21.4

Представление положительных линейных функционалов на Cc(X)C_{c}(X): теорема Рисса-Маркова

[6/0%]
LaTeX
Задача 21.39

Пусть XX — локально компактное хаусдорфово пространство, а C0(X)C_{0}(X) — пространство всех равномерных пределов функций из Cc(X)C_{c}(X).

?
(i)

Покажите, что непрерывная вещественнозначная функция ff на XX принадлежит C0(X)C_{0}(X) тогда и только тогда, когда для каждого α>0\alpha > 0 множество {x∈X∣∣f(x)∣≥α}\left\{ x \in X \mid \left|f(x)\right| \geq \alpha \right\} компактно.

(ii)

Пусть X∗X^{*} — одноточечная компактификация XX. Покажите, что C0(X)C_{0}(X) состоит в точности из сужений на XX тех функций из C(X∗)C\left(X^{*}\right), которые обращаются в нуль в точке на бесконечности.

Задача 21.40

Пусть XX — несчетное множество с дискретной топологией.

?
(i)

Что такое Cc(X)C_{c}(X)?

(ii)

Каковы борелевские подмножества XX?

(iii)

Пусть X∗X^{*} — одноточечная компактификация XX. Что такое C(X∗)C\left(X^{*}\right)?

(iv)

Каковы борелевские подмножества X∗X^{*}?

(v)

Покажите, что существует борелевская мера μ\mu на X∗X^{*} такая, что μ(X∗)=1\mu \left(X^{*}\right) = 1 и ∫Xfdμ=0\int_{X} f d \mu = 0 для каждой ff в Cc(X)C_{c}(X).

Задача 21.41

Пусть XX и YY — два локально компактных хаусдорфовых пространства.

?
(i)

Покажите, что каждая f∈Cc(X×Y)f \in C_{c}(X \times Y) является пределом сумм вида

∑i=1nφi(x)ψi(y) \sum _{i = 1}^{n} \varphi _{i}(x) \psi _{i}(y)

где φi∈Cc(X)\varphi_{i} \in C_{c}(X) и ψi=Cc(Y)\psi_{i} = C_{c}(Y). (Полезна теорема Стоуна-Вейерштрасса.)

(ii)

Покажите, что B(X×Y)⊆B(X)×B(Y)\mathcal{B}(X \times Y) \subseteq \mathcal{B}(X) \times \mathcal{B}(Y).

(iii)

Покажите, что B(X×Y)=B(X)×B(Y)\mathcal{B}(X \times Y) = \mathcal{B}(X) \times \mathcal{B}(Y) тогда и только тогда, когда XX или YY является объединением счетного семейства компактных подмножеств.

Задача 21.42

В доказательстве теоремы Рисса-Маркова установите внутреннюю регулярность в случае, когда μ(O)=∞\mu (\mathcal{O}) = \infty.

?
Задача 21.43

Пусть k(x,y)k(x, y) — ограниченная борелевски измеримая функция на X×YX \times Y, а μ\mu и ν\nu — меры Радона на XX и YY.

?
(i)

Покажите, что

∬X×Yφ(x)k(x,y)ψ(y)d(μ×ν)=∫Y[∫Xφ(x)k(x,y)dμ]ψ(y)dν=∫Xφ(x)[∫Yk(x,y)ψ(y)dν]dμ \begin{aligned} \iint _{X \times Y} \varphi (x) k(x, y) \psi (y) d(\mu \times \nu ) & = \int _{Y}\left[\int _{X} \varphi (x) k(x, y) d \mu \right] \psi (y) d \nu \\ & = \int _{X} \varphi (x)\left[\int _{Y} k(x, y) \psi (y) d \nu \right] d \mu \end{aligned}

для всех φ∈Cc(X)\varphi \in C_{c}(X) и ψ∈Cc(Y)\psi \in C_{c}(Y).

(ii)

Если интеграл в (i) равен нулю для всех φ\varphi и ψ\psi из Cc(X)C_{c}(X) и Cc(Y)C_{c}(Y), покажите, что тогда k=0k = 0 почти всюду [μ×ν][\mu \times \nu ].

Задача 21.44

Пусть XX — компактное хаусдорфово пространство, а μ\mu — борелевская мера на B(X)\mathcal{B}(X). Покажите, что существует константа c>0c > 0 такая, что

∣∫Xfdμ∣≤c∥f∥max⁡ для всех f∈C(X). \left|\int _{X} f d \mu \right| \leq c\left\| f\right\| _{\max } \text{ для всех } f \in C(X) .
?