Банк задач по математике

Задача 8.7.1

(a)(b)

Докажите следующие простые утверждения.

?

(a)

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность Коши в $L^{p}$ , где $0<p<\infty$ . Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ является последовательностью Коши по мере: для каждых $\varepsilon >0$ и $\delta >0$ существует $N \in \mathbb {N}$ такое, что для всех $n, m \geqslant N$ имеем $\mu \left(\left\{ \omega \in \Omega :\left|f_{n}(\omega )-f_{m}(\omega )\right|>\delta \right\} \right)<\varepsilon$ .

(b)

Пусть $f, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p}$ и предположим, что $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} f$ , где $0<p<\infty$ . Если $g \in L^{\infty }$ , то $f g, f_{1} g, f_{2} g, \ldots \in L^{p}$ и $f_{n} g \xrightarrow {L^{p}} f g$ .

Задача 8.7.2

Хотя сходимость в среднем порядка $p$ влечёт сходимость по мере, неверно, что сходимость по мере влечёт сходимость в среднем порядка $p$ .

?

Задача 8.7.3

Возможно, чтобы последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ в $L^{p}$ сходилась $\mu$ -п. в. к некоторой $f \in L^{p}$ , но не в среднем порядка $p$ . То есть, сходимость $\mu$ -п. в. не влечёт сходимость в среднем порядка $p$ .

?

Задача 8.7.4

Возможно, чтобы последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ в $L^{p}$ сходилась в среднем порядка $p$ к нулю, но $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ не сходилась ни в одной точке $\Omega$ .

?

Задача 8.7.5

Возможно существование функций $f, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p_{1}} \cap L^{p_{2}}$ таких, что $f_{n} \xrightarrow {L^{p_{1}}} f$ , но $f_{n} \not\xrightarrow {L^{p_{2}}} f$ .

?

Задача 8.7.6

Пусть $1<p_{0}<+\infty$ . Существует последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ в $L^{p}$ для всех $1 \leqslant p<p_{0}$ с $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} 0$ для всех $1 \leqslant p<p_{0}$ , но $f_{n}$ не сходится в среднем порядка $p_{0}$ .

?

Задача 8.7.7

Пусть $1 \leqslant p, q<+\infty$ , и пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность в $L^{p} \cap L^{q}$ . Предположим, что существуют $g \in L^{p}$ и $h \in L^{q}$ с $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} g$ и $f_{n} \xrightarrow {L^{q}} h$ . Тогда $g=h$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

?

Задача 8.7.8

Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в $L^{p}$ , где $1<p<+\infty$ . Предположим, что $h \in L^{1}$ с $f_{n} \leqslant h$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ . Если $f_{n}$ сходится по мере к некоторой $f$ , то $f \in L^{p}$ и $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} f$ .

?

Задача 8.7.9

Если $f, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p}$ таковы, что $f_{n} \rightarrow f$ равномерно, то $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} f$ .

?

Примечание.

?

Здесь $0<p<+\infty$ .

Задача 8.7.10

Пусть $f, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p}$ , где $1 \leqslant p \leqslant +\infty$ , и предположим, что $\left\| f_{n}\right\|_{p} \rightarrow \left\| f\right\|_{p}$ . Тогда каждое из условий $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ и $f_{n} \rightarrow f$ по мере достаточно для заключения $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} f$ .

?

Задача 8.7.11

Рассмотрим измеримое пространство $\left(\left[0,1\right], \mathscr {B}, \lambda \right)$ , где здесь $\mathscr {B}$ обозначает борелевские подмножества $\left[0,1\right]$ , а $\lambda$ обозначает меру Лебега, ограниченную на $\mathscr {B}$ . Пусть $f_{n}=n \; \mathbb {1}_{\left[0, n^{-1}\right]}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ . Тогда каждая $f_{n}$ принадлежит $L^{p}$ при $1 \leqslant p<+\infty$ , $f_{n} \rightarrow 0$ $\mu$ -п.в. на $\left[0,1\right]$ и по мере, но $\int f_{n} g \not\rightarrow \int 0 g$ при $g=1$ , и, следовательно, $f_{n} \not\rightarrow 0$ слабо.

Определение. Рассмотрим общее измеримое пространство $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ , и пусть $1 \leqslant p<+\infty$ . Пусть $f, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{p}$ . Мы будем говорить, что $f_{n} \rightarrow f$ слабо [в $L^{p}$ ], если

\lim _{n} \int f_{n} g = \int f g \quad \text{для каждой } g \in L^{p^{\prime }}.

Здесь $p^{\prime }$ обозначает сопряжённый показатель к $p$ : $p^{\prime }=\frac{p}{p-1}$ при $1<p<+\infty$ , и $1^{\prime }=+\infty$ .

?

