Теорема Рисса–Фишера

Вернёмся к формальному определению $L^{p}$.

Пусть $(X, \rho )$ обозначает произвольное метрическое пространство. Пусть $\mathscr {C}_{b}(X)$ обозначает совокупность непрерывных вещественнозначных ограниченных функций на $X$. Для $f \in \mathscr {C}_{b}(X)$ запишем $\left\| f\right\| =\sup_{x \in X}\left|f(x)\right|$ — обычную супремум-норму. Тогда $\mathscr {C}_{b}(X)$ является банаховым пространством.

Говорят, что функция $f$ на $\mathbb {R}^{k}$ обращается в нуль на бесконечности, если $f(\boldsymbol {x}) \rightarrow 0$ при $\left\| \boldsymbol {x}\right\| \rightarrow \infty$. Покажите, что совокупность непрерывных функций на $\mathbb {R}^{k}$, обращающихся в нуль на бесконечности, является банаховым пространством относительно супремум-нормы, заданной в предыдущей задаче.

Пусть $\mathscr {C}_{c}\left(\mathbb {R}^{k}\right)$ обозначает совокупность непрерывных функций на $\mathbb {R}^{k}$ с компактным носителем, и вновь рассмотрим супремум-норму. Эта совокупность плотна в совокупности из предыдущей задачи, но не является банаховым пространством.

Последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{p}$ может сходиться в среднем порядка $p$ к некоторой $f \in L^{p}$, но при этом не сходиться поточечно к $f$ ни в одной точке $\Omega$. Следовательно, сходимость в $L^{p}$ вообще говоря не влечёт сходимость $\mu$-п.в.