупность функций ∑i=1mαi  1Ai\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}}, определённых на Ω\Omega [функция равна 00 на (A1∪⋯∪An)c\left(A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}\right)^{c}], где αi\alpha_{i} рациональны, а AiA_{i} — множества из F0\mathcal{F}_{0} конечной меры. [(d)] VV — счётная совокупность.

[(e)] Пусть f∈Lpf \in L^{p} и ε>0\varepsilon >0. Существует g=∑i=1mαi  1Big=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \; \mathbb {1}_{B_{i}} с конечными αi\alpha_{i} и μ(Bi)\mu \left(B_{i}\right), такая что ∥f−g∥p<ε\left\| f-g\right\|_{p}<\varepsilon; можно без ограничения общности предположить, что каждое αi\alpha_{i} ненулевое и рациональное. [Используйте утверждение 2 выше.]

[(f)] Для i=1,…,mi=1, \ldots , m существует Ai∈F0A_{i} \in \mathcal{F}_{0} с μ(Ai△Bi)<(εm∣αi∣)p\mu \left(A_{i} \triangle B_{i}\right)<\left(\frac{\varepsilon }{m\left|\alpha_{i}\right|}\right)^{p}. [Используйте результат об аппроксимации из главы 3.]

[(g)] Пусть h=∑i=1mαi  1Aih=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}}. Тогда h∈Vh \in V и ∥g−h∥p<ε\left\| g-h\right\|_{p}<\varepsilon, следовательно ∥f−h∥p<2ε\left\| f-h\right\|_{p}<2\varepsilon. Заключите, что LpL^{p} действительно сепарабельно.

Примечание.
?

Оставшиеся упражнения этого раздела связаны между собой. Некоторые части просты, тогда как для других частей приведены обширные подсказки. Мы рассматриваем измеримое пространство (Rk,Bk,λk)\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right). Определим C∞\mathfrak {C}^{\infty } как совокупность вещественнозначных функций на Rk\mathbb {R}^{k}, имеющих непрерывные частные производные всех порядков; Cc∞\mathfrak {C}_{c}^{\infty } будет обозначать те элементы C∞\mathfrak {C}^{\infty }, которые имеют компактный носитель.

Задача 8.6.5

Для каждого t∈Rt \in \mathbb {R} запишем h(t)=e−1t  1(0,+∞)(t)h(t)=e^{-\frac{1}{t}} \; \mathbb {1}_{(0,+\infty )}(t). Цель здесь — показать, что hh имеет непрерывные производные всех порядков.

?
(a)

Проверьте для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}, что h(n)(t)=Pn(1t)e−1th^{(n)}(t)=P_{n}\left(\frac{1}{t}\right) e^{-\frac{1}{t}} при t>0t>0, где PnP_{n} — многочлен степени 2n2n без членов нулевой степени. [Несложно; используйте индукцию.]

(b)

Мы знаем, что h(n)(t)=0h^{(n)}(t)=0 для каждого n∈Nn \in \mathbb {N} и t<0t<0, так что остаётся обсудить лишь случай t=0t=0. Покажите, что h(n)(0)=0h^{(n)}(0)=0 для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}. [Используйте определение производной. При n=1n=1 имеем lim⁡δ→0−δ−1[h(δ)−h(0)]=0\lim_{\delta \rightarrow 0^{-}} \delta^{-1}\left[h(\delta )-h(0)\right]=0 и lim⁡δ→0+δ−1[h(δ)−h(0)]=lim⁡x→+∞xe−x=0\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}} \delta^{-1}\left[h(\delta )-h(0)\right]=\lim_{x \rightarrow +\infty } x e^{-x}=0, так что h′(0)h^{\prime }(0) существует и равна нулю. Теперь предположим, что h(n)(0)=0h^{(n)}(0)=0. Покажите, что lim⁡δ→0−δ−1[h(n)(δ)−h(n)(0)]=0\lim_{\delta \rightarrow 0^{-}} \delta^{-1}\left[h^{(n)}(\delta )-h^{(n)}(0)\right]=0 и

lim⁡δ→0+δ−1[h(n)(δ)−h(n)(0)]=lim⁡δ→0+δ−1Pn(δ−1)e−1δ=lim⁡x→+∞xPn(x)e−x=0, \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \delta ^{-1}\left[h^{(n)}(\delta )-h^{(n)}(0)\right]=\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \delta ^{-1} P_{n}\left(\delta ^{-1}\right) e^{-\frac{1}{\delta }}=\lim _{x \rightarrow +\infty } x P_{n}(x) e^{-x}=0,

так что h(n+1)(0)h^{(n+1)}(0) существует и равна 00.]

(c)

Объедините (a) и (b), чтобы заключить, что hh действительно обладает непрерывными производными всех порядков.

Задача 8.6.6

Пусть g:Rk→Rg: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R} определена как g(x)=h(1−∥x∥2)g(\boldsymbol {x})=h\left(1-\left\| \boldsymbol {x}\right\|^{2}\right), где hh — функция из упражнения 8.6.5. Докажите следующие несложные свойства gg:

?
(a)

g∈C∞g \in \mathfrak {C}^{\infty }.

(b)

∥x∥⩾1\left\| \boldsymbol {x}\right\| \geqslant 1 влечёт g(x)=0g(\boldsymbol {x})=0, следовательно g∈Cc∞g \in \mathfrak {C}_{c}^{\infty }.

(c)

0⩽∥x∥<10 \leqslant \left\| \boldsymbol {x}\right\| <1 влечёт g(x)>0g(\boldsymbol {x})>0, следовательно ∫g=∫B(0,1)g>0\int g=\int_{B(\mathbf{0}, 1)} g>0.

(d)

gg ограничена.

Задача 8.6.7

Пусть ϕ:Rk→R\phi : \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R} определена как ϕ(x)=1cg(x)\phi (\boldsymbol {x})=\frac{1}{c} g(\boldsymbol {x}), где c=∫g>0c=\int g>0 [из пункта (c) упражнения 8.6.6, gg — функция, определённая там]. Ниже приведены следующие весьма несложные свойства ϕ\phi.

?
(a)

ϕ∈Cc∞\phi \in \mathfrak {C}_{c}^{\infty }.

(b)

ϕ⩾0\phi \geqslant 0 и ϕ\phi ограничена.

(c)

ϕ(x)>0\phi (\boldsymbol {x})>0 тогда и только тогда, когда 0⩽∥x∥<10 \leqslant \left\| \boldsymbol {x}\right\| <1.

