Свойства регулярности мер Бэра

Пусть $X$ — сепарабельное компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что каждое замкнутое множество является множеством типа $G_{\delta }$.

Пусть $X$ — хаусдорфово пространство, а $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$ — $\sigma$-конечная борелевская мера. Покажите, что $\mu$ радонова тогда и только тогда, когда она регулярна.

Покажите, что хаусдорфово пространство $X$ является одновременно локально компактным и $\sigma$-компактным тогда и только тогда, когда существует возрастающее счетное семейство $\left\{ \mathcal{O}_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ открытых подмножеств $X$, покрывающее $X$, и для каждого $k$

Пусть $x_{0}$ — точка в локально компактном хаусдорфовом пространстве $X$. Является ли дельта-мера Дирака, сосредоточенная в $x_{0}, \delta_{x_{0}}$, регулярной мерой Бэра?

Пусть $X$ — несчетное множество с дискретной топологией, а $X^{*}$ — его компактификация Александрова с $x^{*}$ — точкой на бесконечности. Покажите, что одноточечное множество $\left\{ x^{*}\right\}$ является борелевским множеством, не являющимся множеством Бэра.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что борелевская мера $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$ является радоновой тогда и только тогда, когда каждое борелевское множество измеримо относительно меры Каратеодори, индуцированной премерой $\mu : \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ]$.

Докажите Леммы 23, 24 и 25.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — непрерывные вещественнозначные функции на $X$. Пусть $\nu$ — знакопеременная мера Радона на $X$ с $\left|\nu \right|(X) \leq 1$, и пусть $c_{i} = \int_{X} f_{i} d \nu$ для $1 \leq i \leq n$.