8.3

Пространство LpL^{p}: случай 0<p<10 < p < 1

[8/50%]
Показать
LaTeX
Задача 8.3.1

Пусть f,g∈Lpf, g \in L^{p}, где 0<p<10<p<1. Мы знаем, что f+g∈Lpf+g \in L^{p} по результату о неравенстве, подобном Минковскому, данному ранее.

?
(a)

Имеем (a+b)p⩽ap+bp(a+b)^{p} \leqslant a^{p}+b^{p} для любых 0<a,b<∞0<a, b<\infty.

(b)

Из (a) следует, что ∫∣f+g∣p⩽∫∣f∣p+∫∣g∣p\int \left|f+g\right|^{p} \leqslant \int \left|f\right|^{p}+\int \left|g\right|^{p}.

(c)

Если мы запишем ∥f−g∥pp\left\| f-g\right\|_{p}^{p} для расстояния между ff и gg, то эта функция расстояния действительно является метрикой, если мы отождествляем функции, равные μ\mu-п.в. на Ω\Omega.

(d)

Запись ∥f−g∥p\left\| f-g\right\|_{p} для расстояния между ff и gg не задаёт метрику на LpL^{p}.

Задача 8.3.2

Рассмотрим пространство Ω=(0,1)\Omega =(0,1) и пусть 0<p<10<p<1. Обозначим через B борелевские подмножества (0,1)(0,1), а через λ\lambda — меру Лебега, ограниченную на B. Мы покажем, что не существует нормы ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| на LpL^{p} такой, что lim⁡k∥fk∥p=0\lim_{k}\left\| f_{k}\right\|_{p}=0 вынуждало бы lim⁡k∥fk∥=0\lim_{k}\left\| f_{k}\right\| =0.

?
(a)

Предположим, что такая норма ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| существует. Тогда найдётся C⩾0C \geqslant 0 такое, что ∥f∥⩽C∥f∥p\left\| f \right\| \leqslant C\left\| f\right\|_{p} для каждой f∈Lpf \in L^{p}.

Возьмём минимальное такое CC из (a).

(b)

Найдётся 0<c<10<c<1 с ∫0c∣f∣p=∫c1∣f∣p=12∫01∣f∣p\int_{0}^{c}\left|f\right|^{p}=\int_{c}^{1}\left|f\right|^{p}=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f\right|^{p}.

(c)

Пусть g=f  1(0,c]g=f \; \mathbb {1}_{(0, c]} и h=f  1(c,1]h=f \; \mathbb {1}_{(c, 1]}, так что f=g+hf=g+h. Тогда ∥g∥p=∥h∥p=2−1/p∥f∥p\left\| g\right\|_{p}=\left\| h\right\|_{p}= 2^{-1 / p}\left\| f\right\|_{p} и ∥f∥⩽∥g∥+∥h∥⩽C∥g∥p+C∥h∥p=C×21−1/p∥f∥p\left\| f\right\| \leqslant \left\| g\right\| +\left\| h\right\| \leqslant C\left\| g\right\|_{p}+C\left\| h\right\|_{p}=C \times 2^{1-1 / p}\left\| f\right\|_{p}. Используйте минимальность CC, чтобы получить C⩽C21−1/pC \leqslant C 2^{1-1 / p}, и выведите C=0C=0.

(d)

Заключите, что ∥f∥=0\left\| f\right\| =0 для каждой f∈Lpf \in L^{p}, и, следовательно, предположение в (a) приводит к противоречию.

Задача 8.3.3

Пусть 0<p0<∞0<p_{0}<\infty, и пусть f∈Lp0f \in L^{p_{0}} неотрицательна. Пусть E1={ω∈Ω:f(ω)=0},E2={ω∈Ω:0<f(ω)⩽1}E_{1}=\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega )=0\right\} , E_{2}=\left\{ \omega \in \Omega : 0<f(\omega ) \leqslant 1\right\}, и E3={ω∈Ω:f(ω)>1}E_{3}=\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega )>1\right\}.

?
(a)

lim⁡p→0+∫E2∣f∣p=μ(E2)\lim_{p \rightarrow 0^{+}} \int_{E_{2}}\left|f\right|^{p}=\mu \left(E_{2}\right).

(b)

lim⁡p→0+∫E3∣f∣p=μ(E3)\lim_{p \rightarrow 0^{+}} \int_{E_{3}}\left|f\right|^{p}=\mu \left(E_{3}\right).

(c)

lim⁡p→0+∫∣f∣p=μ({ω∈Ω:f(ω)≠0})\lim_{p \rightarrow 0^{+}} \int \left|f\right|^{p}=\mu (\left\{ \omega \in \Omega : f(\omega ) \neq 0\right\} ).

Задача 8.3.4

Пусть μ(Ω)=1\mu (\Omega )=1, и пусть f∈L1f \in L^{1} неотрицательна. Запишем log⁡0=−∞\log 0=-\infty.

