8.5

Отношения включения для пространств LpL^{p}

[8/63%]
Показать
LaTeX
Задача 8.5.1

Рассмотрим измеримое пространство (R,B,λ)(\mathbb {R}, \mathfrak {B}, \lambda ). Пусть 1⩽p<q<∞1 \leqslant p<q< \infty, и пусть rr таково, что 1/q<r<1/p1 / q<r<1 / p.

?
(a)

Определим ff на R\mathbb {R}, положив f(x)=x−r  1(0,1)(x)f(x)=x^{-r} \; \mathbb {1}_{(0,1)}(x) для каждого x∈Rx \in \mathbb {R}. Тогда f∈Lpf \in L^{p}, но f∉Lqf \notin L^{q}. Следовательно, вообще говоря, включение Lp⊆LqL^{p} \subseteq L^{q} при p<qp<q не выполняется.

(b)

Пусть g(x)=x−r  1(1,∞)(x)g(x)=x^{-r} \; \mathbb {1}_{(1, \infty )}(x) для каждого x∈Rx \in \mathbb {R}. Тогда g∈Lqg \in L^{q}, но g∉Lpg \notin L^{p}. Следовательно, вообще говоря, включение Lq⊆LpL^{q} \subseteq L^{p} при p<qp<q не выполняется.

Задача 8.5.2

Пусть 0<p<r<∞0<p<r<\infty. Тогда Lp∩L∞⊆LrL^{p} \cap L^{\infty } \subseteq L^{r}, и для любой f∈Lp∩L∞f \in L^{p} \cap L^{\infty } имеем ∥f∥r⩽∥f∥pp/r∥f∥∞1−p/r\left\| f\right\|_{r} \leqslant \left\| f\right\|_{p}^{p / r}\left\| f\right\|_{\infty }^{1-p / r}.

?
Задача 8.5.3

Для любых 0<p<∞0<p<\infty и 0<M<∞0<M<\infty имеем

(∫∣f∣p)1/p⩾Mμ({ω∈Ω:∣f(ω)∣⩾M})1/p. \left(\int \left|f\right|^{p}\right)^{1 / p} \geqslant M \mu (\left\{ \omega \in \Omega :\left|f(\omega )\right| \geqslant M\right\} )^{1 / p} .
?
Задача 8.5.4

Пусть 0<r<∞0<r<\infty и предположим, что f∈Lr∩L∞f \in L^{r} \cap L^{\infty }, так что f∈Lpf \in L^{p} для каждого r<p<∞r<p<\infty по упражнению 8.5.2. Мы хотим показать, что lim⁡p→∞∥f∥p=∥f∥∞\lim_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{\infty }. Следуйте этому плану:

?
(a)

Игнорируя тривиальный случай, когда f=0μf=0 \mu-п.в. на Ω\Omega, пусть f≠0f \neq 0 на множестве положительной меры, так что ∥f∥∞>0\left\| f\right\|_{\infty }>0. Покажите, что lim inf⁡p→∞∥f∥p⩾∥f∥∞\liminf_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p} \geqslant \left\| f\right\|_{\infty }.

(b)

Покажите, что lim sup⁡p→∞∥f∥p⩽∥f∥∞\limsup_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p} \leqslant \left\| f\right\|_{\infty }.

(c)

Объедините (a) и (b), чтобы доказать утверждение.

Задача 8.5.5

Пусть μ(Ω)=1\mu (\Omega )=1 и 1⩽p⩽q⩽∞1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty. Покажите для произвольной ff, что

∫∣f∣⩽(∫∣f∣p)1/p=(∫∣f∣q)1/q⩽ess⁡sup⁡f \int \left|f\right| \leqslant \left(\int \left|f\right|^{p}\right)^{1 / p}=\left(\int \left|f\right|^{q}\right)^{1 / q} \leqslant \operatorname {ess} \sup f

так что ∥f∥1⩽∥f∥p⩽∥f∥q⩽∥f∥∞\left\| f\right\|_{1} \leqslant \left\| f\right\|_{p} \leqslant \left\| f\right\|_{q} \leqslant \left\| f\right\|_{\infty }.

?
Задача 8.5.6

Мы знаем, что lp⊆lq⊆l∞l^{p} \subseteq l^{q} \subseteq l^{\infty }, когда 0<p<q<+∞0<p<q<+\infty, по утверждению 5. Покажите далее, что

ess⁡sup⁡f⩽(∑ω∈Ω∣f(ω)∣q)1/q⩽(∑ω∈Ω∣f(ω)∣p)1/p \operatorname {ess} \sup f \leqslant \left(\sum _{\omega \in \Omega }\left|f(\omega )\right|^{q}\right)^{1 / q} \leqslant \left(\sum _{\omega \in \Omega }\left|f(\omega )\right|^{p}\right)^{1 / p}

для произвольной f∈lpf \in l^{p}, так что ∥f∥∞⩽∥f∥q⩽∥f∥p\left\| f\right\|_{\infty } \leqslant \left\| f\right\|_{q} \leqslant \left\| f\right\|_{p} для каждой f∈lpf \in l^{p}.

?
Примечание.
?

Утверждение 5: Для каждого 0<p<q<+∞0<p<q<+\infty имеем lp⊆lq⊆l∞l^{p} \subseteq l^{q} \subseteq l^{\infty }.

Задача 8.5.7

Рассмотрим (R,B,λ)\left(\mathbb {R}, \mathfrak {B}, \lambda \right).

?
(a)

Найдите ff такую, что f∈Lpf \in L^{p}, но f∉Lqf \notin L^{q} для каждого p<q<+∞p<q<+\infty.

(b)

Найдите ff такую, что f∈Lqf \in L^{q} для каждого 0<q<p0<q<p, но f∉Lpf \notin L^{p}.

(c)

Найдите неотрицательную конечнозначную функцию ff такую, что f∉Lpf \notin L^{p} для каждого 0<p<+∞0<p<+\infty.

(d)

Найдите ff такую, что f∈Lpf \in L^{p}, но f∉Lqf \notin L^{q} для каждого q∈(0,∞)−{p}q \in (0, \infty )-\left\{ p\right\}.

Задача 8.5.8

Пусть (Ω,F,μ)(\Omega , \mathcal{F}, \mu ) таковы, что μ(A)>0\mu (A)>0 влечёт μ(A)⩾1\mu (A) \geqslant 1 для каждого A∈FA \in \mathcal{F}. Пусть 1⩽p⩽q<+∞1 \leqslant p \leqslant q<+\infty. Тогда Lp⊆Lq⊆L∞L^{p} \subseteq L^{q} \subseteq L^{\infty } и ∥f∥∞⩽∥f∥q⩽∥f∥p\left\| f\right\|_{\infty } \leqslant \left\| f\right\|_{q} \leqslant \left\| f\right\|_{p}.

?