Задача 8.7.12

Рассмотрим измеримое пространство $\left(\mathbb {R}, \mathscr {B}, \lambda \right)$ . Пусть $f_{n}=n^{-1} \; \mathbb {1}_{\left[1, e^{n}\right]}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ . Тогда каждая $f_{n}$ принадлежит $L^{p}$ при $1 \leqslant p<+\infty$ , $f_{n} \rightarrow 0$ равномерно, но $f_{n} \not\rightarrow 0$ слабо в $L^{p}$ .

?

Примечание.

?

Рассмотрим функцию $g(\omega )=\omega^{-1} \; \mathbb {1}_{[1,+\infty )}(\omega )$ . Имеем, что $g \in L^{p^{\prime }}$ для каждого $1<p<+\infty$ , $g$ ограничена, и $\int f_{n} g=1$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , тогда как $\int 0 g=0$ .

Задача 8.7.13

Рассмотрим измеримое пространство $\left(\left[0,2 \pi \right], \mathscr {B}, \lambda \right)$ , где здесь $\mathscr {B}$ обозначает борелевские подмножества $\left[0,2 \pi \right]$ , а $\lambda$ обозначает меру Лебега, ограниченную на $\mathscr {B}$ . Для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $0 \leqslant \omega \leqslant 2 \pi$ определим $f_{n}(\omega )=\cos n \omega$ . Тогда каждая $f_{n}$ принадлежит $L^{1}$ , и $f_{n} \rightarrow 0$ слабо в $L^{1}$ . Однако $f_{n} \not\rightarrow 0$ . На самом деле имеем $f_{n} \not\xrightarrow {\mu } 0$ и $f_{n} \not\rightarrow 0$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ .

?

Примечание.

?

Это упражнение может оказаться сложным.

Задача 8.7.14

Обратитесь к теореме Витали о сходимости. Докажите, что условия (i) и (ii) влекут, что $f \in L^{p}$ и $f_{n} \rightarrow f$ в среднем порядка $p$ , когда $\mu (\Omega )=+\infty$ .

Теорема Витали о сходимости (случай конечной меры). Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает измеримое пространство с $\mu (\Omega )<+\infty$ , и пусть $1 \leqslant p<+\infty$ . Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность функций в $L^{p}$ . Пусть $f$ обозначает $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$ -измеримую функцию на $\Omega$ такую, что $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ и $f$ конечна $\mu$ -п.в. на $\Omega$ . Тогда условие $f \in L^{p}$ и $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} f$ эквивалентно паре условий (i) для каждого $\varepsilon >0$ существует $A \in \mathcal{F}$ [зависящее от $\varepsilon$ ] с $\mu (A)<+\infty$ и $\int_{A^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , и (ii) для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ [зависящее только от $\varepsilon$ , не от $n$ ] такое, что при $\mu (E)<\delta$ имеем $\int_{E} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

?

Задача 8.7.15

Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает измеримое пространство с $1 \leqslant p<+\infty$ . Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность в $L^{p}$ , и пусть $f$ обозначает $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$ -измеримую функцию, конечную $\mu$ -п.в. на $\Omega$ , с $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ . Для каждых $n, k \in \mathbb {N}$ пусть $B_{n, k}=\left\{ \omega \in \Omega :\left|f_{n}(\omega )\right|^{p} \geqslant k\right\}$ . Сделаем следующее дополнительное предположение (a): для каждого $\varepsilon >0$ существует множество $A \in \mathcal{F}$ [зависящее от $\varepsilon$ ] такое, что $\mu (A)<+\infty$ и $\int_{A^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

Тогда следующие четыре утверждения логически эквивалентны:

$f \in L^{p}$ и $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} f$
Если $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — невозрастающая последовательность множеств из $\mathcal{F}$ с пределом $\varnothing$ , то для каждого $\varepsilon >0$ существует $K \in \mathbb {N}$ такое, что $k \geqslant K$ влечёт $\int_{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .
Для каждого $\varepsilon >0$ существует $K \in \mathbb {N}$ такое, что $k \geqslant K$ влечёт $\int_{B_{n, k}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .
Для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что $\mu (E)<\delta$ влечёт $\int_{E} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

Теорема Витали о сходимости (случай конечной меры). Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает измеримое пространство с $\mu (\Omega )<+\infty$ , и пусть $1 \leqslant p<+\infty$ . Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность функций в $L^{p}$ . Пусть $f$ обозначает $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$ -измеримую функцию на $\Omega$ такую, что $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ и $f$ конечна $\mu$ -п.в. на $\Omega$ . Тогда условие $f \in L^{p}$ и $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} f$ эквивалентно паре условий (i) для каждого $\varepsilon >0$ существует $A \in \mathcal{F}$ с $\mu (A)<+\infty$ и $\int_{A^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , и (ii) для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что при $\mu (E)<\delta$ имеем $\int_{E} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

?

Примечание.

?

Полезен следующий план. По теореме Витали о сходимости и упражнению 8.7.14 непосредственно следует, что (i) и (iv) логически эквивалентны.