?
(a)

∫log⁡f⩽log⁡∫f\int \log f \leqslant \log \int f, если log⁡f∈L1\log f \in L^{1}.

(b)

Если log⁡f∉L1\log f \notin L^{1}, то ∫(log⁡f)+<∞\int (\log f)^{+}<\infty при предположении f∈L1f \in L^{1}, так что обязательно ∫(log⁡f)−=∞\int (\log f)^{-}=\infty. Заключите, что даже если log⁡f∉L1,∫log⁡f\log f \notin L^{1}, \int \log f всё равно существует и равен −∞-\infty, что даёт неравенство в (a).

(c)

(fr−1)/r\left(f^{r}-1\right) / r убывает к log⁡f\log f при r→0+r \rightarrow 0^{+}, следовательно, lim⁡r→0+(∫fr−1)/r=∫log⁡f\lim_{r \rightarrow 0^{+}}\left(\int f^{r}-1\right) / r=\int \log f.

(d)

Проверьте неравенства

1r[∫fr−1]⩾1rlog⁡∫fr⩾1r∫log⁡fr=∫log⁡f \frac{1}{r}\left[\int f^{r}-1\right] \geqslant \frac{1}{r} \log \int f^{r} \geqslant \frac{1}{r} \int \log f^{r}=\int \log f
(e)

Заключите, что lim⁡r→0+∥f∥r\lim_{r \rightarrow 0^{+}}\left\| f\right\|_{r} существует и равен exp⁡(∫log⁡f)\exp \left(\int \log f\right). Если log⁡f∉L1\log f \notin L^{1}, это интерпретируется как lim⁡r→0+∥f∥r=0\lim_{r \rightarrow 0^{+}}\left\| f\right\|_{r}=0.

Задача 8.3.5

Найдите условия равенства в неравенстве Гёльдера-подобного типа.

?
Примечание.
?

Неравенство Гёльдера-подобного типа: Пусть 0<p<10<p<1. Пусть f∈Lpf \in L^{p} неотрицательна, и пусть gg обозначает неотрицательную F/B∗\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}-измеримую функцию такую, что ∫gp′\int g^{p^{\prime }} существует и 0<∫gp′<+∞0<\int g^{p^{\prime }}<+\infty. Тогда ∫fg⩾∥f∥p(∫∣g∣p′)1/p′\int f g \geqslant \left\| f\right\|_{p}\left(\int \left|g\right|^{p^{\prime }}\right)^{1 / p^{\prime }}.

Задача 8.3.6

Найдите условия равенства в неравенстве Минковского-подобного типа.

?
Примечание.
?

Неравенство Минковского-подобного типа: Пусть 0<p<10<p<1, и пусть f,g∈Lpf, g \in L^{p} неотрицательны. Тогда f+g∈Lpf+g \in L^{p} и ∥f+g∥p⩾∥f∥p+∥g∥p\left\| f+g\right\|_{p} \geqslant \left\| f\right\|_{p}+\left\| g\right\|_{p}.

Задача 8.3.7

Для любых a,b>0a, b>0 и 0<p<10<p<1 имеем ab⩾app+bp′p′a b \geqslant \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{p^{\prime }}}{p^{\prime }}. Используйте это, чтобы дать доказательство неравенства Гёльдера-подобного типа, основанное на матанализе, аналогичное доказательству исходного неравенства Гёльдера.

?
Примечание.
?

Пусть f(a,b)=ab−appf(a, b)=a b-\frac{a^{p}}{p} для a,b>0a, b>0, где 0<p<10<p<1 фиксировано. Для каждого b⩾0b \geqslant 0 имеем ∂∂af(a,b)=b−ap−1⩾0\frac{\partial }{\partial a} f(a, b)=b-a^{p-1} \geqslant 0 тогда и только тогда, когда a⩾b1p−1a \geqslant b^{\frac{1}{p-1}} [здесь мы используем тот факт, что p−1<0p-1<0]. Следовательно, имеем f(a,b)⩾f(b1p−1,b)f(a, b) \geqslant f\left(b^{\frac{1}{p-1}}, b\right) для каждого b>0b>0, что даёт ab−app⩾p−1pbpp−1=1p′bp′a b-\frac{a^{p}}{p} \geqslant \frac{p-1}{p} b^{\frac{p}{p-1}}=\frac{1}{p^{\prime }} b^{p^{\prime }} для каждого b>0b>0.

Задача 8.3.8

Обязательно ли выполняется теорема Рисса—Фишера в случае 0<p<10<p<1?

?
Примечание.
?

Указание: обратите внимание на роль исходного неравенства Минковского в доказательстве теоремы Рисса—Фишера. При 0<p<10<p<1 направление неравенства меняется на противоположное.