Мера и топология

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $F$ — множество, имеющее замкнутое пересечение с каждым компактным подмножеством $X$. Покажите, что $F$ замкнуто.

Относительно доказательства Предложения 3:

Предложение 3: Пусть $F$ — компактное подмножество локально компактного хаусдорфова пространства $X$, а $O$ — окрестность $F$. Тогда существует функция $f \in C_{c}(X)$, для которой $f = 1$ на $F$, $f = 0$ на $X \sim O$ и $0 \leq f \leq 1$ на $X$. Доказательство выбирает (по предыдущему предложению) окрестность $\mathcal{V}$ множества $F$, имеющую компактное замыкание, содержащееся в $O$; поскольку $\overline{\mathcal{V}}$ компактно и хаусдорфово, оно нормально, а $F$ и $\overline{\mathcal{V}} \sim \mathcal{V}$ — непересекающиеся замкнутые подмножества $\overline{\mathcal{V}}$; затем лемма Урысона дает непрерывную функцию $f$ на $\overline{\mathcal{V}}$ с $f = 1$ на $F$, $f = 0$ на $\overline{\mathcal{V}} \sim \mathcal{V}$ и $0 \leq f \leq 1$ на $\overline{\mathcal{V}}$, продолженную на все $X$ полаганием $f = 0$ на $X \sim \overline{\mathcal{V}}$.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $X^{*}$ — одноточечная компактификация Александрова пространства $X$:

Покажите, что одноточечная компактификация Александрова пространства $\mathbb {R}^{n}$ гомеоморфна $n$-мерной сфере $S^{n} = \left\{ x \in \mathbb {R}^{n+1} \mid \left\| x\right\| = 1\right\}$.

Покажите, что открытое подмножество локально компактного хаусдорфова пространства с индуцированной топологией подпространства локально компактно.

Покажите, что замкнутое подмножество локально компактного пространства с индуцированной топологией подпространства локально компактно.

Покажите, что локально компактное хаусдорфово пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда множество, состоящее из точки на бесконечности, является открытым подмножеством одноточечной компактификации Александрова $X^{*}$ пространства $X$.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что одноточечная компактификация Александрова $X^{*}$ сепарабельна тогда и только тогда, когда сепарабельно $X$.

Рассмотрим топологическое пространство $X$, состоящее из множества вещественных чисел с топологией, база которой состоит из дополнений счетных множеств. Покажите, что $X$ не является локально компактным.

Приведите доказательство Предложения 3, применяя лемму Урысона к одноточечной компактификации Александрова пространства $X$.

Предложение 3: Пусть $K$ — компактное подмножество локально компактного хаусдорфова пространства $X$, а $O$ — окрестность $K$. Тогда существует функция $f \in C_{c}(X)$, для которой $f = 1$ на $K$, $f = 0$ на $X \sim O$ и $0 \leq f \leq 1$ на $X$.

Пусть $f$ непрерывно отображает локально компактное хаусдорфово пространство $X$ на топологическое пространство $Y$. Обязательно ли $Y$ локально компактно?

Пусть $X$ — топологическое пространство, а $f$ — непрерывная функция на $X$, имеющая компактный носитель. Определите $K = \left\{ x \in X \mid f(x) = 1\right\}$. Покажите, что $K$ — компактное множество типа $G_{\delta }$.

Пусть $\mathcal{O}$ — открытое подмножество компактного хаусдорфова пространства $X$. Покажите, что отображение $X$ в одноточечную компактификацию Александрова пространства $\mathcal{O}$, являющееся тождественным на $\mathcal{O}$ и переводящее каждую точку $X \sim \mathcal{O}$ в $\omega$, непрерывно.

