Приближение

Покажите, что $\mathfrak {C}_{c}$ плотно в $\left\{ \; \mathbb {1}_{A}: A \in \mathscr {B}^{k} \text{ ограничено}\right\}$. [Пусть $A \in \mathscr {B}^{k}$ ограничено. Найдите компакт $K$ и открытое множество $G$ такие, что $K \subseteq A \subseteq G$ и $\lambda_{k}(G-K)<\varepsilon^{p}$. Используйте лемму Урысона, чтобы найти $g: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$, непрерывную, с $0 \leqslant g \leqslant 1$, $g=1$ на $K$ и $g=0$ на $G^{c}$. Мы имеем $g \in \mathfrak {C}_{c}$ и $g(\boldsymbol {x})-\; \mathbb {1}_{A}(\boldsymbol {x})=0$ для каждого $\boldsymbol {x} \in K \cup G^{c}$. Тогда

]

Покажите, что $\mathfrak {C}_{c}$ плотно в совокупности неотрицательных конечнозначных $\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}$-измеримых простых функций $\sum_{i=1}^{n} c_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}}$ на $\Omega$ таких, что каждое $A_{i}$ ограничено, если $c_{i}>0$. [Без ограничения общности предположим, что каждое $c_{i}>0$, так что $A_{1}, \ldots , A_{n}$ ограничены. Для каждого $i \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$ найдите $g_{i} \in \mathfrak {C}_{c}$ такую, что $\left\| g_{i}-\; \mathbb {1}_{A_{i}}\right\|_{p}<\frac{\varepsilon }{1+\sum_{i=1}^{n}\left|c_{i}\right|}$; это требует результата (a). Пусть $g=\sum_{i=1}^{n} c_{i} g_{i}$. Тогда $g \in \mathfrak {C}_{c}$, и легко показать, что $\left\| g-\sum_{i=1}^{n} c_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}}\right\|_{p}<\varepsilon$.]

Покажите, что $\mathfrak {C}_{c}$ плотно в классе неотрицательных функций из $L^{p}$, равных нулю вне ограниченного множества. [Покажите, что функции из (b) плотны в совокупности, рассматриваемой здесь, в (c), следующим образом: пусть $f \geqslant 0$ принадлежит $L^{p}$, причём $f=0$ вне некоторого ограниченного $A \in \mathscr {B}^{k}$. Найдите неубывающую последовательность $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ функций из (b) с $s_{n} \rightarrow f$. Используйте теорему о мажорируемой сходимости, чтобы показать, что $\lim_{n}\left\| s_{n}-f\right\|_{p}=0$, используя тот факт, что $\left|f-s_{n}\right|^{p} \leqslant f^{p} \in L^{1}$. Поскольку $\mathfrak {C}_{c}$ плотно в совокупности функций из (b), и поскольку совокупность функций из (b) в рамках данного плана здесь, в (c), была показана плотной в совокупности функций, рассматриваемой здесь, в (c), утверждение (c) следует.]

Покажите, что $\mathfrak {C}_{c}$ плотно в классе функций из $L^{p}$, равных нулю вне ограниченного множества. [Пусть $f \in L^{p}$ равна нулю вне ограниченного множества, и выберем $\varepsilon >0$. Запишем $f=f^{+}-f^{-}$. И $f^{+}$, и $f^{-}$являются неотрицательными функциями из $L^{p}$, равными нулю вне ограниченного множества. По (c) существуют функции $g_{1}, g_{2} \in \mathfrak {C}_{c}$ такие, что $\left\| f^{+}-g_{1}\right\|_{p}$ и $\left\| f^{-}-g_{2}\right\|_{p}$ обе меньше $\frac{\varepsilon }{2}$. Пусть $g=g_{1}-g_{2}$. Тогда $g \in \mathfrak {C}_{c}$ и $\left\| f-g\right\|_{p}<\varepsilon$.]