(d)

∫ϕ=1\int \phi =1.

Задача 8.6.8

Для каждого 0<a<+∞0<a<+\infty и x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k} запишем ϕa(x)=a−nϕ(xa)\phi_{a}(\boldsymbol {x})=a^{-n} \phi \left(\frac{\boldsymbol {x}}{a}\right), где ϕ\phi — функция из упражнения 8.6.7. Докажите следующие свойства ϕa\phi_{a} для каждого 0<a<+∞0<a<+\infty.

?
(a)

ϕa∈Cc∞\phi_{a} \in \mathfrak {C}_{c}^{\infty }.

(b)

ϕa\phi_{a} неотрицательна и ограничена.

(c)

ϕa(x)>0\phi_{a}(\boldsymbol {x})>0 тогда и только тогда, когда 0⩽∥x∥<a0 \leqslant \left\| \boldsymbol {x}\right\| <a. [Эти первые три пункта несложны.]

(d)

∫ϕa=1\int \phi_{a}=1. [Пусть T\boldsymbol {T} обозначает k×kk \times k-матрицу 1aI\frac{1}{a} \boldsymbol {I}, где I\boldsymbol {I} — единичная матрица порядка kk. По утверждению 1 раздела 7.5 имеем

∫ϕa(x) dλk(x)=a−n∫ϕ(Tx) dλk(x)=a−ndet⁡(T−1)∫ϕ(x) dλk(x)=1. \int \phi _{a}(\boldsymbol {x}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {x})=a^{-n} \int \phi (\boldsymbol {T} \boldsymbol {x}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {x})=a^{-n} \operatorname {det}\left(\boldsymbol {T}^{-1}\right) \int \phi (\boldsymbol {x}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {x})=1 .

Утверждение 1 раздела 7.5: Предположим, что T\boldsymbol {T} обозначает невырожденное преобразование из Rk\mathbb {R}^{k} в Rk\mathbb {R}^{k}. Пусть f:Rk→R‾f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}} обозначает измеримое по Лебегу отображение. Тогда f∘Tf \circ \boldsymbol {T} измеримо по Лебегу, и если ff неотрицательна, то ∫f dλˉk=∣det⁡(T)∣∫f∘T dλˉk\int f \, d\bar{\lambda }_{k}=\left|\operatorname {det}\left(\boldsymbol {T}\right)\right| \int f \circ \boldsymbol {T} \, d\bar{\lambda }_{k}.]

Задача 8.6.9

Пусть f∈L1(Rk,Bk,λk)f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right). Для каждого 0<a<+∞0<a<+\infty и x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k} определим

ψa(x)=∫f(y)ϕa(x−y) dλk(y), \psi _{a}(\boldsymbol {x})=\int f(\boldsymbol {y}) \phi _{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {y}),

где ϕa\phi_{a} — функция из упражнения 8.6.8.

?
(a)

ψa\psi_{a} корректно определена, поскольку интеграл существует, и ψa\psi_{a} ограничена. [Мы знаем, что ϕa\phi_{a} ограничена, скажем ϕa⩽Ma\phi_{a} \leqslant M_{a}, так что ∣f(y)ϕa(x−y)∣⩽∣f(y)∣Ma\left|f(\boldsymbol {y}) \phi_{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y})\right| \leqslant \left|f(\boldsymbol {y})\right| M_{a} для каждых x,y∈Rk\boldsymbol {x}, \boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}; заметим, что fMa∈L1f M_{a} \in L^{1}.]

(b)

Для каждого i=1,…,ki=1, \ldots , k и x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k} получаем

∂∂xiψa(x)=∫f(y)∂∂xiϕa(x−y) dλk(y), \frac{\partial }{\partial x_{i}} \psi _{a}(\boldsymbol {x})=\int f(\boldsymbol {y}) \frac{\partial }{\partial x_{i}} \phi _{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {y}),

следовательно, ψa\psi_{a} непрерывна. [Используйте рассуждение, приведённое в подсказке к (a).]

(c)

Для каждых i,j∈{1,…,k}i, j \in \left\{ 1, \ldots , k\right\} и x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k} имеем

∂2∂xj∂xiψa(x)=∫f(y)∂2∂xj∂xiϕa(x−y) dλk(y). \frac{\partial ^{2}}{\partial x_{j} \partial x_{i}} \psi _{a}(\boldsymbol {x})=\int f(\boldsymbol {y}) \frac{\partial ^{2}}{\partial x_{j} \partial x_{i}} \phi _{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {y}).

Заключите, что ∂∂xiψa(x)\frac{\partial }{\partial x_{i}} \psi_{a}(\boldsymbol {x}) — непрерывная функция от x\boldsymbol {x}. [Здесь можно применить рассуждение того же типа, что и в (b).]

(d)

Используйте (b), (c) и индукцию, чтобы получить ψa∈C∞\psi_{a} \in \mathfrak {C}^{\infty }.

(e)

Если ff имеет компактный носитель, то и ψa\psi_{a} имеет компактный носитель. [Пусть f=0f=0 на B(0,r)cB(\mathbf{0}, r)^{c} для некоторого r>0r>0. Если ψa(x)≠0\psi_{a}(\boldsymbol {x}) \neq 0, то по определению существует y∈Rk\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k} такое, что f(y)ϕa(x−y)≠0f(\boldsymbol {y}) \phi_{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \neq 0. Если f(y)≠0f(\boldsymbol {y}) \neq 0, то y∈B(0,r)\boldsymbol {y} \in B(\mathbf{0}, r). Если ϕa(x−y)≠0\phi_{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \neq 0, то x−y∈B(0,a)\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y} \in B(\mathbf{0}, a). Заметим, что в любом случае следует ∥x∥⩽∥y∥+∥x−y∥<r+a\left\| \boldsymbol {x}\right\| \leqslant \left\| \boldsymbol {y}\right\| +\left\| \boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}\right\| <r+a. Таким образом, ψa(x)≠0\psi_{a}(\boldsymbol {x}) \neq 0 влечёт x∈B(0,r+a)\boldsymbol {x} \in B(\mathbf{0}, r+a), так что ψa\psi_{a} имеет компактный носитель.]

(f)

Если ff имеет компактный носитель, то ψa∈Cc∞\psi_{a} \in \mathfrak {C}_{c}^{\infty }. [Автоматически следует из предыдущих пунктов.]

