8.1

Пространство LpL^{p}: случай 1⩽p<+∞1 \leqslant p < +\infty

[10/90%]
Показать
LaTeX
Задача 8.1.1

Возьмём A,B∈Lp\mathfrak {A}, \mathfrak {B} \in \mathfrak {L}^{p}. Тогда A+B∈Lp\mathfrak {A}+\mathfrak {B} \in \mathfrak {L}^{p} и ∥A+B∥p⩽∥A∥p+∥B∥p\left\| \mathfrak {A}+\mathfrak {B}\right\|_{p} \leqslant \left\| \mathfrak {A}\right\|_{p}+\left\| \mathfrak {B}\right\|_{p}.

?
Задача 8.1.2

Докажите неравенство Коши—Шварца

∣∑k=1nakbk∣⩽∑k=1nak2∑k=1nbk2. \left|\sum _{k=1}^{n} a_{k} b_{k}\right| \leqslant \sqrt{\sum _{k=1}^{n} a_{k}^{2}} \sqrt{\sum _{k=1}^{n} b_{k}^{2}} .
?
Задача 8.1.3

Пусть 1<p1,…,pn<+∞1<p_{1}, \ldots , p_{n}<+\infty таковы, что 1/p1+⋯+1/pn=1 / p_{1}+\cdots +1 / p_{n}= 1, и возьмём функции f1∈Lp1,…,fn∈Lpnf_{1} \in L^{p_{1}}, \ldots , f_{n} \in L^{p_{n}}. Мы хотим обобщить неравенство Гёльдера, показав, что ∏i=1nfi∈L1\prod_{i=1}^{n} f_{i} \in L^{1} и ∣∫∏i=1nfi∣⩽∏i=1n∥fi∥pi\left|\int \prod_{i=1}^{n} f_{i}\right| \leqslant \prod_{i=1}^{n}\left\| f_{i}\right\|_{p_{i}}.

?
(a)

Сначала покажите, что a1⋯an⩽a1p1/p1+⋯+anpn/pna_{1} \cdots a_{n} \leqslant a_{1}^{p_{1}} / p_{1}+\cdots +a_{n}^{p_{n}} / p_{n}, обобщив результат из курса матанализа, данный в разделе. [Здесь 0⩽a1,…,an<+∞0 \leqslant a_{1}, \ldots , a_{n}<+\infty.]

(b)

Если ∥f1∥p1=0\left\| f_{1}\right\|_{p_{1}}=0 или …\ldots или ∥fn∥pn=0\left\| f_{n}\right\|_{p_{n}}=0, утверждение тривиально.

(c)

Используйте (a), чтобы доказать утверждение, когда ∥f1∥p1=⋯=∥fn∥pn=1\left\| f_{1}\right\|_{p_{1}}=\cdots =\left\| f_{n}\right\|_{p_{n}}=1.

(d)

Докажите утверждение, когда ∥f1∥p1,…,∥fn∥pn\left\| f_{1}\right\|_{p_{1}}, \ldots ,\left\| f_{n}\right\|_{p_{n}} положительны.

Задача 8.1.4

Имеет место равенство в неравенстве Гёльдера тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа AA и BB, не оба нулевые, с A∣f∣p=B∣g∣p′μA\left|f\right|^{p}=B\left|g\right|^{p^{\prime }} \mu-п.в. на Ω.

?
Задача 8.1.5

Для данной f∈Lp[1<p<+∞]f \in L^{p}\left[1<p<+\infty \right] существует g∈Lp′g \in L^{p^{\prime }} с ∥g∥p′=1\left\| g\right\|_{p^{\prime }}=1 и ∫fg=∥f∥p\int f g=\left\| f\right\|_{p}.

?
Задача 8.1.6

Теперь исследуем условия равенства в неравенстве Минковского. Пусть f,g∈Lpf, g \in L^{p}.

?
(a)

При p=1,∥f+g∥p=∥f∥p+∥g∥pp=1,\left\| f+g\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}+\left\| g\right\|_{p} тогда и только тогда, когда существует положительная F/B∗\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}-измеримая h>0h>0, определённая на Ω\Omega, с fh=gμf h=g \mu-п.в. на {ω∈Ω:f(ω)g(ω)≠0}\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) g(\omega ) \neq 0\right\}.