Покажите, что $\mathfrak {C}_{c}$ плотно в $L^{p}$. [Пусть $f \in L^{p}$. Поскольку $\left|f \; \mathbb {1}_{B(\mathbf{0}, n)}-f\right|^{p} \leqslant \left|f\right|^{p} \in L^{1}$, теорема о мажорируемой сходимости даёт $\lim_{n}\left\| f \; \mathbb {1}_{B(\mathbf{0}, n)}-f\right\|_{p}=0$. Таким образом, $f$ можно приблизить функцией из $L^{p}$, обращающейся в нуль вне ограниченного множества. Поскольку (d) утверждает, что $\mathfrak {C}_{c}$ плотно в классе функций из $L^{p}$, обращающихся в нуль вне ограниченного множества, отсюда следует, что $f$ можно приблизить функцией из $\mathfrak {C}_{c}$.]

Также верно, что $\mathfrak {S}_{0}$ — плотное подмножество $L^{\infty }$. Следовательно, $\mathfrak {S}_{0}$ — плотное подмножество $L^{p}$ для $1 \leqslant p \leqslant +\infty$. [Это не должно вызвать затруднений.]

А что насчёт случая $0<p<1$? [Зависят ли утверждения 1 и 2 каким-либо образом от того, выполняется ли $p \geqslant 1$?]

Проанализируйте случаи $0<p<1$ и $p=+\infty$ для утверждения 3.

Проанализируйте случаи $0<p<1$ и $p=+\infty$ для утверждения 4.

Проанализируйте случаи $0<p<1$ и $p=+\infty$ для утверждения 5.

Каждая $\mathcal{F}_{n}$ является алгеброй множеств на $\Omega$.

$\mathcal{F}_{0}$ — счётная алгебра множеств, порождающая $\mathcal{F}$: $\sigma \left(\mathcal{F}_{0}\right)=\mathcal{F}$.

$\mu$ $\sigma$-конечна на $\mathcal{F}_{0}$.

Проверьте для каждого $n \in \mathbb {N}$, что $h^{(n)}(t)=P_{n}\left(\frac{1}{t}\right) e^{-\frac{1}{t}}$ при $t>0$, где $P_{n}$ — многочлен степени $2n$ без членов нулевой степени. [Несложно; используйте индукцию.]

Мы знаем, что $h^{(n)}(t)=0$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $t<0$, так что остаётся обсудить лишь случай $t=0$. Покажите, что $h^{(n)}(0)=0$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. [Используйте определение производной. При $n=1$ имеем $\lim_{\delta \rightarrow 0^{-}} \delta^{-1}\left[h(\delta )-h(0)\right]=0$ и $\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}} \delta^{-1}\left[h(\delta )-h(0)\right]=\lim_{x \rightarrow +\infty } x e^{-x}=0$, так что $h^{\prime }(0)$ существует и равна нулю. Теперь предположим, что $h^{(n)}(0)=0$. Покажите, что $\lim_{\delta \rightarrow 0^{-}} \delta^{-1}\left[h^{(n)}(\delta )-h^{(n)}(0)\right]=0$ и

так что $h^{(n+1)}(0)$ существует и равна $0$.]

Объедините (a) и (b), чтобы заключить, что $h$ действительно обладает непрерывными производными всех порядков.

$g \in \mathfrak {C}^{\infty }$.

$\left\| \boldsymbol {x}\right\| \geqslant 1$ влечёт $g(\boldsymbol {x})=0$, следовательно $g \in \mathfrak {C}_{c}^{\infty }$.

$0 \leqslant \left\| \boldsymbol {x}\right\| <1$ влечёт $g(\boldsymbol {x})>0$, следовательно $\int g=\int_{B(\mathbf{0}, 1)} g>0$.

$g$ ограничена.

$\phi \in \mathfrak {C}_{c}^{\infty }$.

$\phi \geqslant 0$ и $\phi$ ограничена.

$\phi (\boldsymbol {x})>0$ тогда и только тогда, когда $0 \leqslant \left\| \boldsymbol {x}\right\| <1$.

$\int \phi =1$.

$\phi_{a} \in \mathfrak {C}_{c}^{\infty }$.

$\phi_{a}$ неотрицательна и ограничена.

$\phi_{a}(\boldsymbol {x})>0$ тогда и только тогда, когда $0 \leqslant \left\| \boldsymbol {x}\right\| <a$. [Эти первые три пункта несложны.]

