Локально компактные топологические пространства

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $F$ — множество, имеющее замкнутое пересечение с каждым компактным подмножеством $X$. Покажите, что $F$ замкнуто.

Относительно доказательства Предложения 3:

Предложение 3: Пусть $F$ — компактное подмножество локально компактного хаусдорфова пространства $X$, а $O$ — окрестность $F$. Тогда существует функция $f \in C_{c}(X)$, для которой $f = 1$ на $F$, $f = 0$ на $X \sim O$ и $0 \leq f \leq 1$ на $X$. Доказательство выбирает (по предыдущему предложению) окрестность $\mathcal{V}$ множества $F$, имеющую компактное замыкание, содержащееся в $O$; поскольку $\overline{\mathcal{V}}$ компактно и хаусдорфово, оно нормально, а $F$ и $\overline{\mathcal{V}} \sim \mathcal{V}$ — непересекающиеся замкнутые подмножества $\overline{\mathcal{V}}$; затем лемма Урысона дает непрерывную функцию $f$ на $\overline{\mathcal{V}}$ с $f = 1$ на $F$, $f = 0$ на $\overline{\mathcal{V}} \sim \mathcal{V}$ и $0 \leq f \leq 1$ на $\overline{\mathcal{V}}$, продолженную на все $X$ полаганием $f = 0$ на $X \sim \overline{\mathcal{V}}$.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $X^{*}$ — одноточечная компактификация Александрова пространства $X$:

Покажите, что одноточечная компактификация Александрова пространства $\mathbb {R}^{n}$ гомеоморфна $n$-мерной сфере $S^{n} = \left\{ x \in \mathbb {R}^{n+1} \mid \left\| x\right\| = 1\right\}$.

Покажите, что открытое подмножество локально компактного хаусдорфова пространства с индуцированной топологией подпространства локально компактно.

Покажите, что замкнутое подмножество локально компактного пространства с индуцированной топологией подпространства локально компактно.

Покажите, что локально компактное хаусдорфово пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда множество, состоящее из точки на бесконечности, является открытым подмножеством одноточечной компактификации Александрова $X^{*}$ пространства $X$.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что одноточечная компактификация Александрова $X^{*}$ сепарабельна тогда и только тогда, когда сепарабельно $X$.

Рассмотрим топологическое пространство $X$, состоящее из множества вещественных чисел с топологией, база которой состоит из дополнений счетных множеств. Покажите, что $X$ не является локально компактным.

Приведите доказательство Предложения 3, применяя лемму Урысона к одноточечной компактификации Александрова пространства $X$.

Предложение 3: Пусть $K$ — компактное подмножество локально компактного хаусдорфова пространства $X$, а $O$ — окрестность $K$. Тогда существует функция $f \in C_{c}(X)$, для которой $f = 1$ на $K$, $f = 0$ на $X \sim O$ и $0 \leq f \leq 1$ на $X$.

Пусть $f$ непрерывно отображает локально компактное хаусдорфово пространство $X$ на топологическое пространство $Y$. Обязательно ли $Y$ локально компактно?

Пусть $X$ — топологическое пространство, а $f$ — непрерывная функция на $X$, имеющая компактный носитель. Определите $K = \left\{ x \in X \mid f(x) = 1\right\}$. Покажите, что $K$ — компактное множество типа $G_{\delta }$.

Пусть $\mathcal{O}$ — открытое подмножество компактного хаусдорфова пространства $X$. Покажите, что отображение $X$ в одноточечную компактификацию Александрова пространства $\mathcal{O}$, являющееся тождественным на $\mathcal{O}$ и переводящее каждую точку $X \sim \mathcal{O}$ в $\omega$, непрерывно.

Пусть $X$ и $Y$ — локально компактные хаусдорфовы пространства, а $f$ — непрерывное отображение $X$ в $Y$. Пусть $X^{*}$ и $Y^{*}$ — одноточечные компактификации Александрова пространств $X$ и $Y$, а $f^{*}$ — отображение $X^{*}$ в $Y^{*}$, сужение которого на $X$ равно $f$ и которое переводит точку на бесконечности в $X^{*}$ в точку на бесконечности в $Y^{*}$. Покажите, что $f^{*}$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f^{-1}(K)$ компактно всякий раз, когда $K \subseteq Y$ компактно. Отображение $f$ с этим свойством называется собственным.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что подмножество $F$ пространства $X$ замкнуто тогда и только тогда, когда $F \cap K$ замкнуто для каждого компактного подмножества $K$ пространства $X$. Более того, покажите, что та же эквивалентность верна, если вместо локальной компактности пространство $X$ является первым счетным.

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство вещественнозначных непрерывных функций на локально компактном хаусдорфовом пространстве $X$, обладающее следующими свойствами:

Пусть $K$ — компактное подмножество типа $G_{\delta }$ локально компактного хаусдорфова пространства $X$. Покажите, что существует убывающая последовательность непрерывных неотрицательных вещественнозначных функций на $X$, поточечно сходящаяся на $X$ к характеристической функции множества $K$.

Теорема Бэра о категориях утверждает, что в полном метрическом пространстве пересечение счетного семейства открытых плотных множеств плотно. В основе ее доказательства лежит теорема Кантора о пересечении. Покажите, что теорема Фреше о пересечении является достаточно сильной заменой теоремы Кантора о пересечении, чтобы дать доказательство следующего утверждения, сначала доказав его в случае, когда $X$ компактно: Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство.

Используя предыдущую задачу, докажите следующее: Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Если $\mathcal{O}$ — открытое подмножество $X$, содержащееся в счетном объединении $\bigcup_{n = 1}^{\infty } F_{n}$ замкнутых подмножеств $X$, то объединение их внутренностей, $\bigcup_{n = 1}^{\infty }$ int $F_{n}$, является открытым плотным подмножеством $\mathcal{O}$.

Для отображения $f: X \rightarrow Y$ и семейства $\mathcal{C}$ подмножеств $Y$ определим $f^{*} \mathcal{C}$ как семейство подмножеств $X$, заданное формулой

Покажите, что если $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, порожденная $\mathcal{C}$, то $f^{*} \mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, порожденная $f^{*} \mathcal{C}$.

Для отображения $f: X \rightarrow Y$ и семейства $\mathcal{C}$ подмножеств $X$ пусть $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, порожденная $\mathcal{C}$. Если $f^{-1}[f[C]] = C$ для каждого $C \in \mathcal{C}$, покажите, что $f^{-1}[f[A]] = A$ для каждого $A \in \mathcal{A}$.