Задача 8.6.10

Упражнения 8.6.5-8.6.9 приводят к следующему основному результату: Cc∞\mathfrak {C}_{c}^{\infty } плотно в L1(Rk,Bk,λk)L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right). Мы достигнем этого, показав, что Cc∞\mathfrak {C}_{c}^{\infty } плотно в Cc\mathfrak {C}_{c}. Поскольку Cc\mathfrak {C}_{c} плотно в L1L^{1}, утверждение будет следовать. Мы сделаем это по данному плану.

?
(a)

Пусть f∈Ccf \in \mathfrak {C}_{c} и ε>0\varepsilon >0; найдите r>0r>0 такое, что f=0f=0 на B(0,r)cB(\mathbf{0}, r)^{c}. Покажите, что существует 0<a⩽10<a \leqslant 1 такое, что

∥y−x∥⩽a влечёт ∣f(y)−f(x)∣⩽ελk(B(0,r+1)). \left\| \boldsymbol {y}-\boldsymbol {x}\right\| \leqslant a \text{ влечёт } \left|f(\boldsymbol {y})-f(\boldsymbol {x})\right| \leqslant \frac{\varepsilon }{\lambda _{k}\left(B(\mathbf{0}, r+1)\right)} .

[Заметим, что ff равномерно непрерывна, поскольку ff непрерывна и имеет компактный носитель.]

(b)

Имеем f(x)=∫f(x)ϕa(x−y) dλk(y)f(\boldsymbol {x})=\int f(\boldsymbol {x}) \phi_{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda_{k}(\boldsymbol {y}) для каждого x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}. [Тривиально по пункту (d) упражнения 8.6.8, который утверждает, что ∫ϕa=1\int \phi_{a}=1.]

(c)

И ff, и ψa\psi_{a} равны нулю на B(0,r+1)cB(\mathbf{0}, r+1)^{c}. [Вспомните, что 0<a⩽10<a \leqslant 1. Остальное несложно.]

(d)

Для каждого x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k} имеем

∣ψa(x)−f(x)∣⩽ελk(B(0,r+1)). \left|\psi _{a}(\boldsymbol {x})-f(\boldsymbol {x})\right| \leqslant \frac{\varepsilon }{\lambda _{k}\left(B(\mathbf{0}, r+1)\right)} .

[Имеем

∣ψa(x)−f(x)∣=∣∫[f(y)−f(x)]ϕa(x−y) dλk(y)∣⩽∫∣f(y)−f(x)∣ϕa(x−y) dλk(y)=∫y∈Rk:∥x−y∥⩽a∣f(y)−f(x)∣ϕa(x−y) dλk(y)⩽ελk(B(0,r+1))∫y∈Rk:∥x−y∥⩽aϕa(x−y) dλk(y)=ελk(B(0,r+1)). \begin{aligned} \left|\psi _{a}(\boldsymbol {x})-f(\boldsymbol {x})\right| & =\left|\int \left[f(\boldsymbol {y})-f(\boldsymbol {x})\right] \phi _{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {y})\right| \\ & \leqslant \int \left|f(\boldsymbol {y})-f(\boldsymbol {x})\right| \phi _{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {y}) \\ & =\int _{\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}: \left\| \boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}\right\| \leqslant a}\left|f(\boldsymbol {y})-f(\boldsymbol {x})\right| \phi _{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {y}) \\ & \leqslant \frac{\varepsilon }{\lambda _{k}\left(B(\mathbf{0}, r+1)\right)} \int _{\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}: \left\| \boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}\right\| \leqslant a} \phi _{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {y}) \\ & =\frac{\varepsilon }{\lambda _{k}\left(B(\mathbf{0}, r+1)\right)} . \end{aligned}

]

(e)

Имеем ∥ψa−f∥1⩽ε\left\| \psi_{a}-f\right\|_{1} \leqslant \varepsilon, и, следовательно, Cc∞\mathfrak {C}_{c}^{\infty } плотно в Cc\mathfrak {C}_{c}. [Имеем

∥ψa−f∥1=∫∣ψa(x)−f(x)∣ dλk(x)=∫B(0,r+1)∣ψa(x)−f(x)∣ dλk(x)⩽[ελk(B(0,r+1))]∫B(0,r+1)dλk(x)=ελk(B(0,r+1))λk(B(0,r+1))=ε. \begin{aligned} \left\| \psi _{a}-f\right\| _{1} & =\int \left|\psi _{a}(\boldsymbol {x})-f(\boldsymbol {x})\right| \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {x}) \\ & =\int _{B(\mathbf{0}, r+1)}\left|\psi _{a}(\boldsymbol {x})-f(\boldsymbol {x})\right| \, d\lambda _{k}(\boldsymbol {x}) \\ & \leqslant \left[\frac{\varepsilon }{\lambda _{k}\left(B(\mathbf{0}, r+1)\right)}\right] \int _{B(\mathbf{0}, r+1)} d\lambda _{k}(\boldsymbol {x}) \\ & =\frac{\varepsilon }{\lambda _{k}\left(B(\mathbf{0}, r+1)\right)} \lambda _{k}\left(B(\mathbf{0}, r+1)\right) \\ & =\varepsilon . \end{aligned}

]

§
8.7 · Дополнительные виды сходимости[16/31%]
Задача 8.7.1

Докажите следующие простые утверждения.

?
(a)

Пусть {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } обозначает последовательность Коши в LpL^{p}, где 0<p<∞0<p<\infty. Покажите, что {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } является последовательностью Коши по мере: для каждых ε>0\varepsilon >0 и δ>0\delta >0 существует N∈NN \in \mathbb {N} такое, что для всех n,m⩾Nn, m \geqslant N имеем μ({ω∈Ω:∣fn(ω)−fm(ω)∣>δ})<ε\mu \left(\left\{ \omega \in \Omega :\left|f_{n}(\omega )-f_{m}(\omega )\right|>\delta \right\} \right)<\varepsilon.

(b)

Пусть f,f1,f2,…∈Lpf, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p} и предположим, что fn→Lpff_{n} \xrightarrow {L^{p}} f, где 0<p<∞0<p<\infty. Если g∈L∞g \in L^{\infty }, то fg,f1g,f2g,…∈Lpf g, f_{1} g, f_{2} g, \ldots \in L^{p} и fng→Lpfgf_{n} g \xrightarrow {L^{p}} f g.

Задача 8.7.2

Хотя сходимость в среднем порядка pp влечёт сходимость по мере, неверно, что сходимость по мере влечёт сходимость в среднем порядка pp.