Пусть $X$ и $Y$ — локально компактные хаусдорфовы пространства, а $f$ — непрерывное отображение $X$ в $Y$. Пусть $X^{*}$ и $Y^{*}$ — одноточечные компактификации Александрова пространств $X$ и $Y$, а $f^{*}$ — отображение $X^{*}$ в $Y^{*}$, сужение которого на $X$ равно $f$ и которое переводит точку на бесконечности в $X^{*}$ в точку на бесконечности в $Y^{*}$. Покажите, что $f^{*}$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f^{-1}(K)$ компактно всякий раз, когда $K \subseteq Y$ компактно. Отображение $f$ с этим свойством называется собственным.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что подмножество $F$ пространства $X$ замкнуто тогда и только тогда, когда $F \cap K$ замкнуто для каждого компактного подмножества $K$ пространства $X$. Более того, покажите, что та же эквивалентность верна, если вместо локальной компактности пространство $X$ является первым счетным.

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство вещественнозначных непрерывных функций на локально компактном хаусдорфовом пространстве $X$, обладающее следующими свойствами:

Пусть $K$ — компактное подмножество типа $G_{\delta }$ локально компактного хаусдорфова пространства $X$. Покажите, что существует убывающая последовательность непрерывных неотрицательных вещественнозначных функций на $X$, поточечно сходящаяся на $X$ к характеристической функции множества $K$.

Теорема Бэра о категориях утверждает, что в полном метрическом пространстве пересечение счетного семейства открытых плотных множеств плотно. В основе ее доказательства лежит теорема Кантора о пересечении. Покажите, что теорема Фреше о пересечении является достаточно сильной заменой теоремы Кантора о пересечении, чтобы дать доказательство следующего утверждения, сначала доказав его в случае, когда $X$ компактно: Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство.

Используя предыдущую задачу, докажите следующее: Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Если $\mathcal{O}$ — открытое подмножество $X$, содержащееся в счетном объединении $\bigcup_{n = 1}^{\infty } F_{n}$ замкнутых подмножеств $X$, то объединение их внутренностей, $\bigcup_{n = 1}^{\infty }$ int $F_{n}$, является открытым плотным подмножеством $\mathcal{O}$.

Для отображения $f: X \rightarrow Y$ и семейства $\mathcal{C}$ подмножеств $Y$ определим $f^{*} \mathcal{C}$ как семейство подмножеств $X$, заданное формулой

Покажите, что если $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, порожденная $\mathcal{C}$, то $f^{*} \mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, порожденная $f^{*} \mathcal{C}$.

Для отображения $f: X \rightarrow Y$ и семейства $\mathcal{C}$ подмножеств $X$ пусть $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, порожденная $\mathcal{C}$. Если $f^{-1}[f[C]] = C$ для каждого $C \in \mathcal{C}$, покажите, что $f^{-1}[f[A]] = A$ для каждого $A \in \mathcal{A}$.

Покажите, что евклидово пространство $\mathbb {R}^{n}$ локально компактно.

Покажите, что $\ell^{p}$ при $1 \leq p \leq \infty$ не является локально компактным.

Покажите, что $C([0,1])$ с топологией, индуцированной максимум-нормой, не является локально компактным.

Пусть $\rho : X \times X \rightarrow \mathbb {R}$ — метрика на множестве $X$. Для $A \subseteq X$ рассмотрим функцию расстояния

Покажите, что свойство (ii) в формулировке Теоремы 7 эквивалентно утверждению о том, что два непересекающихся замкнутых подмножества $X$, одно из которых компактно, могут быть разделены непересекающимися окрестностями.

Теорема 7: Пусть $(X, \mathcal{T})$ — хаусдорфово пространство. Тогда следующие четыре свойства эквивалентны: (i) $(X, \mathcal{T})$ локально компактно; (ii) если $O$ — окрестность компактного подмножества $K$ пространства $X$, то существует окрестность $U$ множества $K$, имеющая компактное замыкание, содержащееся в $O$; (iii) если $O$ — окрестность компактного подмножества $K$ пространства $X$, то постоянную функцию на $K$, принимающую значение $1$, можно продолжить до функции $f$ в $C_{c}(X)$, для которой $0 \leq f \leq 1$ на $X$ и $f$ обращается в нуль вне $O$; (iv) для компактного подмножества $K$ пространства $X$ и конечного открытого покрытия $\mathcal{F}$ множества $K$ существует разбиение единицы, подчиненное $\mathcal{F}$, состоящее из функций с компактным носителем.