Покажем, что (i) влечёт (ii). Пусть $\varepsilon >0$ . Найдём $N \in \mathbb {N}$ такое, что $n \geqslant N$ влечёт $\left\| f_{n}-f\right\|_{p}<\varepsilon$ . Для $n \geqslant N$ и $k \in \mathbb {N}$ неравенство Минковского даёт

\left(\int _{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p} \leqslant \left(\int _{E_{k}} \left|f\right|^{p}\right)^{1 / p}+\left(\int _{E_{k}} \left|f_{n}-f\right|^{p}\right)^{1 / p} <\left(\int _{E_{k}} \left|f\right|^{p}\right)^{1 / p}+\varepsilon .

Примените теорему о мажорируемой сходимости к $\left\{ \left|f\right|^{p} \; \mathbb {1}_{E_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty }$ , чтобы показать, что $\left(\int_{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}<\varepsilon$ при достаточно больших $k$ , скажем $k \geqslant K$ . Тогда для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $k \geqslant K$ имеем $\left(\int_{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}<2 \varepsilon$ . Для $n \in \left\{ 1, \ldots , N-1\right\}$ заметим, что для каждого $k \in \mathbb {N}$ имеем

\int _{E_{k}} \left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \int _{E_{k}} \max \left\{ \left|f_{1}\right|^{p}, \ldots , \left|f_{N-1}\right|^{p}\right\} <+\infty ,

и, следовательно, можно применить теорему о мажорируемой сходимости, чтобы получить (ii).

Теперь предположим (ii), выбрав $\varepsilon >0$ . Для каждого $k \in \mathbb {N}$ определим $E_{k}=\bigcup_{n=k}^{\infty } B_{n, k}$ . Тогда $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \cdots$ , и $\overline{\lim }_{n} \left|f_{n}(\omega )\right|=+\infty$ на $\bigcap_{k=1}^{\infty } E_{k}$ ; отсюда $\mu \left(\bigcap_{k=1}^{\infty } E_{k}\right)=0$ . Далее, запишем $F_{k}=E_{k}-\bigcap_{j=1}^{\infty } E_{j}$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ . Имеем, что $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ и $\lim_{k} F_{k}=\varnothing$ . Выберем $K$ такое, что $k \geqslant K$ влечёт $\int_{F_{k}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ . Для каждого $n \geqslant K$ имеем $B_{n, K} \subseteq E_{K}$ . Следовательно, если $n, k \geqslant K$ , то

\int _{B_{n, k}} \left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \int _{B_{n, K}} \left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \int _{E_{K}} \left|f_{n}\right|^{p}=\int _{F_{K}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon .

Для $n \in \left\{ 1, \ldots , K-1\right\}$ имеем $\left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \max \left\{ \left|f_{1}\right|^{p}, \ldots , \left|f_{K-1}\right|^{p}\right\} =g$ , скажем, и, следовательно, $\int_{B_{n, k}} \left|f_{n}\right|^{p} \leqslant \int_{B_{k}} g<+\infty$ , где $B_{k}=\bigcup_{n=1}^{K-1} B_{n, k}=\left\{ \omega \in \Omega : g(\omega ) \geqslant k\right\}$ . Используйте теорему о мажорируемой сходимости, чтобы напрямую вывести (iii).

Теперь предположим (iii). Выберем $K \in \mathbb {N}$ такое, что $k \geqslant K$ влечёт $\int_{B_{n, k}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon^{p}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ . Покажите, что $\mu (E)<K^{-1} \varepsilon^{p}$ влечёт

\left(\int _{E} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p} \leqslant \left(\int _{E \cap B_{n, K}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}+\left(\int _{E \cap B_{n, K}^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}<2 \varepsilon .

Следовательно, мы можем вывести (iv) из (iii).

Задача 8.7.16

Предположим всё из упражнения 8.7.15, включая (a). Предположим далее, что выполняется (ii). Покажите, что (i) и (ii) теоремы Витали о сходимости следуют как следствия.

Теорема Витали о сходимости (случай конечной меры). Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}, \mu \right)$ обозначает измеримое пространство с $\mu (\Omega )<+\infty$ , и пусть $1 \leqslant p<+\infty$ . Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность функций в $L^{p}$ . Пусть $f$ обозначает $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$ -измеримую функцию на $\Omega$ такую, что $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$ -п.в. на $\Omega$ и $f$ конечна $\mu$ -п.в. на $\Omega$ . Тогда условие $f \in L^{p}$ и $f_{n} \xrightarrow {L^{p}} f$ эквивалентно паре условий (i) для каждого $\varepsilon >0$ существует $A \in \mathcal{F}$ с $\mu (A)<+\infty$ и $\int_{A^{c}} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , и (ii) для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что при $\mu (E)<\delta$ имеем $\int_{E} \left|f_{n}\right|^{p}<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

?

Примечание.

?

Конкретная форма теоремы Витали о сходимости, представленная в этом тексте и в двух предыдущих упражнениях [а также планы решений], обязаны своим существованием и формой в высшей степени превосходному изложению Хьюитта и Стромберга, стр. 203-205.

Дополнительные виды сходимости