?
Задача 8.7.3

Возможно, чтобы последовательность {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } в LpL^{p} сходилась μ\mu-п. в. к некоторой f∈Lpf \in L^{p}, но не в среднем порядка pp. То есть, сходимость μ\mu-п. в. не влечёт сходимость в среднем порядка pp.

?
Задача 8.7.4

Возможно, чтобы последовательность {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } в LpL^{p} сходилась в среднем порядка pp к нулю, но {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } не сходилась ни в одной точке Ω\Omega.

?
Задача 8.7.5

Возможно существование функций f,f1,f2,…∈Lp1∩Lp2f, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p_{1}} \cap L^{p_{2}} таких, что fn→Lp1ff_{n} \xrightarrow {L^{p_{1}}} f, но fn̸→Lp2ff_{n} \not\xrightarrow {L^{p_{2}}} f.

?
Задача 8.7.6

Пусть 1<p0<+∞1<p_{0}<+\infty. Существует последовательность {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } в LpL^{p} для всех 1⩽p<p01 \leqslant p<p_{0} с fn→Lp0f_{n} \xrightarrow {L^{p}} 0 для всех 1⩽p<p01 \leqslant p<p_{0}, но fnf_{n} не сходится в среднем порядка p0p_{0}.

?
Задача 8.7.7

Пусть 1⩽p,q<+∞1 \leqslant p, q<+\infty, и пусть {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } обозначает последовательность в Lp∩LqL^{p} \cap L^{q}. Предположим, что существуют g∈Lpg \in L^{p} и h∈Lqh \in L^{q} с fn→Lpgf_{n} \xrightarrow {L^{p}} g и fn→Lqhf_{n} \xrightarrow {L^{q}} h. Тогда g=hg=h μ\mu-п.в. на Ω\Omega.

?
Задача 8.7.8

Предположим, что {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } — последовательность в LpL^{p}, где 1<p<+∞1<p<+\infty. Предположим, что h∈L1h \in L^{1} с fn⩽hf_{n} \leqslant h μ\mu-п.в. на Ω\Omega. Если fnf_{n} сходится по мере к некоторой ff, то f∈Lpf \in L^{p} и fn→Lpff_{n} \xrightarrow {L^{p}} f.

?
Задача 8.7.9

Если f,f1,f2,…∈Lpf, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p} таковы, что fn→ff_{n} \rightarrow f равномерно, то fn→Lpff_{n} \xrightarrow {L^{p}} f.

?
Примечание.
?

Здесь 0<p<+∞0<p<+\infty.

Задача 8.7.10

Пусть f,f1,f2,…∈Lpf, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p}, где 1⩽p⩽+∞1 \leqslant p \leqslant +\infty, и предположим, что ∥fn∥p→∥f∥p\left\| f_{n}\right\|_{p} \rightarrow \left\| f\right\|_{p}. Тогда каждое из условий fn→ff_{n} \rightarrow f μ\mu-п.в. на Ω\Omega и fn→ff_{n} \rightarrow f по мере достаточно для заключения fn→Lpff_{n} \xrightarrow {L^{p}} f.

?
Задача 8.7.11

Рассмотрим измеримое пространство ([0,1],B,λ)\left(\left[0,1\right], \mathscr {B}, \lambda \right), где здесь B\mathscr {B} обозначает борелевские подмножества [0,1]\left[0,1\right], а λ\lambda обозначает меру Лебега, ограниченную на B\mathscr {B}. Пусть fn=n  1[0,n−1]f_{n}=n \; \mathbb {1}_{\left[0, n^{-1}\right]} для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}. Тогда каждая fnf_{n} принадлежит LpL^{p} при 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty, fn→0f_{n} \rightarrow 0 μ\mu-п.в. на [0,1]\left[0,1\right] и по мере, но ∫fng↛∫0g\int f_{n} g \not\rightarrow \int 0 g при g=1g=1, и, следовательно, fn↛0f_{n} \not\rightarrow 0 слабо.

Определение. Рассмотрим общее измеримое пространство (Ω,F,μ)\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right), и пусть 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty. Пусть f,f1,f2,…∈Lpf, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p}. Мы будем говорить, что fn→ff_{n} \rightarrow f слабо [в LpL^{p}], если

lim⁡n∫fng=∫fgдля каждой g∈Lp′. \lim _{n} \int f_{n} g = \int f g \quad \text{для каждой } g \in L^{p^{\prime }}.

Здесь p′p^{\prime } обозначает сопряжённый показатель к pp: p′=pp−1p^{\prime }=\frac{p}{p-1} при 1<p<+∞1<p<+\infty, и 1′=+∞1^{\prime }=+\infty.

?
Задача 8.7.12

Рассмотрим измеримое пространство (R,B,λ)\left(\mathbb {R}, \mathscr {B}, \lambda \right). Пусть fn=n−1  1[1,en]f_{n}=n^{-1} \; \mathbb {1}_{\left[1, e^{n}\right]} для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}. Тогда каждая fnf_{n} принадлежит LpL^{p} при 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty, fn→0f_{n} \rightarrow 0 равномерно, но fn↛0f_{n} \not\rightarrow 0 слабо в LpL^{p}.

?
Примечание.
?

Рассмотрим функцию g(ω)=ω−1  1[1,+∞)(ω)g(\omega )=\omega^{-1} \; \mathbb {1}_{[1,+\infty )}(\omega ). Имеем, что g∈Lp′g \in L^{p^{\prime }} для каждого 1<p<+∞1<p<+\infty, gg ограничена, и ∫fng=1\int f_{n} g=1 для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}, тогда как ∫0g=0\int 0 g=0.

Задача 8.7.13

Рассмотрим измеримое пространство ([0,2π],B,λ)\left(\left[0,2 \pi \right], \mathscr {B}, \lambda \right), где здесь B\mathscr {B} обозначает борелевские подмножества [0,2π]\left[0,2 \pi \right], а λ\lambda обозначает меру Лебега, ограниченную на B\mathscr {B}. Для каждого n∈Nn \in \mathbb {N} и 0⩽ω⩽2π0 \leqslant \omega \leqslant 2 \pi определим fn(ω)=cos⁡nωf_{n}(\omega )=\cos n \omega. Тогда каждая fnf_{n} принадлежит L1L^{1}, и fn→0f_{n} \rightarrow 0 слабо в L1L^{1}. Однако fn↛0f_{n} \not\rightarrow 0. На самом деле имеем fn̸→μ0f_{n} \not\xrightarrow {\mu } 0 и fn↛0f_{n} \not\rightarrow 0 μ\mu-п.в. на Ω\Omega.