Пусть ($X, \mathcal{T}$) — хаусдорфово топологическое пространство. Покажите, что $\mathcal{T}$ является полукольцом тогда и только тогда, когда $\mathcal{T}$ — дискретная топология.

Пусть $(X, \mathcal{T})$ — топологическое пространство, а $\mu : \mathcal{T} \rightarrow [0, \infty ]$ — премера. Предположим, что если $\mathcal{O}$ открыто и $\mu (\mathcal{O}) < \infty$, то $\mu (\operatorname {bd} \mathcal{O}) = 0$. Покажите, что каждое открытое множество $\mu^{*}$-измеримо.

Покажите, что сужение меры Лебега на прямой на борелевскую $\sigma$-алгебру является мерой Радона.

Покажите, что сужение меры Лебега на евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ на борелевскую $\sigma$-алгебру является мерой Радона.

Покажите, что дельта-мера Дирака на топологическом пространстве является мерой Радона.

Пусть $X$ — несчетное множество с дискретной топологией, а $\left\{ x_{k}\right\}_{1 \leq k < \infty }$ — счетное подмножество $X$. Для $E \subseteq X$ определите

Покажите, что $2^{X} = \mathcal{B}(X)$ и $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow$ является мерой Радона.

Покажите, что сумма двух мер Радона также является мерой Радона.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — борелевские меры на $\mathcal{B}(X)$, где $X$ — компактное топологическое пространство, и предположим, что $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\nu$. Если $\nu$ радонова, покажите, что $\mu$ также радонова.

Пусть $(X, \mathcal{T})$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $\mu : \mathcal{T} \rightarrow [0, \infty ]$ — премера, для которой сужение $\mu^{*}$ на $\mathcal{B}(X)$ является мерой Радона. Покажите, что $\mu$ — премера Радона.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$ — мера Радона. Покажите, что любое борелевское множество $E$ конечной меры внутренне регулярно в том смысле, что

Заключите, что если $\mu$ $\sigma$-конечна, то каждое борелевское множество внутренне регулярно.

Пусть $X$ — топологическое пространство, $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$ — $\sigma$-конечная мера Радона, а $E \subseteq X$ — борелевское множество. Покажите, что существуют подмножество $A$ типа $G_{\delta }$ пространства $X$ и подмножество $B$ типа $F_{\sigma }$ пространства $X$, для которых

Для метрического пространства $X$ покажите, что $\mathcal{B}(X)$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, относительно которой все непрерывные вещественнозначные функции на $X$ измеримы.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $C_{0}(X)$ — пространство всех равномерных пределов функций из $C_{c}(X)$.

Пусть $X$ — несчетное множество с дискретной топологией.

Пусть $X$ и $Y$ — два локально компактных хаусдорфовых пространства.

В доказательстве теоремы Рисса-Маркова установите внутреннюю регулярность в случае, когда $\mu (\mathcal{O}) = \infty$.

Пусть $k(x, y)$ — ограниченная борелевски измеримая функция на $X \times Y$, а $\mu$ и $\nu$ — меры Радона на $X$ и $Y$.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $\mu$ — борелевская мера на $\mathcal{B}(X)$. Покажите, что существует константа $c > 0$ такая, что

Пусть $x_{0}$ — точка в компактном хаусдорфовом пространстве $X$. Определите $L(f) = f\left(x_{0}\right)$ для каждой $f \in C(X)$. Покажите, что $L$ — ограниченный линейный функционал на $C(X)$. Найдите знакопеременную меру Радона, представляющую $L$.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $\mu$ — борелевская мера на $\mathcal{B}(X)$. Покажите, что существует мера Радона $\mu_{0}$, для которой

Пусть $g_{1}$ и $g_{2}$ — две возрастающие функции на замкнутом ограниченном интервале $[a, b]$, совпадающие на концах. Покажите, что

тогда и только тогда, когда $g_{1}\left(x^{+}\right) = g_{2}\left(x^{+}\right)$ для всех $a \leq x < b$.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что теорема Жордана о разложении для знакопеременных борелевских мер на $\mathcal{B}(X)$ следует из теоремы представления Рисса-Какутани для сопряженного к $C(X)$ и Предложения 12.

