Теорема Рисса о представлении

[2/0%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 8.9.1

Пусть множества $A(t)$ и $C$ таковы, как в доказательстве теоремы Рисса о представлении, и пусть $t_{n}$ обозначает последовательность с $t_{n} \rightarrow 0$ . Мы покажем, что $\lim_{n} \; \mathbb {1}_{A(t_{n}) \cap C}=\; \mathbb {1}_{A(0) \cap C}$ на $\Omega$ .

Постановка задачи (из доказательства теоремы Рисса о представлении). Пусть $1<p<2$ , пусть $g \in L^{p}$ такова, что $\left\| g\right\|_{p}=1$ , и зафиксируем $f \in L^{p}$ . Для каждого вещественного $t_{0} \neq 0$ теорема о среднем значении даёт для каждого $\omega \in \Omega$ число $t_{0}^{*}(\omega )$ между $0$ и $t_{0}$ [зависящее от $\omega$ ] такое, что

\frac{\left|t_{0} f(\omega )+g(\omega )\right|^{p}-\left|g(\omega )\right|^{p}}{t_{0}}=\left.\frac{\partial }{\partial t}\left|t f(\omega )+g(\omega )\right|^{p}\right|_{t=t_{0}^{*}(\omega )} .

Для каждого вещественного $t_{0} \neq 0$ определим

A(t_{0})=\left\{ \omega \in \Omega : t_{0}^{*}(\omega ) f(\omega )+g(\omega ) \neq 0\right\} ;

также положим $A(0):=\lim_{n} A(t_{n})$ [т.е., $A(0)$ определяется как этот предел множеств, существование и значение которого устанавливают пункты (a)-(e) упражнения]. Наконец, пусть

C=\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \neq 0\right\} .

(a)

Достаточно показать, что $\lim_{n}\left[A(t_{n}) \cap C\right]=A(0) \cap C$ .

(b)

$\overline{\lim }_{n} A(t_{n})^{c} \subseteq A(0)^{c}$ , то есть $A(0) \subseteq \underline{\lim }_{n} A(t_{n})$ . [Пусть $\omega \in \lim_{n} A(t_{n})^{c}$ . Тогда существует возрастающая последовательность индексов $n_{1}<n_{2}<\cdots$ такая, что $g(\omega )=-t_{n_{k}}^{*}(\omega ) f(\omega )$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ . Если $f(\omega ) \neq 0$ , то $\frac{g(\omega )}{f(\omega )}=-t_{n_{k}}^{*}(\omega )$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ . То есть, $t_{n_{1}}^{*}(\omega )=t_{n_{2}}^{*}(\omega )=\cdots$ . Поскольку $t_{n} \rightarrow 0$ , имеем $t_{n_{k}}^{*}(\omega ) \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$ . Отсюда следует, что $t_{n_{k}}^{*}(\omega )=0$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ . Но тогда $g(\omega )=0$ , так что $\omega \in A(0)^{c}$ . Если же $f(\omega )=0$ , то очевидно $g(\omega )=0$ , так что снова имеем $\omega \in A(0)^{c}$ .]

(c)

$A(0) \cap C \subseteq \underline{\lim }_{n}\left[A(t_{n}) \cap C\right]$ . [Почти тривиально.]

(d)

$\overline{\lim }_{n}\left[A(t_{n}) \cap C\right] \subseteq A(0) \cap C$ . [Предположим, что существует возрастающая последовательность индексов $n_{1}<n_{2}<\cdots$ такая, что $\omega \in A(t_{n_{k}}) \cap C$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ . Тогда имеем $g(\omega ) \neq -t_{n_{k}}^{*}(\omega ) f(\omega )$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ и $f(\omega ) \neq 0$ . Следовательно, $\frac{g(\omega )}{f(\omega )}=-t_{n_{k}}^{*}(\omega )$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ , и то же рассуждение, что и в плане для (b), даёт $t_{n_{k}}^{*}(\omega )=0$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ . Но тогда $g(\omega ) \neq 0$ , и поскольку $f(\omega ) \neq 0$ , мы получаем требуемый результат.]

(e)

Объединяя (c) и (d), покажите, что $\lim_{n}\left[A(t_{n}) \cap C\right]=A(0) \cap C$ .

Задача 8.9.2

Пусть $1<p<+\infty$ . Определим $T: L^{p^{\prime }} \rightarrow \mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right)$ [где $\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right)$ обозначает совокупность ограниченных линейных преобразований из $L^{p}$ в $\mathbb {R}$ ], положив $T(g)=L_{g}$ для каждой $g \in L^{p^{\prime }}$ . [Обозначение $L_{g}$ такое же, как в утверждении 1 этого раздела.]

Утверждение 1 (этого раздела). Пусть $g \in L^{p^{\prime }}$ , и определим $L_{g}: L^{p} \rightarrow \mathbb {R}$ , положив $L_{g}(f)=\int f g$ для каждой $f \in L^{p}$ . Тогда $L_{g}$ — ограниченный линейный функционал на $L^{p}$ , и $\left\| L_{g}\right\| =\left\| g\right\|_{p^{\prime }}$ .

Теорема Рисса о представлении. Пусть $L$ обозначает ограниченный линейный функционал на $L^{p}$ , где $1<p<+\infty$ . Тогда существует $h \in L^{p^{\prime }}$ [зависящая от $L$ ] такая, что $L(f)=\int f h$ для каждой $f \in L^{p}$ .

(a)

$T$ — линейное преобразование из $L^{p^{\prime }}$ в $\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right)$ . [Непосредственно.]

(b)

$T$ сохраняет норму: $\left\| T(g)\right\| =\left\| g\right\|_{p^{\prime }}$ для каждой $g \in L^{p^{\prime }}$ . [Используйте утверждение 1.]

(c)

$T$ отображает на $\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right)$ . [Используйте теорему Рисса.]

(d)

$T$ инъективно. [Это следует из некоторых базовых свойств интеграла.]

(e)

$L^{p^{\prime }}$ и $\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right)$ — изоморфные банаховы пространства. [Объедините предыдущие пункты.]

Примечание.

Комментарий: По пункту (e) пространства $L^{p^{\prime }}$ и $\mathcal{B}\left(L^{p}, \mathbb {R}\right)$ , хотя и состоят из формально различных объектов — первое пространство состоит из функций (точнее, классов эквивалентности функций), тогда как второе состоит из ограниченных линейных функционалов на $L^{p}$ , — идентичны при рассмотрении их как банаховых пространств. Этот интересный факт нигде в данном тексте не используется.