?
Примечание.
?

Это упражнение может оказаться сложным.

Задача 8.7.14

Обратитесь к теореме Витали о сходимости. Докажите, что условия (i) и (ii) влекут, что f∈Lpf \in L^{p} и fn→ff_{n} \rightarrow f в среднем порядка pp, когда μ(Ω)=+∞\mu (\Omega )=+\infty.

Теорема Витали о сходимости (случай конечной меры). Пусть (Ω,F,μ)\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right) обозначает измеримое пространство с μ(Ω)<+∞\mu (\Omega )<+\infty, и пусть 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty. Пусть {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } обозначает последовательность функций в LpL^{p}. Пусть ff обозначает F/B∗\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}-измеримую функцию на Ω\Omega такую, что fn→ff_{n} \rightarrow f μ\mu-п.в. на Ω\Omega и ff конечна μ\mu-п.в. на Ω\Omega. Тогда условие f∈Lpf \in L^{p} и fn→Lpff_{n} \xrightarrow {L^{p}} f эквивалентно паре условий (i) для каждого ε>0\varepsilon >0 существует A∈FA \in \mathcal{F} [зависящее от ε\varepsilon] с μ(A)<+∞\mu (A)<+\infty и ∫Ac∣fn∣p<ε\int_{A^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}, и (ii) для каждого ε>0\varepsilon >0 существует δ>0\delta >0 [зависящее только от ε\varepsilon, не от nn] такое, что при μ(E)<δ\mu (E)<\delta имеем ∫E∣fn∣p<ε\int_{E} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}.

?
Задача 8.7.15

Пусть (Ω,F,μ)\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right) обозначает измеримое пространство с 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty. Пусть {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } обозначает последовательность в LpL^{p}, и пусть ff обозначает F/B∗\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}-измеримую функцию, конечную μ\mu-п.в. на Ω\Omega, с fn→ff_{n} \rightarrow f μ\mu-п.в. на Ω\Omega. Для каждых n,k∈Nn, k \in \mathbb {N} пусть Bn,k={ω∈Ω:∣fn(ω)∣p⩾k}B_{n, k}=\left\{ \omega \in \Omega :\left|f_{n}(\omega )\right|^{p} \geqslant k\right\}. Сделаем следующее дополнительное предположение (a): для каждого ε>0\varepsilon >0 существует множество A∈FA \in \mathcal{F} [зависящее от ε\varepsilon] такое, что μ(A)<+∞\mu (A)<+\infty и ∫Ac∣fn∣p<ε\int_{A^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}.

Тогда следующие четыре утверждения логически эквивалентны:

  1. f∈Lpf \in L^{p} и fn→Lpff_{n} \xrightarrow {L^{p}} f

  2. Если {Ek}k=1∞\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{\infty } — невозрастающая последовательность множеств из F\mathcal{F} с пределом ∅\varnothing, то для каждого ε>0\varepsilon >0 существует K∈NK \in \mathbb {N} такое, что k⩾Kk \geqslant K влечёт ∫Ek∣fn∣p<ε\int_{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}.

  3. Для каждого ε>0\varepsilon >0 существует K∈NK \in \mathbb {N} такое, что k⩾Kk \geqslant K влечёт ∫Bn,k∣fn∣p<ε\int_{B_{n, k}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}.

  4. Для каждого ε>0\varepsilon >0 существует δ>0\delta >0 такое, что μ(E)<δ\mu (E)<\delta влечёт ∫E∣fn∣p<ε\int_{E} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}.

Теорема Витали о сходимости (случай конечной меры). Пусть (Ω,F,μ)\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right) обозначает измеримое пространство с μ(Ω)<+∞\mu (\Omega )<+\infty, и пусть 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty. Пусть {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } обозначает последовательность функций в LpL^{p}. Пусть ff обозначает F/B∗\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}-измеримую функцию на Ω\Omega такую, что fn→ff_{n} \rightarrow f μ\mu-п.в. на Ω\Omega и ff конечна μ\mu-п.в. на Ω\Omega. Тогда условие f∈Lpf \in L^{p} и fn→Lpff_{n} \xrightarrow {L^{p}} f эквивалентно паре условий (i) для каждого ε>0\varepsilon >0 существует A∈FA \in \mathcal{F} с μ(A)<+∞\mu (A)<+\infty и ∫Ac∣fn∣p<ε\int_{A^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}, и (ii) для каждого ε>0\varepsilon >0 существует δ>0\delta >0 такое, что при μ(E)<δ\mu (E)<\delta имеем ∫E∣fn∣p<ε\int_{E} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}.

?
Примечание.
?

Полезен следующий план. По теореме Витали о сходимости и упражнению 8.7.14 непосредственно следует, что (i) и (iv) логически эквивалентны.

Покажем, что (i) влечёт (ii). Пусть ε>0\varepsilon >0. Найдём N∈NN \in \mathbb {N} такое, что n⩾Nn \geqslant N влечёт ∥fn−f∥p<ε\left\| f_{n}-f\right\|_{p}<\varepsilon. Для n⩾Nn \geqslant N и k∈Nk \in \mathbb {N} неравенство Минковского даёт

(∫Ek∣fn∣p)1/p⩽(∫Ek∣f∣p)1/p+(∫Ek∣fn−f∣p)1/p<(∫Ek∣f∣p)1/p+ε. \left(\int _{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p} \leqslant \left(\int _{E_{k}} \left|f\right|^{p}\right)^{1 / p}+\left(\int _{E_{k}} \left|f_{n}-f\right|^{p}\right)^{1 / p} <\left(\int _{E_{k}} \left|f\right|^{p}\right)^{1 / p}+\varepsilon .

Примените теорему о мажорируемой сходимости к {∣f∣p  1Ek}k=1∞\left\{ \left|f\right|^{p} \; \mathbb {1}_{E_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty }, чтобы показать, что (∫Ek∣fn∣p)1/p<ε\left(\int_{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}<\varepsilon при достаточно больших kk, скажем k⩾Kk \geqslant K. Тогда для каждого n∈Nn \in \mathbb {N} и k⩾Kk \geqslant K имеем (∫Ek∣fn∣p)1/p<2ε\left(\int_{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}<2 \varepsilon. Для n∈{1,…,N−1}n \in \left\{ 1, \ldots , N-1\right\} заметим, что для каждого k∈Nk \in \mathbb {N} имеем

∫Ek∣fn∣p⩽∫Ekmax⁡{∣f1∣p,…,∣fN−1∣p}<+∞, \int _{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \int _{E_{k}} \max \left\{ \left|f_{1}\right|^{p}, \ldots , \left|f_{N-1}\right|^{p}\right\} <+\infty ,

и, следовательно, можно применить теорему о мажорируемой сходимости, чтобы получить (ii).