Теорема представления Рисса-Какутани: Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $C(X)$ — линейное пространство непрерывных вещественнозначных функций на $X$, нормированное максимум-нормой. Определите оператор $T: \operatorname {Radon}(X) \rightarrow [C(X)]^{*}$, полагая для $\nu \in \operatorname {Radon}(X)$: $T\nu (f) = \int_{X} f \, d\nu$ для всех $f \in C(X)$. Тогда $T$ — линейный изометрический изоморфизм $\operatorname {Radon}(X)$ на $[C(X)]^{*}$.

Предложение 12: Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $C(X)$ — линейное пространство непрерывных вещественнозначных функций на $X$, нормированное максимум-нормой. Тогда для каждого непрерывного линейного функционала $L$ на $C(X)$ существуют два положительных линейных функционала $L^{+}$ и $L^{-}$ на $C(X)$, для которых $L = L^{+} - L^{-}$ и $\left\| L\right\| = L^{+}(1) + L^{-}(1)$.

Каковы крайние точки единичного шара линейного пространства знакопеременных мер Радона $\mathcal{R}$ adon $(X)$, где $X$ — компактное хаусдорфово пространство?

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство. На линейном пространстве функций $\mathcal{F}$, определенном в формулировке Теоремы 16, определите норму функции как ее полную вариацию. Покажите, что с этой нормой $\mathcal{F}$ является банаховым пространством.

Теорема 16 (Рисс): Пусть $\left[a, b\right]$ — замкнутый ограниченный интервал, а $\mathcal{F}$ — совокупность вещественнозначных функций на $\left[a, b\right]$, имеющих ограниченную вариацию на $\left[a, b\right]$, непрерывных справа на $(a, b)$ и обращающихся в нуль в точке $a$. Тогда для каждого ограниченного линейного функционала $\psi$ на $C\left[a,b\right]$ существует единственная функция $g \in \mathcal{F}$, для которой $\psi (f) = \int_{a}^{b} f(x) \, dg(x)$ для всех $f \in C\left[a,b\right]$.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра вещественнозначных непрерывных функций на компактном пространстве $X$, разделяющая точки и содержащая константы. Пусть $\mathcal{A}^{\perp }$ — множество знакопеременных мер Радона на $X$ таких, что $\left|\mu \right|(X) \leq 1$ и $\int_{X} f d \mu = 0$ для всех $f \in \mathcal{A}$.

Пусть $X$ — сепарабельное компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что каждое замкнутое множество является множеством типа $G_{\delta }$.

Пусть $X$ — хаусдорфово пространство, а $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$ — $\sigma$-конечная борелевская мера. Покажите, что $\mu$ радонова тогда и только тогда, когда она регулярна.

Покажите, что хаусдорфово пространство $X$ является одновременно локально компактным и $\sigma$-компактным тогда и только тогда, когда существует возрастающее счетное семейство $\left\{ \mathcal{O}_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ открытых подмножеств $X$, покрывающее $X$, и для каждого $k$

Пусть $x_{0}$ — точка в локально компактном хаусдорфовом пространстве $X$. Является ли дельта-мера Дирака, сосредоточенная в $x_{0}, \delta_{x_{0}}$, регулярной мерой Бэра?

Пусть $X$ — несчетное множество с дискретной топологией, а $X^{*}$ — его компактификация Александрова с $x^{*}$ — точкой на бесконечности. Покажите, что одноточечное множество $\left\{ x^{*}\right\}$ является борелевским множеством, не являющимся множеством Бэра.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что борелевская мера $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$ является радоновой тогда и только тогда, когда каждое борелевское множество измеримо относительно меры Каратеодори, индуцированной премерой $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$.

Докажите Леммы 23, 24 и 25.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — непрерывные вещественнозначные функции на $X$. Пусть $\nu$ — знакопеременная мера Радона на $X$ с $\left|\nu \right|(X) \leq 1$, и пусть $c_{i} = \int_{X} f_{i} d \nu$ для $1 \leq i \leq n$.