Отделение множеств и продолжение функций

Покажите, что евклидово пространство $\mathbb {R}^{n}$ локально компактно.

Покажите, что $\ell^{p}$ при $1 \leq p \leq \infty$ не является локально компактным.

Покажите, что $C([0,1])$ с топологией, индуцированной максимум-нормой, не является локально компактным.

Пусть $\rho : X \times X \rightarrow \mathbb {R}$ — метрика на множестве $X$. Для $A \subseteq X$ рассмотрим функцию расстояния

Покажите, что свойство (ii) в формулировке Теоремы 7 эквивалентно утверждению о том, что два непересекающихся замкнутых подмножества $X$, одно из которых компактно, могут быть разделены непересекающимися окрестностями.

Теорема 7: Пусть $(X, \mathcal{T})$ — хаусдорфово пространство. Тогда следующие четыре свойства эквивалентны: (i) $(X, \mathcal{T})$ локально компактно; (ii) если $O$ — окрестность компактного подмножества $K$ пространства $X$, то существует окрестность $U$ множества $K$, имеющая компактное замыкание, содержащееся в $O$; (iii) если $O$ — окрестность компактного подмножества $K$ пространства $X$, то постоянную функцию на $K$, принимающую значение $1$, можно продолжить до функции $f$ в $C_{c}(X)$, для которой $0 \leq f \leq 1$ на $X$ и $f$ обращается в нуль вне $O$; (iv) для компактного подмножества $K$ пространства $X$ и конечного открытого покрытия $\mathcal{F}$ множества $K$ существует разбиение единицы, подчиненное $\mathcal{F}$, состоящее из функций с компактным носителем.