(b)

Для 1<p<+∞1<p<+\infty равенство имеет место тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные вещественные числа AA и BB, не оба нулевые, такие что Af=BgμA f=B g \mu-п.в. на Ω\Omega.

Задача 8.1.7

Пусть 1⩽p,q,r<+∞1 \leqslant p, q, r<+\infty таковы, что 1/r=1/p+1/q1 / r=1 / p+1 / q. Пусть f∈Lpf \in L^{p} и g∈Lqg \in L^{q}. Тогда fg∈Lrf g \in L^{r} и ∥fg∥r⩽∥f∥p∥g∥q\left\| f g\right\|_{r} \leqslant \left\| f\right\|_{p}\left\| g\right\|_{q}.

?
Задача 8.1.8

Если 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty, неравенство Минковского даёт ∣∥f∥p−∥g∥p∣⩽∥f−g∥p\left|\left\| f\right\|_{p}-\left\| g\right\|_{p}\right| \leqslant \left\| f-g\right\|_{p} для любых f,g∈Lpf, g \in L^{p}.

?
Задача 8.1.9

Пусть ϕ\phi — непрерывная и строго возрастающая функция, определённая на [0,+∞)\left[0,+\infty \right), с ϕ(0)=0\phi (0)=0 и lim⁡x→+∞ϕ(x)=+∞\lim_{x \rightarrow +\infty } \phi (x)=+\infty. Тогда для каждого 0⩽a,b<+∞0 \leqslant a, b<+\infty имеем

ab⩽∫0aϕ(u) du+∫0bϕ−1(v) dv, a b \leqslant \int _{0}^{a} \phi (u) \, d u+\int _{0}^{b} \phi ^{-1}(v) \, d v,

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда ϕ(a)=b\phi (a)=b.

?
Примечание.
?

Указание: сначала покажите, что ∫0cϕ(u) du+∫0ϕ(c)ϕ−1(v) dv=cϕ(c)\int_{0}^{c} \phi (u) \, d u+\int_{0}^{\phi (c)} \phi^{-1}(v) \, d v=c \phi (c) для каждого 0⩽c<+∞0 \leqslant c<+\infty. Может помочь рисунок. Результат из курса матанализа, приведённый в разделе, можно получить, положив ϕ(u)=up−1\phi (u)=u^{p-1} и ϕ−1(v)=v1p−1\phi^{-1}(v)=v^{\frac{1}{p-1}}.

Задача 8.1.10

Докажите следующее расширение пункта (c) Утверждения 2 раздела 7.5, где 1⩽p<+∞1 \leqslant p<+\infty и y∈Rk\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}: Если f∈Lp(Rk,Lk,λˉk)f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right), то τyf∈Lp(Rk,Lk,λˉk)\tau_{\boldsymbol {y}} f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right) и ∥τyf∥p=∥f∥p\left\| \tau_{\boldsymbol {y}} f\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}.

?
Примечание.
?

Утверждение 2 раздела 7.5: Пусть f:Rk→R‾f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}} лебегово измерима, и пусть τy\tau_{\boldsymbol {y}} обозначает сдвиг на некоторый y∈Rk\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}: τyf(x)=f(x+y)\tau_{\boldsymbol {y}} f(\boldsymbol {x})=f(\boldsymbol {x}+\boldsymbol {y}) для каждого x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}. Тогда: (a) τyf\tau_{\boldsymbol {y}} f лебегово измерима; (b) если ff неотрицательна, то ∫f dλˉk=∫τyf dλˉk\int f \, d\bar\lambda_{k}=\int \tau_{\boldsymbol {y}} f \, d\bar\lambda_{k}; (c) если f∈L1(Rk,Lk,λˉk)f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right), то τyf∈L1(Rk,Lk,λˉk)\tau_{\boldsymbol {y}} f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \bar\lambda_{k}\right), и снова ∫f dλˉk=∫τyf dλˉk\int f \, d\bar\lambda_{k}=\int \tau_{\boldsymbol {y}} f \, d\bar\lambda_{k}.