Теперь предположим (ii), выбрав ε>0\varepsilon >0. Для каждого k∈Nk \in \mathbb {N} определим Ek=⋃n=k∞Bn,kE_{k}=\bigcup_{n=k}^{\infty } B_{n, k}. Тогда E1⊇E2⊇⋯E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \cdots, и lim⁡‾n∣fn(ω)∣=+∞\overline{\lim }_{n} \left|f_{n}(\omega )\right|=+\infty на ⋂k=1∞Ek\bigcap_{k=1}^{\infty } E_{k}; отсюда μ(⋂k=1∞Ek)=0\mu \left(\bigcap_{k=1}^{\infty } E_{k}\right)=0. Далее, запишем Fk=Ek−⋂j=1∞EjF_{k}=E_{k}-\bigcap_{j=1}^{\infty } E_{j} для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}. Имеем, что F1⊇F2⊇⋯F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots и lim⁡kFk=∅\lim_{k} F_{k}=\varnothing. Выберем KK такое, что k⩾Kk \geqslant K влечёт ∫Fk∣fn∣p<ε\int_{F_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}. Для каждого n⩾Kn \geqslant K имеем Bn,K⊆EKB_{n, K} \subseteq E_{K}. Следовательно, если n,k⩾Kn, k \geqslant K, то

∫Bn,k∣fn∣p⩽∫Bn,K∣fn∣p⩽∫EK∣fn∣p=∫FK∣fn∣p<ε. \int _{B_{n, k}} \left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \int _{B_{n, K}} \left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \int _{E_{K}} \left|f_{n}\right|^{p}=\int _{F_{K}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon .

Для n∈{1,…,K−1}n \in \left\{ 1, \ldots , K-1\right\} имеем ∣fn∣p⩽max⁡{∣f1∣p,…,∣fK−1∣p}=g\left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \max \left\{ \left|f_{1}\right|^{p}, \ldots , \left|f_{K-1}\right|^{p}\right\} =g, скажем, и, следовательно, ∫Bn,k∣fn∣p⩽∫Bkg<+∞\int_{B_{n, k}} \left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \int_{B_{k}} g<+\infty, где Bk=⋃n=1K−1Bn,k={ω∈Ω:g(ω)⩾k}B_{k}=\bigcup_{n=1}^{K-1} B_{n, k}=\left\{ \omega \in \Omega : g(\omega ) \geqslant k\right\}. Используйте теорему о мажорируемой сходимости, чтобы напрямую вывести (iii).

Теперь предположим (iii). Выберем K∈NK \in \mathbb {N} такое, что k⩾Kk \geqslant K влечёт ∫Bn,k∣fn∣p<εp\int_{B_{n, k}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon^{p} для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}. Покажите, что μ(E)<K−1εp\mu (E)<K^{-1} \varepsilon^{p} влечёт

(∫E∣fn∣p)1/p⩽(∫E∩Bn,K∣fn∣p)1/p+(∫E∩Bn,Kc∣fn∣p)1/p<2ε. \left(\int _{E} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p} \leqslant \left(\int _{E \cap B_{n, K}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}+\left(\int _{E \cap B_{n, K}^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}<2 \varepsilon .

Следовательно, мы можем вывести (iv) из (iii).

Задача 8.7.16

Предположим всё из упражнения 8.7.15, включая (a). Предположим далее, что выполняется (ii). Покажите, что (i) и (ii) теоремы Витали о сходимости следуют как следствия.

Теорема Витали о сходимости (случай конечной меры). Пусть (Ω,F,μ)\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right) обозначает измеримое пространство с μ(Ω)<+∞\mu (\Omega )<+\infty, и пусть 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty. Пусть {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } обозначает последовательность функций в LpL^{p}. Пусть ff обозначает F/B∗\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}-измеримую функцию на Ω\Omega такую, что fn→ff_{n} \rightarrow f μ\mu-п.в. на Ω\Omega и ff конечна μ\mu-п.в. на Ω\Omega. Тогда условие f∈Lpf \in L^{p} и fn→Lpff_{n} \xrightarrow {L^{p}} f эквивалентно паре условий (i) для каждого ε>0\varepsilon >0 существует A∈FA \in \mathcal{F} с μ(A)<+∞\mu (A)<+\infty и ∫Ac∣fn∣p<ε\int_{A^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}, и (ii) для каждого ε>0\varepsilon >0 существует δ>0\delta >0 такое, что при μ(E)<δ\mu (E)<\delta имеем ∫E∣fn∣p<ε\int_{E} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon для каждого n∈Nn \in \mathbb {N}.

?
Примечание.
?

Конкретная форма теоремы Витали о сходимости, представленная в этом тексте и в двух предыдущих упражнениях [а также планы решений], обязаны своим существованием и формой в высшей степени превосходному изложению Хьюитта и Стромберга, стр. 203-205.

§
8.8 · Введение к теореме Рисса о представлении[4/0%]
Задача 8.8.1

Пусть TT определена на LpL^{p} [где 1<p<+∞1<p<+\infty] как T(f)=∫fhT(f)=\int f h, где h∈Lp′h \in L^{p^{\prime }} фиксирована. Тогда ∥T∥=∥h∥p′\left\| T\right\| =\left\| h\right\|_{p^{\prime }}.

?
Примечание.
?

Должно быть несложно получить ∥T∥⩽∥h∥p′\left\| T\right\| \leqslant \left\| h\right\|_{p^{\prime }}. Чтобы получить обратное неравенство, пусть f=∣h∣p′−1sign⁡(h)f=\left|h\right|^{p^{\prime }-1} \operatorname {sign}\left(h\right). Тогда ∣f∣p=∣h∣p′\left|f\right|^{p}=\left|h\right|^{p^{\prime }}, следовательно f∈Lpf \in L^{p}. Далее покажите, что ∥f∥p=∥g∥p′p′−1\left\| f\right\|_{p}=\left\| g\right\|_{p^{\prime }}^{p^{\prime }-1} и L(f)=∥f∥p∥h∥p′L(f)=\left\| f\right\|_{p}\left\| h\right\|_{p^{\prime }}, так что ∥L∥⩾∥h∥p′\left\| L\right\| \geqslant \left\| h\right\|_{p^{\prime }}.