$\int \phi_{a}=1$. [Пусть $\boldsymbol {T}$ обозначает $k \times k$-матрицу $\frac{1}{a} \boldsymbol {I}$, где $\boldsymbol {I}$ — единичная матрица порядка $k$. По утверждению 1 раздела 7.5 имеем

Утверждение 1 раздела 7.5: Предположим, что $\boldsymbol {T}$ обозначает невырожденное преобразование из $\mathbb {R}^{k}$ в $\mathbb {R}^{k}$. Пусть $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает измеримое по Лебегу отображение. Тогда $f \circ \boldsymbol {T}$ измеримо по Лебегу, и если $f$ неотрицательна, то $\int f \, d\bar{\lambda }_{k}=\left|\operatorname {det}\left(\boldsymbol {T}\right)\right| \int f \circ \boldsymbol {T} \, d\bar{\lambda }_{k}$.]

$\psi_{a}$ корректно определена, поскольку интеграл существует, и $\psi_{a}$ ограничена. [Мы знаем, что $\phi_{a}$ ограничена, скажем $\phi_{a} \leqslant M_{a}$, так что $\left|f(\boldsymbol {y}) \phi_{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y})\right| \leqslant \left|f(\boldsymbol {y})\right| M_{a}$ для каждых $\boldsymbol {x}, \boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}$; заметим, что $f M_{a} \in L^{1}$.]

Для каждого $i=1, \ldots , k$ и $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ получаем

следовательно, $\psi_{a}$ непрерывна. [Используйте рассуждение, приведённое в подсказке к (a).]

Для каждых $i, j \in \left\{ 1, \ldots , k\right\}$ и $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ имеем

Заключите, что $\frac{\partial }{\partial x_{i}} \psi_{a}(\boldsymbol {x})$ — непрерывная функция от $\boldsymbol {x}$. [Здесь можно применить рассуждение того же типа, что и в (b).]

Используйте (b), (c) и индукцию, чтобы получить $\psi_{a} \in \mathfrak {C}^{\infty }$.

Если $f$ имеет компактный носитель, то и $\psi_{a}$ имеет компактный носитель. [Пусть $f=0$ на $B(\mathbf{0}, r)^{c}$ для некоторого $r>0$. Если $\psi_{a}(\boldsymbol {x}) \neq 0$, то по определению существует $\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}$ такое, что $f(\boldsymbol {y}) \phi_{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \neq 0$. Если $f(\boldsymbol {y}) \neq 0$, то $\boldsymbol {y} \in B(\mathbf{0}, r)$. Если $\phi_{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \neq 0$, то $\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y} \in B(\mathbf{0}, a)$. Заметим, что в любом случае следует $\left\| \boldsymbol {x}\right\| \leqslant \left\| \boldsymbol {y}\right\| +\left\| \boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}\right\| <r+a$. Таким образом, $\psi_{a}(\boldsymbol {x}) \neq 0$ влечёт $\boldsymbol {x} \in B(\mathbf{0}, r+a)$, так что $\psi_{a}$ имеет компактный носитель.]

Если $f$ имеет компактный носитель, то $\psi_{a} \in \mathfrak {C}_{c}^{\infty }$. [Автоматически следует из предыдущих пунктов.]

Пусть $f \in \mathfrak {C}_{c}$ и $\varepsilon >0$; найдите $r>0$ такое, что $f=0$ на $B(\mathbf{0}, r)^{c}$. Покажите, что существует $0<a \leqslant 1$ такое, что

[Заметим, что $f$ равномерно непрерывна, поскольку $f$ непрерывна и имеет компактный носитель.]

Имеем $f(\boldsymbol {x})=\int f(\boldsymbol {x}) \phi_{a}(\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y}) \, d\lambda_{k}(\boldsymbol {y})$ для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$. [Тривиально по пункту (d) упражнения 8.6.8, который утверждает, что $\int \phi_{a}=1$.]

И $f$, и $\psi_{a}$ равны нулю на $B(\mathbf{0}, r+1)^{c}$. [Вспомните, что $0<a \leqslant 1$. Остальное несложно.]

Для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ имеем

[Имеем

]

Имеем $\left\| \psi_{a}-f\right\|_{1} \leqslant \varepsilon$, и, следовательно, $\mathfrak {C}_{c}^{\infty }$ плотно в $\mathfrak {C}_{c}$. [Имеем

]