8.4

Пространство LpL^{p}: случай p=+∞p = +\infty

[7/43%]
Показать
LaTeX
Задача 8.4.1

В этой задаче мы рассматриваем формальное определение L∞L^{\infty }. Определим L∞L^{\infty } как совокупность тех классов эквивалентности A∈E/∼\mathfrak {A} \in \mathcal{E} / \sim, для которых ess⁡sup⁡f<+∞\operatorname {ess} \sup f<+\infty для некоторой f∈Af \in \mathfrak {A}.

?
(a)

Если f=g μf=g \: \mu-п.в. на Ω\Omega, то ess⁡sup⁡f=ess⁡sup⁡g\operatorname {ess} \sup f=\operatorname {ess} \sup g. Следовательно, можно эквивалентно сказать, что A∈L∞\mathfrak {A} \in L^{\infty } тогда и только тогда, когда ess⁡sup⁡f<+∞\operatorname {ess} \sup f<+\infty для каждой f∈Af \in \mathfrak {A}.

(b)

Если A,B∈L∞\mathfrak {A}, \mathfrak {B} \in L^{\infty } и c∈Rc \in \mathbb {R}, то cA∈L∞c \mathfrak {A} \in L^{\infty } и A+B∈L∞\mathfrak {A}+\mathfrak {B} \in L^{\infty }. Следовательно, L∞L^{\infty } является векторным пространством.

Определим ∥⋅∥∞\left\| \cdot \right\|_{\infty } на L∞L^{\infty }, полагая ∥A∥∞=ess⁡sup⁡f\left\| \mathfrak {A}\right\|_{\infty }=\operatorname {ess} \sup f, где f∈Af \in \mathfrak {A}.

(c)

Определение ∥⋅∥∞\left\| \cdot \right\|_{\infty } корректно.

(d)

Для A,B,C∈L∞\mathfrak {A}, \mathfrak {B}, \mathfrak {C} \in L^{\infty } определим ρ(A,B)=∥A−B∥∞\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})=\left\| \mathfrak {A}-\mathfrak {B}\right\|_{\infty }. Тогда

  1. 0⩽ρ(A,B)<+∞0 \leqslant \rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})<+\infty.

  2. ρ(A,A)=0\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {A})=0, и ρ(A,B)=0\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})=0 тогда и только тогда, когда A=B\mathfrak {A}=\mathfrak {B}.

  3. ρ(A,B)=ρ(B,A)\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})=\rho (\mathfrak {B}, \mathfrak {A}).

  4. ρ(A,C)⩽ρ(A,B)+ρ(B,C)\rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {C}) \leqslant \rho (\mathfrak {A}, \mathfrak {B})+\rho (\mathfrak {B}, \mathfrak {C}). Следовательно, ρ\rho является метрикой на L∞L^{\infty }.

(e)

L∞L^{\infty } полно в метрике ρ\rho. Следовательно, L∞L^{\infty } является банаховым пространством.

(f)
Примечание.
?

Все пункты этой задачи можно быстро решить, используя результаты этого раздела.

Задача 8.4.2

Рассмотрим σ\sigma-конечное измеримое пространство (Ω,F,μ)(\Omega , \mathcal{F}, \mu ).

?
(a)

f∈L∞f \in L^{\infty } тогда и только тогда, когда существует ограниченная F/B∗\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}-измеримая функция gg на Ω\Omega такая, что f=gμ−f=g \mu - п. в. на Ω\Omega.

(b)

Если f∈L∞f \in L^{\infty }, то ∥f∥∞=inf⁡{sup⁡ω∈Ω∣g(ω)∣:g такова, как в (a)}\left\| f\right\|_{\infty }=\inf \left\{ \sup_{\omega \in \Omega }\left|g(\omega )\right|: g \text{ такова, как в (a)}\right\}.

Задача 8.4.3

Рассмотрим измеримое пространство (Rk,Bk,λk)\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{B}^{k}, \lambda_{k}\right). Мы имеем ess⁡sup⁡f=sup⁡x∈Rk∣f(x)∣\operatorname {ess} \sup f=\sup_{\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}}\left|f(\boldsymbol {x})\right|, если ff непрерывна.

?
Задача 8.4.4

Быстро докажите вариант неравенства Гёльдера для p=∞p=\infty.

?
Задача 8.4.5

Пусть ( Ω,F,μ\Omega , \mathcal{F}, \mu ) таковы, что μ(Ω)<∞\mu (\Omega )<\infty, и пусть ff обозначает ограниченную F/B∗\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}-измеримую функцию на Ω\Omega.

?
(a)

Для каждого 1⩽p⩽∞1 \leqslant p \leqslant \infty имеем f∈Lpf \in L^{p}, следовательно, ∥f∥p\left\| f\right\|_{p} существует.

(b)

lim⁡p→∞∥f∥p=∥f∥∞\lim_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{\infty }.

Задача 8.4.6

Для каждого k∈Nk \in \mathbb {N}, L∞(Rk,Bk,λk)L^{\infty }\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{B}^{k}, \lambda_{k}\right) не содержит неограниченной непрерывной функции. Также, для каждого 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty, Lp(R,B,λ)L^{p}(\mathbb {R}, \mathcal{B}, \lambda ) содержит неограниченную непрерывную функцию.

?
Примечание.
?

См. упражнение 8.4.3.

Задача 8.4.7

Пусть Ω=(0,1]\Omega =(0,1], пусть F\mathcal{F} обозначает борелевские подмножества (0,1](0,1], и пусть μ\mu обозначает меру Лебега, ограниченную на борелевские подмножества (0,1](0,1]. Покажите в этом случае, что L∞L^{\infty } не сепарабельно, то есть не существует счётного плотного подмножества L∞L^{\infty }.

?