Задача 8.8.2

В конкретном примере, упомянутом в обсуждении этого раздела о линейных преобразованиях, переформулируйте утверждения 3 и 4 применительно к данной конкретной постановке.

Утверждение 3: Пусть AA и BB обозначают нормированные линейные пространства, и пусть T:A→BT: A \rightarrow B обозначает линейное преобразование. Следующие условия эквивалентны: (a) TT ограничено. (b) TT равномерно непрерывно на AA. (c) TT непрерывно в некоторой точке x∈Ax \in A.

Утверждение 4: B(A,R)\mathcal{B}(A, \mathbb {R}) — полное нормированное линейное пространство над R\mathbb {R} относительно операторной нормы. То есть, B(A,R)\mathcal{B}(A, \mathbb {R}) является банаховым пространством. [Здесь B(A,R)={T:A→R:T — ограниченное линейное преобразование}\mathcal{B}(A, \mathbb {R}) = \left\{ T: A \rightarrow \mathbb {R} : T \text{ — ограниченное линейное преобразование}\right\}, снабжённое поточечно определёнными операциями векторного пространства и операторной нормой ∥T∥=sup⁡{∣T(x)∣:x∈A,∥x∥=1}\left\| T\right\| = \sup \left\{ \left|T(x)\right| : x \in A, \left\| x\right\| =1\right\}.]

Рассматриваемая конкретная постановка такова: A=LpA=L^{p} [где 1<p<+∞1<p<+\infty], B=RB=\mathbb {R}, и T:Lp→RT: L^{p} \rightarrow \mathbb {R} задана как T(f)=∫fhT(f)=\int f h для каждой f∈Lpf \in L^{p}, где h∈Lp′h \in L^{p^{\prime }} фиксирована.

?
Задача 8.8.3

Используя неравенства Кларксона, покажите, что LpL^{p} [где 1<p<+∞1<p<+\infty] локально равномерно выпукло: если {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } — последовательность в LpL^{p}, f∈Lpf \in L^{p}, ∥f∥p=∥f1∥p=∥f2∥p=⋯=1\left\| f\right\|_{p}=\left\| f_{1}\right\|_{p}=\left\| f_{2}\right\|_{p}=\cdots =1, то из lim⁡n∥12(fn+f)∥p=1\lim_{n}\left\| \frac{1}{2}\left(f_{n}+f\right)\right\|_{p}=1 следует lim⁡n∥fn−f∥p=0\lim_{n}\left\| f_{n}-f\right\|_{p}=0.

Неравенство Кларксона (случай 2⩽p<+∞2 \leqslant p<+\infty). Пусть 2⩽p<+∞2 \leqslant p<+\infty и f,g∈Lpf, g \in L^{p}. Тогда

∥f+g2∥pp+∥f−g2∥pp⩽∥f∥pp2+∥g∥pp2. \left\| \frac{f+g}{2}\right\| _{p}^{p}+\left\| \frac{f-g}{2}\right\| _{p}^{p} \leqslant \frac{\left\| f\right\| _{p}^{p}}{2}+\frac{\left\| g\right\| _{p}^{p}}{2} .

Неравенство Кларксона (случай 1<p<21<p<2). Пусть 1<p<21<p<2 и f,g∈Lpf, g \in L^{p}. Тогда

∥f+g2∥pp′+∥f−g2∥pp′⩽[∥f∥pp2+∥g∥pp2]1p−1. \left\| \frac{f+g}{2}\right\| _{p}^{p^{\prime }}+\left\| \frac{f-g}{2}\right\| _{p}^{p^{\prime }} \leqslant \left[\frac{\left\| f\right\| _{p}^{p}}{2}+\frac{\left\| g\right\| _{p}^{p}}{2}\right]^{\frac{1}{p-1}} .
?
Задача 8.8.4

Предположим, что (Ω,F,μ)(\Omega , \mathcal{F}, \mu ) обозначает измеримое пространство, где F\mathcal{F} содержит по крайней мере два непересекающихся множества конечной положительной меры.

?
(a)

Существует положительное вещественное число cc такое, что

1c⩽∥f+g∥p2+∥f−g∥p22(∥f∥p2+∥g∥p2)⩽c \frac{1}{c} \leqslant \frac{\left\| f+g\right\| _{p}^{2}+\left\| f-g\right\| _{p}^{2}}{2\left(\left\| f\right\| _{p}^{2}+\left\| g\right\| _{p}^{2}\right)} \leqslant c

для каждых f,g∈Lpf, g \in L^{p} таких, что хотя бы одна из ∥f∥p\left\| f\right\|_{p} и ∥g∥p\left\| g\right\|_{p} положительна.

(b)

Единственно возможное наименьшее cc в приведённом выше равно 2∣2−p∣p2^{\frac{\left|2-p\right|}{p}}, причём нижняя и верхняя границы в (a) достигаются.

§
8.9 · Теорема Рисса о представлении[2/0%]
Задача 8.9.1

Пусть множества A(t)A(t) и CC таковы, как в доказательстве теоремы Рисса о представлении, и пусть tnt_{n} обозначает последовательность с tn→0t_{n} \rightarrow 0. Мы покажем, что lim⁡n  1A(tn)∩C=  1A(0)∩C\lim_{n} \; \mathbb {1}_{A(t_{n}) \cap C}=\; \mathbb {1}_{A(0) \cap C} на Ω\Omega.

Постановка задачи (из доказательства теоремы Рисса о представлении). Пусть 1<p<21<p<2, пусть g∈Lpg \in L^{p} такова, что ∥g∥p=1\left\| g\right\|_{p}=1, и зафиксируем f∈Lpf \in L^{p}. Для каждого вещественного t0≠0t_{0} \neq 0 теорема о среднем значении даёт для каждого ω∈Ω\omega \in \Omega число t0∗(ω)t_{0}^{*}(\omega ) между 00 и t0t_{0} [зависящее от ω\omega] такое, что

∣t0f(ω)+g(ω)∣p−∣g(ω)∣pt0=∂∂t∣tf(ω)+g(ω)∣p∣t=t0∗(ω). \frac{\left|t_{0} f(\omega )+g(\omega )\right|^{p}-\left|g(\omega )\right|^{p}}{t_{0}}=\left.\frac{\partial }{\partial t}\left|t f(\omega )+g(\omega )\right|^{p}\right|_{t=t_{0}^{*}(\omega )} .

Для каждого вещественного t0≠0t_{0} \neq 0 определим

A(t0)={ω∈Ω:t0∗(ω)f(ω)+g(ω)≠0}; A(t_{0})=\left\{ \omega \in \Omega : t_{0}^{*}(\omega ) f(\omega )+g(\omega ) \neq 0\right\} ;

также положим A(0):=lim⁡nA(tn)A(0):=\lim_{n} A(t_{n}) [т.е., A(0)A(0) определяется как этот предел множеств, существование и значение которого устанавливают пункты (a)-(e) упражнения]. Наконец, пусть

C={ω∈Ω:f(ω)≠0}. C=\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \neq 0\right\} .
?
(a)

Достаточно показать, что lim⁡n[A(tn)∩C]=A(0)∩C\lim_{n}\left[A(t_{n}) \cap C\right]=A(0) \cap C.

(b)

lim⁡‾nA(tn)c⊆A(0)c\overline{\lim }_{n} A(t_{n})^{c} \subseteq A(0)^{c}, то есть A(0)⊆lim⁡‾nA(tn)A(0) \subseteq \underline{\lim }_{n} A(t_{n}). [Пусть ω∈lim⁡nA(tn)c\omega \in \lim_{n} A(t_{n})^{c}. Тогда существует возрастающая последовательность индексов n1<n2<⋯n_{1}<n_{2}<\cdots такая, что g(ω)=−tnk∗(ω)f(ω)g(\omega )=-t_{n_{k}}^{*}(\omega ) f(\omega ) для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}. Если f(ω)≠0f(\omega ) \neq 0, то g(ω)f(ω)=−tnk∗(ω)\frac{g(\omega )}{f(\omega )}=-t_{n_{k}}^{*}(\omega ) для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}. То есть, tn1∗(ω)=tn2∗(ω)=⋯t_{n_{1}}^{*}(\omega )=t_{n_{2}}^{*}(\omega )=\cdots. Поскольку tn→0t_{n} \rightarrow 0, имеем tnk∗(ω)→0t_{n_{k}}^{*}(\omega ) \rightarrow 0 при k→∞k \rightarrow \infty. Отсюда следует, что tnk∗(ω)=0t_{n_{k}}^{*}(\omega )=0 для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}. Но тогда g(ω)=0g(\omega )=0, так что ω∈A(0)c\omega \in A(0)^{c}. Если же f(ω)=0f(\omega )=0, то очевидно g(ω)=0g(\omega )=0, так что снова имеем ω∈A(0)c\omega \in A(0)^{c}.]

(c)

A(0)∩C⊆lim⁡‾n[A(tn)∩C]A(0) \cap C \subseteq \underline{\lim }_{n}\left[A(t_{n}) \cap C\right]. [Почти тривиально.]

(d)

lim⁡‾n[A(tn)∩C]⊆A(0)∩C\overline{\lim }_{n}\left[A(t_{n}) \cap C\right] \subseteq A(0) \cap C. [Предположим, что существует возрастающая последовательность индексов n1<n2<⋯n_{1}<n_{2}<\cdots такая, что ω∈A(tnk)∩C\omega \in A(t_{n_{k}}) \cap C для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}. Тогда имеем g(ω)≠−tnk∗(ω)f(ω)g(\omega ) \neq -t_{n_{k}}^{*}(\omega ) f(\omega ) для каждого k∈Nk \in \mathbb {N} и f(ω)≠0f(\omega ) \neq 0. Следовательно, g(ω)f(ω)=−tnk∗(ω)\frac{g(\omega )}{f(\omega )}=-t_{n_{k}}^{*}(\omega ) для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}, и то же рассуждение, что и в плане для (b), даёт tnk∗(ω)=0t_{n_{k}}^{*}(\omega )=0 для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}. Но тогда g(ω)≠0g(\omega ) \neq 0, и поскольку f(ω)≠0f(\omega ) \neq 0, мы получаем требуемый результат.]

(e)

Объединяя (c) и (d), покажите, что lim⁡n[A(tn)∩C]=A(0)∩C\lim_{n}\left[A(t_{n}) \cap C\right]=A(0) \cap C.

Задача 8.9.2

Пусть 1<p<+∞1<p<+\infty. Определим T:Lp′→B(Lp,R)T: L^{p^{\prime }} \rightarrow \mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right) [где B(Lp,R)\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right) обозначает совокупность ограниченных линейных преобразований из LpL^{p} в R\mathbb {R}], положив T(g)=LgT(g)=L_{g} для каждой g∈Lp′g \in L^{p^{\prime }}. [Обозначение LgL_{g} такое же, как в утверждении 1 этого раздела.]

Утверждение 1 (этого раздела). Пусть g∈Lp′g \in L^{p^{\prime }}, и определим Lg:Lp→RL_{g}: L^{p} \rightarrow \mathbb {R}, положив Lg(f)=∫fgL_{g}(f)=\int f g для каждой f∈Lpf \in L^{p}. Тогда LgL_{g} — ограниченный линейный функционал на LpL^{p}, и ∥Lg∥=∥g∥p′\left\| L_{g}\right\| =\left\| g\right\|_{p^{\prime }}.

Теорема Рисса о представлении. Пусть LL обозначает ограниченный линейный функционал на LpL^{p}, где 1<p<+∞1<p<+\infty. Тогда существует h∈Lp′h \in L^{p^{\prime }} [зависящая от LL] такая, что L(f)=∫fhL(f)=\int f h для каждой f∈Lpf \in L^{p}.

?
(a)

TT — линейное преобразование из Lp′L^{p^{\prime }} в B(Lp,R)\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right). [Непосредственно.]

(b)

TT сохраняет норму: ∥T(g)∥=∥g∥p′\left\| T(g)\right\| =\left\| g\right\|_{p^{\prime }} для каждой g∈Lp′g \in L^{p^{\prime }}. [Используйте утверждение 1.]

(c)

TT отображает на B(Lp,R)\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right). [Используйте теорему Рисса.]

(d)

TT инъективно. [Это следует из некоторых базовых свойств интеграла.]

(e)

Lp′L^{p^{\prime }} и B(Lp,R)\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right) — изоморфные банаховы пространства. [Объедините предыдущие пункты.]

Примечание.
?

Комментарий: По пункту (e) пространства Lp′L^{p^{\prime }} и B(Lp,R)\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right), хотя и состоят из формально различных объектов — первое пространство состоит из функций (точнее, классов эквивалентности функций), тогда как второе состоит из ограниченных линейных функционалов на LpL^{p}, — идентичны при рассмотрении их как банаховых пространств. Этот интересный факт нигде в данном тексте не используется.